精品解析：湖南省衡阳市衡东县第一中学2026届高三上学期开学数学摸底考试试题

2025年秋季高三开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，则复数的虚部可知. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 2. 设全集，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用集合补集运算即可. 【详解】，， . 故选：A. 3. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 4. 函数图象的对称中心可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令即可求出f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解． 【详解】由，得， 当时，． 故选：C． 5. 已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的周期性得，再利用奇函数的性质及条件，即可求出结果. 【详解】因为是为周期的周期函数 所以， 因为在上是奇函数，则， 又因为当时，，则 故选：A. 6. 已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，得到的坐标，设，联立解方程组，求出得出结论. 【详解】建立如图直角坐标系，则， ， 设，则 所以 解得：， 故， 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性及中间值比较大小. 【详解】， ，且， 故， 又， 故. 故选：A 8. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】设交于，利用线面平行的判定定理可判断A，由题可得进而可判断BD，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断C. 【详解】连接交于，连接，则为的中点， 所以，， 又M为中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为，与平面相交且不垂直， 所以与平面不平行且不垂直，故BD错误； 由题可知平面，平面， 所以，由题可知， 又平面，平面， 所以平面，又， 所以平面，故C正确. 故选：AC. 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用二倍角公式计算判断A,B选项，根据两角和差公式计算判断C,D选项. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B：，B正确； 对于C: ，C错误； 对于D: 正确，D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点的坐标为 B. 准线的方程为 C. 若，则 D. 弦的长度 【答案】CD 【解析】 【分析】根据抛物线的方程可得，即可求解焦点和准线，进而可判断AB,根据焦半径公式即可判断C，根据焦点弦公式即可求解D. 【详解】由可得，故，所以焦点为，A错误， 准线的方程为，B错误， 根据焦半径公式可得若，则，C正确， 设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得， 设,，,，则，，则 故， 故当时，此时弦最短长度为1，即，故D正确， 故选：CD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】设出切点坐标，结合导数列方程，由此求得的值. 【详解】设切点的坐标为， ，则，即， 点在直线上，所以， 即，， 所以. 故答案为：4． 13. 已知等比数列的首项为，前项和为，若，则的值为_______. 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】由和两类情况，结合前项的和求解即可； 【详解】当时，，所以. 当时，，所以. 故答案为： 14. 一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球．规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分．现随机从袋中有放回地取次球（每次一个），记次取球得分之和为随机变量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 所以，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表： 品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 （1）根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）； （2）根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可； （2）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论. 【小问1详解】 由表格数据知，女性消费者偏好品牌的概率； 【小问2详解】 列联表如下， 品牌 性别 男性 15 30 45 女性 30 25 55 45 55 100 由题设，， 所以根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 16. 已知数列的前项和为，，当时，． （1）证明数列为等差数列，并求； （2）求数列的前项和为． 【答案】（1） 当时，由，得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，即可证明数列是以为首项，为公差的等差数列，从而求出； （2）由（1）知，利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， 所以，① 所以，② ①②得 ， 所以． 17. 已知四棱锥的底面为正方形，且平面，为中点 （1）求证：面面 （2）求异面直线与所成角的大小 【答案】（1）证明: 连接，交于点，根据正方形性质，对角线，又面，平面， 故，由，面，故面，而面， 根据面面垂直的判定，面面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定，结合题目条件，证明面即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式来解决. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由平面，平面，故，，由， 故下以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，正方形边长为：， 则，，，，根据中点坐标公式：， 故，，故， 异面直线与所成角的范围是， 故所成角的大小为. 18. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）最大值为40，最小值为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值. 【小问1详解】 因为，则， 则，而直线的斜率为， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，所以，定义域为，且. 令，即，化简可得，解得， 当，即时，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当即时，解得， 所以的单调递减区间为. 综上，得单调增区间为和，单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点， 则 0 4 0 减函数 增函数 40 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 19. 已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. （1）求椭圆方程的标准方程； （2）证明； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） 由，整理得， 设，则，， 因为， ， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得建立关于的方程组，求解即可； （2）直线与椭圆的方程联立整理得，设，由向量的数量积运算求得，可得结论； （3）运用等面积法求得，设，由二次函数的性质可求得其最大值. 【小问1详解】 由已知得，解得， 因此椭圆的方程为；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设为点到直线的距离，故， 又因为， ， 所以， 设，则，由于， 所以，当，即时，等号成立. 因此，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季高三开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象的对称中心可能是( ) A. B. C. D. 5. 已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（　　） A. B. 2 C. D. 6. 已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点的坐标为 B. 准线的方程为 C. 若，则 D. 弦的长度 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则_________． 13. 已知等比数列的首项为，前项和为，若，则的值为_______. 14. 一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球．规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分．现随机从袋中有放回地取次球（每次一个），记次取球得分之和为随机变量，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表： 品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 （1）根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知数列的前项和为，，当时，． （1）证明数列为等差数列，并求； （2）求数列的前项和为． 17. 已知四棱锥的底面为正方形，且平面，为中点 （1）求证：面面 （2）求异面直线与所成角的大小 18. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值、最小值. 19. 已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. （1）求椭圆方程的标准方程； （2）证明； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $