精品解析：陕西宝鸡市高新中学2026-2027学年上学期开学自主学习效果问询九年级数学试卷

暑期自主学习效果问询九年级数学试卷 一、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法来证明命题“若，则”， 第一步假设， 故选：C． 【点睛】本题考查反证法，解题度关键是懂得反证法的意义及步骤． 2. 小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 中国美 C. 我爱中国 D. 中国美丽 【答案】C 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 【详解】解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 3. 已知，下列不等式变形不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A．根据不等式性质，不等式两边都加2可得，原变形正确，故此选项不符合题意； B．根据不等式性质，不等式两边都乘以3可得，原变形正确，故此选项不符合题意； C．根据不等式性质，不等式两边都除以可得，原变形不正确，故此选项符合题意； D．根据不等式性质，不等式两边都乘以2可得，再在不等号两边同时减1得，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 若分式的值为零，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0，分子为0，分母不为0，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查分式的值为零的条件．解题的关键是掌握分子为0，分母不为0时，分式的值为0． 5. 如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D 【解析】 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 6. 一个多边形的每个内角都等于，则从这个多边形的一个顶点出发，可作对角线的数量是（ ） A. 7 B. 10 C. 35 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的外角和求出多边形的边数，即可求解． 【详解】解：∵多边形每个内角为， ∴每个外角的度数为：， ∵多边形外角和为， ∴该多边形的边数为：， ∴从一个顶点出发可作的对角线数量为：． 7. 如图，在平行四边形中，，，点分别是边上的动点，连接，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等，连接，可得，当取最小值时，最小，可知当时，最小，利用平行四边形的性质、直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解． 【详解】解：连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴当取最小值时，最小， 当时，最小， ∵四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 8. 已知不等式的解集是，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个整式时，不等号方向不变说明该整式为正数，据此列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ∴不等式两边同时除以后，不等号方向没有改变， ∴根据不等式的基本性质可得， 解得． 9. 如图，函数和的图象相交于点，则关于不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键，先把点A的坐标代入中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解． 【详解】解：把代入． 得． 解得． 即A点坐标为． ∵由图象可得，当时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 10. 若关于x的方程无解，则a的值为________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可． 【详解】解：去分母得：3x=x-4+ax， 移项得：（a-2）x=4， 由分式方程无解，得到a-2=0，或， 解得：a=2，或a=3， 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查了分式方程的解．解题的关键是能根据题意得出关于a的方程，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 11. 如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：16． 12. 如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交点于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共64分） 13. 因式分解、解方程 （1）因式分解： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以得， ， 解得， 检验：当时，， 原方程的解为． 14. 解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为；在数轴上表示为：，它的所有整数解为1，2，3． 【解析】 【分析】在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 故不等式组的解集为； 在数轴上表示：略， 它的所有整数解为1，2，3． 15. 如图，中，，． （1）尺规作图，求作边上的高；（保留作图痕迹） （2）求边上的高的长度． 【答案】（1）如图． （2） 【解析】 【分析】（1）作射线，以点A为圆心，以大于点A到的距离为半径画弧，交射线于点G，E，再分别以点G，E为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交射线于点D，则即为所求作； （2）先求出，进而得出，然后根据直角三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得． 16. 如图，，，，垂足分别为，分别交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据题意，运用“斜边直角边”即可求解； （2）根据题意，运用三角形的外角和性质得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 先化简：，再从，2，3中选择一个适当的数x，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内分式的加减运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，结合分式有意义的条件确定，最后代入计算即可． 【详解】解：， ． ∵，， 当时，原式． 18. 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． （1）求证： （2）求的长． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）9 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和证明，可得，再利用三角形的外角性质即得结论； （2）先利用角的直角三角形的性质求出的长，进而可得的长，再利用（1）的结论即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】（1） 如图，即为所求作三角形； ， （2） 如图，即为所求作三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 20. 如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：与的数量关系为：，理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】（1）种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【小问1详解】 解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． 【小问2详解】 解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 22. 按要求完成以下问题 （1）【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． （2）【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 【答案】（1）150 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，证明四点共线，得，由勾股定理得，故可得结论； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，，即可得到，从而得到为等边三角形，，，根据两点之间线段最短得到，即可得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为． 【小问1详解】 解：把绕顶点旋转到处，连接，此时， ∴，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，； 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴四点共线， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期自主学习效果问询九年级数学试卷 一、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设（　　） A. B. C. D. 2. 小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 中国美 C. 我爱中国 D. 中国美丽 3. 已知，下列不等式变形不正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若分式的值为零，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 6. 一个多边形的每个内角都等于，则从这个多边形的一个顶点出发，可作对角线的数量是（ ） A. 7 B. 10 C. 35 D. 70 7. 如图，在平行四边形中，，，点分别是边上的动点，连接，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 8. 已知不等式的解集是，则的取值范围为___________． 9. 如图，函数和的图象相交于点，则关于不等式的解集为______． 10. 若关于x的方程无解，则a的值为________． 11. 如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是______． 12. 如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为_____． 三、解答题（共10小题，共64分） 13. 因式分解、解方程 （1）因式分解： （2）解方程： 14. 解不等式组将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 15. 如图，中，，． （1）尺规作图，求作边上的高；（保留作图痕迹） （2）求边上的高的长度． 16. 如图，，，，垂足分别为，分别交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 17. 先化简：，再从，2，3中选择一个适当的数x，代入求值． 18. 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． （1）求证： （2）求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 20. 如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 21. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 22. 按要求完成以下问题 （1）【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． （2）【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $