第二十五章 一元二次方程 单元检测卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元检测卷，以基础概念为核心，融合科技、经济等现实情境，通过梯度化题型（单选15题、填空4题、解答7题）考查方程解法、根的判别式及实际应用，适配同步教学，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|15|一元二次方程定义、根的判别式（如第6题）|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|4|增长率问题（如第18题）、几何面积（如第19题）|情境化设计，体现应用意识| |解答题|7|配方法/公式法（21-22题）、利润问题（26题）、车库设计（27题）|综合应用，融合数学建模与实际问题解决|

第二十五章 一元二次方程 单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 2．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 4．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 6．一元二次方程有两个实数根，则根的判别式的值应是（     ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 7．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．一元二次方程的两个根是（     ）． A．， B．， C．， D．， 9．一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 10．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 11．若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 12．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 13．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 14．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 15．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 16．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 17．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 18．某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 19．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题 20．已知a是方程的一个实数根，求的值． 21．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 22．用公式法解方程： (1)； (2)． 23．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 24．已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 25．如图是一个三角点阵，从上往下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点． (1)前8行的点数和为___________，用含n的式子表示前n行的点数和为___________； (2)根据（1）的结论，前n行的点数和能是100吗？如果能，请求出n的值；如果不能，请说明理由． 26．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 27．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章� �一元二次方程� � 单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D C C A D A 题号 11 12 13 14 15 答案 A A B C D 1．C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2．D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 3．B 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 4．B 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 5．D 【详解】由，可得． ∵ 方程的根是有理数， ∴ ，且是有理数的平方． A选项，，不符合要求，选项A错误； B选项，不是有理数的平方，根为无理数，选项B错误； C选项，，不符合要求，选项C错误； D选项中，，根为，是有理数，选项D正确． 6．C 【分析】明确一元二次方程的两个实数根包含相等与不等两种情况，结合根的判别式的取值范围判断． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， 包括两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况， 当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式． 当方程有两个相等的实数根时，根的判别式． 综上，根的判别式的值为非负数． 7．C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 8．A 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 9．D 【分析】对于一元二次方程，根的判别式． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． 10．A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 11．A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得. 12．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 13．B 【分析】根据平均增长率的等量关系，列方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 14．C 【分析】用增长后的量增长前的量增长率，设这个增长率为x，根据“2月份的万只，4月份的产量将达到万只”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意可得． 15．D 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 16．2 【分析】物体落回地面时离地高度为，据此列方程求解，舍去不符合题意的初始解即可. 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为，可得方程， 因式分解得 解得或， ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求， ∴， ∴物体经过落回地面． 17．8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 18． 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 19．或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 20．2032 【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴． 21．(1)， (2)， 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 22．(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 23．(1)的长为或 (2)该菜地的面积不能为，理由如下： 设的长为，则， 由题意，得， 整理，得，解得， 当时，， 即当时，， ∴这棵古树没有被围在菜地里， ∴要将这棵古树围在矩形菜地内，该菜地的面积不能为． 【分析】（1）设的长为，则，由矩形面积公式得出方程，解方程即可； （2）根据题意可得方程，求出y的值，然后再根据P处这棵树是否被围在菜地内进行分析即可． 【详解】（1）解：设的长为，则， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 答：的长为或． （2）略 24．(1)证明： ． 方程总有两个实数根 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 25．(1)36， (2)前n行的点数和不能是100．理由如下：假设前n行的，点数和是100，则，即， 解得． 为整数， 前n行的点数和不能是100. 【分析】（1）前8行的点数和为：，解答即可，用含n的式子表示前n行的点数和为，解答即可； （2）建立一元二次方程，求方程的整数解，解答即可． 【详解】（1）解：前8行的点数和为：， 用含n的式子表示前n行的点数和为： ． （2）解：略． 26．(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 27．(1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $