湖南省部分名校2027届高三9月阶段练习数学试卷

2027届高三年级9月阶段练习 数学 (满分：150分用时：120分钟) 注意事项： 1.答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.一些盆栽植株的高度（单位：cm)分别为5.8,7.3,4.4,7.8,6.6，则这组数据的极差为 A.0.8 B.1.4 C.2.9 D.3.4 2.已知集合A={x|1og2(3-x)≥1}，B={x|x2-3x≤0}，则A∩B= A.[0,1] B.(0,1] C.[1,3 D.[0,3] 3.已知{m,n}是平面内的一组基底，记向量a=3m十2n,b=6m一kn,若a与b共线，则 k= A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.已知数列{am}的前n项积Tm=n十1，则a2o26= 1 1 C.2027 2026 A.2027 B.2026 2026 D.2025 5.已知函数f(x)=x3十lnx,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线与两坐标轴围成的三角 形的面积为 A号 c n得 6.已知椭圆E1:a大火 万2=1(a一b一0)的慝点是椭圆E2:2十 。=1的顶点，点 40到 E,焦点的距离为 ,则6= A R c号 D.1 数学第1页共4页 7.现有8个小队，分别编号为1,2，…，8，记编号为n的小队的人数为am,已知a1,a2,a3, a4,a5,a6成等差数列，a5,a6,a7,ag成等比数列.若a1=96,a8=4,则这8个小队的总人 数为 A.254 B.286 C.312 D.348 8.若函数f(x)=xsin ax在区间(0，π)上有奇数个极小值点，则a的值可以是 A.1 B.3 C.4 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数之=(a3-3a)+(3a2-1)i的实部为a(a>0),且之和z2在复平面内对应的点 分别为A,B,则 A.a=1 B.|z=55 C.A在第一象限内 D.B在第四象限内 10.函数fx)=2sin(ar+p)。>0,g<受的部分图象如图所示，其中点C(0,2)在曲 线y=f(x)上，若|AB|= A.w=3 B9=8 Cf+)是奇函数 D.曲线y=f(x)在点C处的切线斜率为3，√2 1,在平面直角坐标系0zy中，双曲线E:-,1(@,b>0)的左、右焦点分别为F0 2,直线y=3工与E在第一象限内相交于点P,过点P作x轴的平行线与E相交 另一点Q,若PF1⊥PF2,lFF2|=25,则 A.cos∠PF,F,=0 10 B.E的渐近线方程为y=士 2 C.1PQ1=85 5 D.△OPQ的外接圆半径为3,5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数为 (用 数字作答). 13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x都有f(x+a)=x2+2x+3,则a= 14.在正三棱锥P-ABC中，E为棱PC的中点，四点P,A,B,E在球O1的球面上，A,B,C,E在 球O2的球面上，若AB=2O1O2=2√3，则点P到平面ABC距离的平方为 数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知公比为g的等比数列{am}的前n项和为Sm,且S2=3. (1)若a3=4a1,求a1; (2)若g2>4,求S3的取值范围. 16.(本小题满分15分) 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，∠DAB=∠PAD=∠PAB =90°，且AB=4,PA=AD=2. (1)求证：CD⊥PD; (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 某博物馆工作人员将古籍放入展柜前需读取某项评价指标X,古籍的实际状态分为可 直接入柜与需干燥两类，抽取一本古籍可直接人柜的概率为p.当古籍可直接入柜时， X~N(60,16);当古籍需干燥时，X~N(68,16).规定X≤64时，古籍将被登记.现任取 一本古籍. (1)求该本古籍被登记的概率关于p的表达式； (2)登记后，按费用期望较小原则选择直接入柜或复检.已知复检可避免损失，且需干燥 古籍直接入柜的损失为复检费用的4倍.若该古籍被建议复检，求p的取值范围. 附：若X~N(μ，o2),则取P(4一<X<十o)=0.68. 数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且曲线y=f(x)的图象为一条连续 不断的光滑曲线，f(x)>0与f'(x)>0在R上恒成立，设定义域为R的函数g(x)= f(x)十f(x) (1)求g'(x)(用含f(x)和f'(x)的代数式表示)； (2)若g'(x)≥0. ①求证：f(x)>1; ②判断方程g(x)十x=0实数根的个数，并说明理由. 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系Oxy中，设抛物线C:y2=4x,点M(a,0)(a>0).过点M的直线l 与C交于A,B两点，设点O到直线l的垂足为N,记△OAB的面积为S (1)若a=1,且1⊥x轴，求S; (2)求MA·MB·ON2关于a的表达式； (3)当直线l变化时，若S·ON为定值，则求出a的值，并求该定值. 数学第4页共4页 2027届高三年级9月阶段练习 数学参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 5 6 十d,可得-6十4〔引，设力-日可得 答案 D A C B B 5p3-4p2-24=0,(p-2)(5p2+6p+12)=0, 题号 7 8 9 10 11 而5p2+6p+12>p2十6p十9=(p十3)2≥0，故 答案 D BC ACD ABC 力=2，g=2,于是a6=16,a,=g06=8,结合等 1.【答案】D 差数列的性质知总人数M=3(a1十a6)十a,十 【解析】将这组数据从小到大排列，可得4.4,5.8， a8=3×112+12=348. 6.6,7.3,7.8,故这组数据的极差为7.8一4.4= 8.【答案】B 3.4. 【解析】选项中a均为正整数，将区间(0，π)分成 2.【答案】A 【解析】由log2(3-x)≥1得3-x≥2，解得x≤ a个小区间π，k+1)x (a, a儿 ,其中及=0,1，…，a 1,.A=(-∞，1]；由x2-3x≤0得x(x-3)≤ -1.在小区间内，令t=ax-kπ，则0<t<π，且 0,獬得0≤x≤3，∴.B=[0,3],∴.A∩B=[0,1]. f(x)-xsinax= (-1) -(kπ+t)sint.设h(t)= 3.【答案】A 【解析】由条件可知应有3·（一k)=2X6,解得 (kπ十t)sint,则h'(t)=sint十(kπ十t)cost.当 =-4. 0<≤受时，h'()>0:当受 <t<π时，h"(t)= 4.【答案】C 【解析】当n=1时，a1=T1=2.当n≥2时，an= 2cost-(kπ+t)sint<0,∴.h'(t)在此区间内单 T.n+ ,且n=1也满足此式，a.=n+1 调递减.又h' T-1 n n ）-1>0,a(x)=-+1D< 2027 0,由零点存在性定理可知h'(t)在区间(0，π)内 故a2026=2026 有唯一零点，.h(t)在区间(0，π)上先增后减，即 5.【答案】B k为偶数时，f(x)在每个小区间内先增后减，k 【解析】球导得fx)一3+士f1)=4,可得 为奇数时，f(x)在每个小区间内先减后增.因此 极小值点个数等于0,1，…，a一1中奇数的个数 切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3,可知 代入a=1,3,4,5,可得极小值点个数分别为0， 其过点0，一3)和（任，0，于是所求三角形面积 1,2,2,只有a=3时为奇数. 9.【答案】BC 5-2x8x- 9 2 【解析】由x=(a3-3a)+(3a2-1)i的实部为 6.【答案】B a,得a3-3a=a,即a(a2-4)=0.又a>0,得a =2,故选项A错误； 【解析】由条件得√a2-b2=b,可得a=√2b,而 此时之=2+11i,|x|=√(22+11)=5√5，且点 ￡2.y2十x。=1的焦点坐标为(0，士b),可得 A(2,11)在第一象限内，故选项B,C正确； 〔（图+，得6 又z2=(2+11i)2=-117+44i,对应点 B(一117,44)在第二象限内，故选项D错误， 7.【答案】D 10.【答案】ACD 【解析】不妨设a1,a2,a3,a4,a5,a6的公差为d, 【解析J由AB=-2红可得=3，故选项A 3 w a5,a6,a7,ag的公比为g,则28=q3,a5= 5 正确； 4 44 理a6= g2,于是d=a6-a6= 2g.而as=a 代入x=0得2sin9=巨，由1g<得9=， 数学参考答案 第1页共5页 故选项B错误； 符合题意，故a=1. f(r)-2sin(3r+))-2sin(r+ 14.【答案】8或12√2-16（少写不给分） 【解析】记O为△ABC中心，以O为原点，OC π)=一2sin3x,显然其为奇函数，故选项C 的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方 正确； 向，OP的方向为之轴正方向，建立如图所示的 f()=6co3x+f'(0)=32,故选项D 空间直角坐标系。 正确. 11.【答案】ABC 【解析】显然tan∠POF:-子，由∠POP,∈ 0,)得os∠POF:=手，而显然1oP- PP,=5,由余弦定理得1PF,:= 设OP=2h,则C(2,0,0),A(-1,-√3,0)， OP2+OF212-2OPOF2|cos/POF2= B(-1,W3,0),P(0,0,2h),E(1,0,h),记 5+5-2×5×号=2，PF,=E,于是 O1(x1y1,之1)，O2(x2,y2,z2),由球心到球面 的距离为半径可得(x1十1)2十(y1十√3)+z |PF2-√10 eos∠PF,R=P,F-0,放选项A正确， =(x1+1)2+(y1-3)2+z=x+y?+ (之1-2h)2=(x1-1)2+y7+（之1-h)2,解 由勾股定理得|PF12=|F1F2|2-|PF2|2= 18,∴.1PF1=32,由定义得2a=|PF11 1=-h2+1 3 1PF2l=2√2，∴.a=√2，b=√TOF22-a= 得y1=0, 3,故渐近线方程为y三土，x二土2x,故选 -h3-5 a 6h' 项B正确； (x2+1)2+(y2十3)2+z号=(x2+1)2+ 显然P的横坐标xp满足cos∠POF,=OP, (y2-3)2+x=(x2-2)2十y?十z= x2=0, 45 六xp=S,由曲线对称性可知PQ|=2xp一 (x:-1)2+y+(x2-h),解得y=0, 必 h2-3 22= 8,5,放选项C正确) 2h (h2+1)2 AB =20102得3= :sin∠PQ0=sin∠QPO=sin∠POF:=5, 3 3 ∴.由正弦定理得△OPQ的外接圆半径R= h2-3_7h2-52=h2+1)2+4(h+1)2 2h 6h 9 9h2 h6+6h4-18h2+4=0,(h2-2)(h4+8h2-2) P一=3=6，故选项D错误 2sin∠PQ0 =0,h=2或2=-8+64+8=32-4，于 2 12.【答案】180 【解析】数字0不能放首位，.优先考虑首位，其 是所求距离的平方d2=4h2=8或12W2-16. 他位置可以任选，共有AA?=6×6×5=180 15.解：(1)：a3=a1q2,由a3=4a1,得a1q2=4a1, 个没有重复数字三位数. 又a1≠0，∴g2=4,即q=2或q=-2.…2分 13.【答案】1 由S2=3,得a1(1+q)=3,.a1(1+2)=3,或 【解析】令t=x十a,则x=t-a,∴f(t)= a1(1-2)=3.…4分 (t-a)2+2(t-a)+3=t2+(2-2a)t+a2 a1=1或a1=-3.…5分 2a+3,,f(x)为偶函数，f(t)的表达式中 (2)由S2=3,得a1(1+q)=3.由q2>4,得q> 次项系数为0，即2-2a=0,解得a=1,经检验 2,或q<-2.又S3=a1(1+g+g2)= 数学参考答案第2页共5页 30tt-a+g） …8分 <X<μ+o)=0.34.又P(X<)=0.5, 1+q .P(G1A)=P(X≤64)=0.5+0.34=0.84. ∴.由“对勾函数”的性质易知，当q>2时，S3> ………………………………………4分 =7;……10分 当事件B发生时，X~N(68,16),u=68,o= 4,且64=4一。.由正态曲线关于直线x=μ对 当g<-2时s,<32+2) -9.… 称，且P(u-o<X<十σ)=0.68，可得P(u o<X<μ)=0.34，∴.P(G|B)=P(X≤64)= ……12分 0.5-0.34=0.16. ∴.S3的取值范围为S3<一9，或S3>7.… …6分 …13分 由全概率公式，得P(G)=P(GIA)P(A)+ 16.(1)证明：，∠PAD=∠PAB=90°，.PA⊥ P(G|B)P(B)=0.84p+0.16(1-p)=0.68p AD,PA⊥AB.又AB∩AD=A,∴.PA⊥平面 十0.16.∴.该页古籍被登记的概率关于p的表 ABCD,∴.PA⊥CD.…2分 达式为P(G)=0.68p十0.16.…8分 又四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=90°， (2)由条件概率公式，登记后该本古籍需干燥的 ∴.四边形ABCD为矩形，AD⊥CD.…4分 AD,PA是平面PAD内的两条相交直线， 概率为P(B1G)=P(BG)_-P(GIB)P(B)_ P(G) P(G) ,.CD⊥平面PAD.又PDC平面PAD, 0.16(1-p)4(1-p) CD⊥PD.…6分 0.68p+0.1617p+4· …10分 (2)解：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分 设复检费用为a元，则a>0,需干燥古籍直接 别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直 人柜的损失为4a元.对已登记古籍，若直接入 角坐标系，则A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,2,0), 柜，其损失的费用期望为4aP(B|G);若复检， C(4,2,0),P(0,0,2),…………8分 其费用期望为a.:按费用期望较小原则建议复 .PB-(4,0,-2),DC=(4,0,0),DP=(0, 一2,2).设平面PCD的一个法向量为n,… 检，则a<aP(BG),放P(BG)> …10分 ……………13分 则n·DC=0,n·DP=0,n=(0,1,1)为平 面PCD的一个法向量.…11分 由于0≤1,17+0，于是%十> 设直线PB与平面PCD所成的角为0，则sin0 =p馆.n 2 W10 ,即161-p)>17p+4,整理得12>3p, PB1|n√/42+(-2)产X√/2+1 101 p<告又0≤p≤1若该古籍被建议复检， …14分 4 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为√而 则p的取值范围为0≤p< …15分 10 1 15分 18.解：(1)g(x)=f(x)+ f(x),g'(x）= f'(z)f'(x) f2(x)1 …4分 (2)①由(1)得g'(x)=f'(x)-fe- f2(x) f'(x)(f(x)-1)_f'(x)(f(x)-1)(f(x)+1) 17.解：(1)记“该本古籍可直接人柜”为事件A,“该 f2(x) f2(x) 本古籍需干燥”为事件B,“该本古籍被登记”为 g'(x)≥0，又f'(x)>0,f(x)>0,f(x)十 事件G,则P(A)=p,P(B)=1-,且G表示 1>0,.f(x)-1≥0，即f(x)≥1.…6分 X≤64.……2分 若存在x∈R,使f(xo)=1,由于f'(x)>0在 当事件A发生时，X~N(60,16),∴μ=60，o R上恒成立，∴.f(x)在R上单调递增，取x。一 =4,且64=以十6.由正态曲线关于直线x=以 1<x0,则f(xo-1)<f(xo)=1,这与f(x)≥ 对称，且P(μ一o<X<μ十o)=0.68,可得P( 1矛盾，故f(x)>1.…10分 数学参考答案第3页共5页 ②令F(x)=g(x)十x.对任意x1<x2,有 /1+2=4m, …6分 F(x2)-F(x1)=g(x2)-g(x1)+x2-x1> y1y2=-4a. 0,∴.F(x)在R上单调递增，因此方程F(x)= 又MA=|y1|√1+m,MB=|y2|√1+m, 0至多有一个实根.……13分 由题条件可知曲线y=F(x)的图象为一条连 ON=_la ,…8分 √1+m 续不断的严格递增曲线.又F(0)=g(0)>0,取 x。=-g(0),则x0<0,从而g(xo)<g(0), MA.MB.ON2:(1m). 1十m2 ,F(xo)=g(xo)十x0=g(xo)-g(0)<0.… …16分 4a(1+m)1a=4a3.…9分 由零点存在性定理，得F(x)在区间(x。,0)内 (3)由(2)得y1y2=-4a<0,.AB=MA+ 至少有一个零点.又F(x)在R上严格单调递 MB=(|y1|+|y2I)√/1+m2=|y1-y2|· 增，故方程g(x)十x=0有且仅有一个实根.… √1+m2=4√/(m2+a)(1+m),…12分 …………………………………17分 19.解：(1)由a=1且1⊥x轴，得l:x=1.将x=1 ON-AB.ON(( 1+m2 代人y2=4x,得y2=4,从而AB=4.点O到直 1 线x=1的距离为1，放5=名·41=2.… =2a21+(a-1D1+m, …15分 …4分 当a=1时，S·ON=2为定值.…17分 (2)设直线l:x=my十a,联立抛物线方程得 y2=4x,y2-4my-4a=0, x=my+a, 数学参考答案第4页共5页 多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号 分值 必备知识 数学逻辑数学直观数学数据 分析 易 中 抽象推理建模想象运算 难 选择题 5 极差的计算 选择题 5 集合的运算 选择题 平面向量基本定理 选择题 数列前n项积问题 选择题 5 导数的几何意义 选择题 6 5 椭圆综合 选择题 数列的实际应用 选择题 导函数与极值 选择题 6 复数 选择题 10 6 三角函数的图象与性质 选择题 11 6 双曲线综合 填空题 12 5 排列组合 填空题 13 函数的基本性质 小 填空题 14 5 立体几何综合 解答题 15 13 等比数列 解答题 16 15 立体几何与空间向量 解答题 17 15 概率综合 解答题 18 17 抽象函数与导函数综合 解答题 19 17 抛物线综合 数学参考答案第5页共5页