湖南衡阳市第八中学2027届高三上学期入学考试数学试题

HUN202609 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.A2.C3.C4.D5.B6.B7.C8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分. 9.BC 10.ACD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.y=5x-213.114.(2,+0) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解析(1)设a=3k,b=7k,其中k>0」 代入条件，得9k2+c2=49k2+3c,即c2-3c-40k2=0, 解得C=8k(C=-5k舍去).…。 (3分) cosC-=g2+b-c2_9k2+49k2-64k21 由余弦定理 2ab 2×21k2 7 。…(5分) cosB=a+e2-b2 1 B= (2)由a2+c2=b2+ac,得 2ac 2,所以 3 …（7分) 由v6cns4+bsmA-25,南26s如4写》-26 即bsin(A+B)=V3,所以bsinC=V5 …（10分) bsinC√5 C= =2 b sin B 由正弦定理得sin B sinC,所以 2 。…（13分) 16.解析(1)该地全体高中学生的体测合格率的估计值为 1200×2+80× +600x2 3 4 38 1200+800+600 13 …（4分) (2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3 (5分) P心x=0---引 (7分) x==-引+引+C-到 …（9分) x=2=0-引*引-}0--出 (11分) 13.21 PX=)=2x4X34」 (12分) X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 1 11 1 24 4 24 4 (13分) EX0=0x+1×+2x+3×2 1 24 4 24412 (15分) 17.解析(I)延长DP,与EF交于点G,过点P作PH⊥DE,垂足为H,连接AH. PG-1DG 根据重心的性质，知G为EF的中点，且 3 由于AB⊥BC,所以DE⊥EF,又因为PH⊥DE,所以PHIIEF (1分) 因为PH中平面BCFE,所以PH∥平面BCFE. (2分) PG-DG.PHEE,所以 HE-IDE 因为 3 3 ,所以AB=HE, 又ABDE,所以四边形ABEH是平行四边形，所以AHBE.. (4分) 因为AH丈平面BCFE,所以AH∥平面BCFE. 。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 (5分) 又因为AH∩PH=H,所以平面APH∥平面BCFE, 所以AP∥平面BCFE. (7分) (2)以E为坐标原点，直线EF,ED分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.…(8分) G 由已知可得A(4,12),D(0,3,0),F(6,0,0).P(2,1,0). 则DA=(4,-2,2)，DF=(6,-3,0).Dp=(2,-2,0) (9分) 设m=(化，y,2)是平面ADF的法向量， m-DA=0,2x-y+z=0, 则m:DF=0,得2x-y=0,取m=(1,20) … (11分) 设万=(a,b,c)是平面ADP的法向量， i:DA=0,「2a-b+c=0, 则i-DP=0,即a-b=0,取i=0l,-) (13分) m3 v15 所以 os(m,m）=m元5xV55 i5 则平面ADF与平面ADP夹角的余弦值为5. (15分) 18.解析(1)设C的半焦距为c(c>0). 由题可知，2c=2V2,c=V2,则Q2=b2+2,① (1分) 31Y 91 又C过点22.则4+4 ,② (2分) 联立O②得a=5,b=1, +y2=1 故C的方程为3 (4分) (2)(i)由ko:=1,得直线OA的方程为y=x. y=x, 由3+y2=1, +2=1→x2=3 A 得3 4,由对称性，不妨取 2’2 …（5分) 1 1 1 oa'koB=-。 koB = y=-一x 由 9,得 9,直线OB的方程为9 1 y=- -X, 9 庙3+=1 x2 1→x2=8 9 B 1 得381 8,不妨取(2厅2W7 …(7分) d-5 因为点B到直线OA的距离”14， 1046 1 所以△OAB的面积° 知5A0MBe)-|0A上7XA×2=2… (9分) (i)当直线AB的斜率存在时，设AB:y=G+t,A(:,),B(x2,)】 3+y=1, 由y=c+:得（3k2+)2+6k+32-3=0 6kt 3t2-3 五+5=3X2+1,632+1.… 所以 (10分) 山叶 4ko8=5=-32=1 2=9以2+1 而 x名32-39，化简得4 …（12分) y=kx+t, x2.y2 由匠+斤-得am+m)r+2mx+m-mh=0, 若直线AB与C相切，则△=0，化简有2=m2k2+n2,… …（14分) 2=9k2+1 将4代入，得(4m-9）k2+4n2-1=0 4m2-9=0, m2=9) 该等式对所有的k均成立，则4n-1=0,解得”4， 4 x2,y2 9+=1 即直线AB总与椭圆44 相切，… (16分) x2,y2 3 3 9+=1 x=一 当AB的斜率不存在时，AB:2或2，也与椭圆44相切. x2 y2 9+1 =1 综上所述，存在椭圆C满足题意，其方程为44 …（17分) 19.解折(1)设h)=ef(x),则h()=e[f()+f"(=efx+1≥0 所以h()在R上单调递增，所以h(2)≤h4),即e2f(2)≤ef(4). 所以f(2)≤ef(4) …（3分) (2)设h()=ef(),则 )=ec+=ee+=x+ 由于h(之0，所以t∈[x,x+,有ht+l)之hx+D,所以e h+1)≥(x+1D h0≥h(x+1) 对任意1∈[x,+成立. …(6分) 安n-0-g+00=m-0。 在区间[x,r+内有p(x)≤p(c+), --+0-40 所以f()≤(e-)f(x+),证毕. (9分) (3)由于0≤f)<M,且fx+)=f)+f'(), 故f'=/x+)-fx)<M. 而8x+l)-g)=f'(x+)-f'(x)+af(x+1)-fx】, 由f'(=fx+)-f()及f'(x+l)-f'"()=f"(x), 可得8(x+1)-8四=f"()+f'(=8(,即8也满足8'()=g(x+)-8().…(12分) 反证法：假设80m=m<0,则存在使得8()=m,g'（(o）=0, 由8'(x)=8(+)-8()知8(，+)=g()=m 可见七+1也是极小值点，8'(+)=0，由8(，+)=g(:+2)-g(+1). 可得8(+2)=8(+)=m,以此类推，8(+m川）=mn=01,2）. 设“.=f(x,+n）,由f'(+n)=8(+n)-af(+m）得'(+)）=m-a, 而“1=f(x+n+l)=f'(+n)+f(,+m）=-04+m. )a-o ,令n→+0，则 →号0，+小80 a, 这与0≤f()<M矛盾，故假设不成立，8(x)m≥0， …（17分) HUN202609 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若向量与同向，则 A．-2 B．2 C． D． 2．已知集合，，且，则 A．-1 B．1 C．2 D．0 3．抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 4．若，，成等比数列，则 A．0 B．1 C． D． 5．已知函数（，）的部分图象如图所示，则 A． B． C． D． 6．已知，若当时，恒成立，则的最大值为 A． B．1 C．e D． 7．已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则 A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 8．在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为 A．1 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A． B． C． D． 10．已知，则 A． B．最大的二项式系数为 C． D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列 11．在数列中，，且，则下列选项正确的是 A．若，，且是常数列，则的取值范围是 B．若，，且，则是等差数列 C．若，，，且，则 D．若，，，且，则使得的的最小值为202 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在处的切线方程为_________． 13．若曲线关于直线对称，则_________． 14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）若，求． 16．（15分） 某地有一中、二中、三中3所高中，一中有1200名学生，二中有800名学生，三中有600名学生．当地教育部门为了解高中学生的身体素质，从这3所高中按人数比例抽取部分学生进行体测，根据体测结果，一中、二中、三中学生的合格率依次为，，． （1）求该地全体高中学生的体测合格率的估计值； （2）用各高中的体测合格率代替该高中每名学生体测合格的概率，从这3所高中再各随机抽取一人进行体测，设这3人中体测合格的人数为，求的分布列与数学期望． 17．（15分） 如图，在三棱台中，平面，，，为的重心． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知椭圆：的焦距为，且过点． （1）求的方程． （2）为坐标原点，，是上的两个动点，且总满足（表示斜率）． （i）若，求的面积． （ii）是否存在椭圆：，使得直线总与相切？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知函数与其导数的定义域均为，，且对任意，恒成立，其中为常数． （1）比较与的大小； （2）证明：； （3）若，函数总存在最小值，证明：． HUN202609 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BC 10．ACD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．-1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解析（1）设，，其中． 代入条件，得，即， 解得（舍去）． （3分） 由余弦定理得． （5分） （2）由，得，所以． （7分） 由，得， 即，所以． （10分） 由正弦定理得，所以． （13分） 16．解析（1）该地全体高中学生的体测合格率的估计值为 （4分） （2）由题意，的所有可能取值为，，，， （5分） ， （7分） ， （9分） ， （11分） ． （12分） 的分布列为 0 1 2 3 （13分） ． （15分） 17．解析（1）延长，与交于点，过点作，垂足为，连接． 根据重心的性质，知为的中点，且． 由于，所以，又因为，所以， （1分） 因为平面，所以平面． （2分） 因为，，所以，所以， 又，所以四边形是平行四边形，所以． （4分） 因为平面，所以平面． （5分） 又因为，所以平面平面， 所以平面． （7分） （2）以为坐标原点，直线，分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． （8分） 由已知可得，，，， 则，，． （9分） 设是平面的法向量， 则得取． （11分） 设是平面的法向量， 则 即取． （13分） 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为． （15分） 18．解析（1）设的半焦距为． 由题可知，，，则，① （1分） 又过点，则，② （2分） 联立①②得，， 故的方程为． （4分） （2）（i）由，得直线的方程为． 由得，由对称性，不妨取． （5分） 由，得，直线的方程为． 由得，不妨取． （7分） 因为点到直线的距离，， 所以的面积． （9分） （ii）当直线的斜率存在时，设，，， 由得， 所以，． （10分） 故． （11分） 而，化简得． （12分） 由得， 若直线与相切，则，化简有， （14分） 将代入，得， 该等式对所有的均成立，则解得，， 即直线总与椭圆相切． （16分） 当的斜率不存在时，：或，也与椭圆相切． 综上所述，存在椭圆满足题意，其方程为． （17分） 19．解析（1）设，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以． （3分） （2）设，则， 由于，所以，有，所以， 即对任意成立． （6分） 设，则当时，， 在区间内有， 即，， 所以，证毕． （9分） （3）由于，且， 故， 而， 由及， 可得，即也满足． （12分） 反证法：假设，则存在使得，， 由知， 可见也是极小值点，，由， 可得，以此类推，． 设，由得， 而， 得， 所以，令，则，即， 这与矛盾，故假设不成立，． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $