专题05有理数的乘除运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘除运算核心知识点，系统梳理乘法法则（两数、多个有理数相乘）、倒数概念及求法、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、除法法则（符号与转化法则）及乘除混合运算步骤，构建从基础运算到简便运算再到实际应用的递进式学习支架。 该资料亮点在于精准归纳7类易错点（如符号错误、0无倒数），设计12种分层题型（含实际应用如海拔气温关系），通过解题思路引导培养运算能力与推理意识，结合数轴问题发展几何直观。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性巩固，有效提升计算准确率与应用意识。

专题05有理数的乘除运算精讲学案 核心立意： 掌握有理数乘法、除法法则；熟练运用乘法运算律简化运算；理解倒数的含义；规范乘除混合运算步骤；攻克符号易错点，提升计算准确率。 有理数的乘法法则 ❶ 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ❷ 任何数与 0 相乘，结果都为 0。 ❸ 多个有理数相乘：负因数的个数为偶数，积为正；负因数的个数为奇数，积为负；只要有一个因数是 0，积就是 0。 倒数（高频考点） ❶ 若两个数的乘积等于 1，则这两个数互为倒数。 ❷ ⚠️ 0 没有倒数。 ❸ 求倒数的方法：整数写成分母为该数的分数；分数颠倒分子、分母；小数先化为分数；负号必须保留。 乘法运算律（用于简便运算） ❶ 乘法交换律：ab=ba ❷ 乘法结合律：(ab)c=a(bc) ❸ 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac ❹ ⚠️ 使用分配律时，不要漏乘括号内的任意一项。 有理数的除法法则（两条都要掌握） ❶ 符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任意一个不为 0 的数，结果为 0。 ❷ 转化法则：a b=a(b0)，也就是除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 ❸ ⚠️ 红线：0 不能作除数！ 有理数的乘除混合运算 ❶ 第一步：把所有除法统一转化为乘法； ❷ 第二步：数清负因数的个数，确定最终符号； ❸ 第三步：约分，计算绝对值的乘积； ❹ 第四步：没有括号时，必须从左向右依次运算，不要随意添加括号改变顺序。 重点辨析 ❶ 运算顺序：先定符号，再算绝对值，不要先计算绝对值，之后再回头判断符号。 ❷ “互为倒数”描述两个数之间的关系，不能单独说某一个数是“倒数”。 ❸ 分配律只适用于乘法。a(b+c)ab+a c}，除法没有分配律，严禁拆分含有加法的除数。 ❹ 乘除混合运算中，不能跳过“除法变乘法”这一步直接约分。 ❺ 负号属于数字的一部分，进行倒数、乘除运算时，不要随意丢掉负号。 1. 多个有理数相乘时，数错负因数的个数，造成结果符号错误。 2. 错误认为 0 存在倒数。 3. 运用乘法分配律时，漏乘括号里的项，或者漏掉负号。 4. 错误地对除法使用分配律，拆分除数中的加减运算。 5. 乘除混合运算时，不把除法转化成乘法，直接约分计算。 6. 求负分数的倒数时，不小心丢掉负号。 7. 忽略从左往右的运算顺序，私自添加括号，优先计算后面的乘法。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：两个有理数的乘法运算 解题思路：① 判断两个因数的符号，确定积的符号；② 求出两个数绝对值的乘积；③ 若其中一个因数为 0，则结果为 0。 1．计算： ______． 【答案】1 【分析】两个负数相乘，先确定乘积的符号，再计算绝对值的乘积即可得到结果． 【详解】解：∵根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正， ∴乘积符号为正，计算绝对值的乘积可得原式． 2．如图是一个程序运算，若输入的为，则输出的的结果为（   ） A．10 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据程序运算的顺序计算即可得出答案 ． 【详解】解：根据题意把代入可得， ， ， ∴输出的的结果为 ． 故选： ． 3．已知，，且，则_______． 【答案】 【分析】先由绝对值的性质求出、的可能值，再通过加法运算判断哪些组合满足和为正的条件，最后计算符合条件的、的乘积． 【详解】解：∵，， ∴或，或． ①当，时，，满足条件，此时； ②当，时，，满足条件，此时； ③当，时，，不满足的条件，舍去； ④当，时，，不满足的条件，舍去． 综上，的值为． 4．在明代数学名著《算法统宗》中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”．如图，计算，将乘数记在格子上面，乘数记在格子右侧，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到．如图，用“铺地锦”的方法计算两个数相乘，则计算结果为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是对“铺地锦”乘法计算方法的理解与应用，解题的关键是根据格子中数字的位置关系建立方程，求出未知数、的值，再按“铺地锦”的规则斜行相加，得到最终的计算结果． 【详解】解：如图， 由图可得，，， 解得：， ， 计算结果为． 故答案为：． 题型二：多个有理数的乘法运算 解题思路：① 观察因数中有没有 0，有 0 则积为 0；② 数出负因数的总个数；③ 负因数为偶数个，积取正号；负因数为奇数个，积取负号；④ 将所有因数的绝对值相乘。 5．只列式：乘以与两数的和_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据题意列出算式即可． 【详解】根据题意： 故答案为：． 6．如果个有理数的乘积为负数，那么其中正数可能有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握“乘积为负数时，负因数个数必为奇数”是解题的关键，个非零有理数中，负数个数可能为或，对应正数个数为或，进而可得正确选项． 【详解】解：个有理数乘积为负， 负因数个数为奇数，或， 当时，正数有个， 当时，正数有个， 故选：B． 7．三个有理数，满足，求______． 【答案】 或 【分析】本题考查了有理数的乘、除法运算，绝对值的意义、利用分类讨论的思想方法是解题关键．由条件可得，即三个有理数的乘积为正数，因此中要么全为正数，要么有一个正数和两个负数，分别计算两种情况下表达式的值即可． 【详解】解：因为， 所以，即均不为零，且它们的符号情况有两种： 若全为正数，则，，，，故； 若中有一个正数和两个负数，则正数对应的项为，负数对应的项为，且， 故； 因此，的值为或． 故答案为：或． 8．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 题型三：有理数乘法的实际应用 解题思路：① 确定正数、负数对应的实际含义；② 分析题目中的数量关系，列出乘法算式；③ 依据乘法法则进行计算；④ 根据实际问题，写出带有单位的结果。 9．湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A．5次 B．15次 C．20次 D．25次 【答案】C 【分析】根据题意确定每名同学需要传阅的次数，再结合总人数计算总传阅次数即可． 【详解】解：∵小组共5人，所有同学相互传阅自己的手抄报，即每名同学都要将自己的手抄报传给除自己外的名同学， ∴总传阅次数为次． 10．3月22日为“世界水日”，这一天淘气调查了水资源浪费情况，发现一个没拧紧的水龙头每小时约浪费水0.15升，那么这一天到该月月底一个水龙头约浪费水___升． 【答案】36 【分析】本题考查乘法的应用，3月份有31天，3月22日到该月月底共有天，每天24小时，乘以每小时约浪费水量，即为所求． 【详解】解：（升）， 即这一天到该月月底一个水龙头约浪费水36升， 故答案为：36． 11．某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，解题的关键是根据气温差计算出海拔差，再结合已知海拔求出目标海拔． 先计算甲乙两地的气温差；再根据海拔每增加100米气温下降的规律，计算出两地的海拔差；最后用甲地海拔减去海拔差得到乙地海拔． 【详解】解：， ， ， ． 所以乙所在地的海拔为1300米． 故选：B． 题型四：倒数 解题思路：① 根据定义，若两数相乘等于 1，则二者互为倒数；② 记住 0 没有倒数；③ 求整数的倒数可以写成分数形式；④ 求分数的倒数把分子、分母颠倒，注意保留负号。 12．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 13．下列说法正确的是（     ） A．9不是有理数 B．的倒数是5 C．0的相反数与绝对值都是它本身 D．，则 【答案】C 【详解】解：A、9是整数，属于有理数，故本选项说法错误； B、的倒数是，故本选项说法错误； C、0的相反数与绝对值都是0，即都是它本身，故本选项说法正确； D、若，则，故本选项说法错误． 14．如图，一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数，且相对两个面上的数互为倒数，那么( )，( )． 【答案】 【详解】解：根据题意得，． 15．有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数； ⑤正有理数和负有理数统称有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的分类，相反数和倒数的定义求解即可． 【详解】解：①一个有理数不是整数就是分数，符合有理数的定义，原说法正确； ②有理数包含正有理数、负有理数和0，原说法错误； ③0没有倒数，0的相反数是0，原说法错误； ④整数分为正整数、0和负整数，符合整数的分类，原说法正确； ⑤有理数包含正有理数、0和负有理数，原说法错误； ∴正确的说法共有2个，故选B． 题型五：有理数乘法运算律 解题思路：① 识别可以使用的运算律：交换律、结合律、分配律；② 利用交换律、结合律，优先计算便于约分的数；③ 使用分配律时，用括号外的数依次乘括号里的每一项；④ 确定每一部分的符号，最后合并计算。 16．（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将101拆分为后，利用乘法分配律展开即可得到结果． 【详解】解：． 17．计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 18．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法法则，根据乘法分配律的逆运算解答即可． 【详解】解：， 故选：A． 19．下面不可以表示的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查乘法分配律，根据题意，乘法分配律指一个数乘两数之和，等于这个数分别乘这两个数再相加，用字母表示为： 【详解】解：A.图中圆点表示5个6与4个6的总和，列式为：； B.可以表示为：； C.，根据长方形的面积公式：长×宽，两个小长方形拼成大的长方形，大的长方形的长等于，宽是4，两个小长方形的面积等于大长方形面积，所以可以表示为：； D.列式为：，不可以表示， 故选：D 题型六：有理数的除法运算 解题思路：① 可以先判断商的符号，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；② 也可以把除法转化为乘法，乘除数的倒数；③ 0 除以一个不为 0 的数结果是 0；④ 注意 0 不能作为除数。 20．计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 21．某同学在计算时，误将“”看成“”，结果是，则的正确结果是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，将错就错求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选：A． 22．已知、、是有理数，且，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答． 根据，可得a，b，c三个数一定是两正一负，然后再进行化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 题型七：有理数除法的应用 解题思路：① 弄清题目中正、负数表示的意义；② 根据题意列出除法算式；③ 将除法改写为乘法运算再求值；④ 把计算结果还原成实际问题的答案，带上单位。 23．6年前，母亲的年龄是女儿的5倍；6年后，母亲和女儿的年龄和是78岁，则2年后母亲的年龄是（    ） A．45岁 B．51岁 C．53岁 D．63岁 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，年龄问题．6年后母女年龄和是78岁，可以求出母女今年年龄和是（岁）．6年前母女年龄和是（岁）．又根据6年前母女年龄和与母亲年龄是女儿的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄，据此解答即可． 【详解】解：母女今年年龄和：（岁）， 母女6年前年龄和：（岁）， 母亲6年前的年龄：（岁）， 母亲今年的年龄：（岁）， 2年后母亲的年龄是（岁）， 故选：C． 24．观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 【答案】7 【分析】由前两个图可知一个大球与一个小球的体积是9立方厘米，再由第三个图可知一个大球与五个小球的体积是17立方厘米，就用一个大球与五个小球的体积减去一个大球与一个小球的体积，就是四个小球的体积：立方厘米，再用四个小球的体积除以4就是一个小球的体积，据此求解即可． 【详解】解：四个小球的体积：立方厘米， 每一个小球的体积为立方厘米， 每一个大球的体积为立方厘米． 25．我们说话要讲究艺术，否则会引起别人误会，有次李安设宴请客，他环顾四周看到几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分着急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩余客人的三分之一离开了，他着急地一拍大腿：“我说的不是他们．”于是剩下的6个人也走了，聪明的你知道最开始来了多少客人吗？（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查已知一个数的几分之几求这个数，根据题意，第二次离开后剩下6人，这6人是第二次离开前人数的，进而求出剩余的客人，根据剩余客人为已到客人的一半，求出已到客人的人数即可． 【详解】解：（人）； 故选C． 题型八：有理数乘除混合运算 解题思路：① 把所有除法统一转化为乘倒数的形式；② 统计负因数的个数，确定最终结果的符号；③ 对绝对值进行约分和相乘；④ 没有括号时，严格按照从左到右的顺序运算。 26．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数乘除混合运算，根据有理数的乘除运算顺序，从左到右依次计算. 【详解】解： . 故答案为：. 27．（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： ． 28．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 29．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 题型九：有理数四则混合运算 解题思路：① 先观察有没有括号，有括号先算括号里面的；② 无括号时，先算乘除，后算加减；③ 乘除部分先确定符号，再计算绝对值；④ 最后做加减运算，求出最终结果。 30．定义运算“@”的运算法则为：，则( )． 【答案】 【分析】按照题目定义的新运算法则，先计算括号内的运算，再计算括号外的运算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 同理可得 ∴． 31．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则（包括符号规则和运算顺序）进行验证，只有选项B的计算正确． 【详解】解：A： ， ， ，故A错误； B：，，故B正确； C：， ，故C错误； D：，，故D错误， 故选：B． 32．算式 的计算结果的整数部分为_____． 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【详解】解：原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， ∵分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， ∴ 解得 ∴原式的总和满足 原式， 即 原式， ∴原式计算结果的整数部分为． 33．计算的结果为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数的混合运算，先计算每个括号内的值，再计算乘积即可 【详解】解：原式 故选：C 题型十：有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：① 读懂情境，明确正负代表的实际意义；② 梳理数量关系，列出包含四则运算的算式；③ 按照混合运算的顺序计算；④ 结合现实意义检验结果，写出带单位的答语。 34．已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过5千克，收费12元；超过5千克的部分每千克加收2元，小张在该快递公司寄一件7千克的物品，需要付费（　　） A．19元 B．18元 C．17元 D．16元 【答案】D 【分析】根据总费用等于基础费用加上超出部分的加收费用列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，7千克的物品中，前5千克收费12元，超出5千克的部分重量为 （千克），超出部分每千克加收2元. ∵总费用等于基础费用加上超出部分的加收费用， ∴总费用为（元）. ∴需要付费16元． 35．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 【答案】A 【详解】解：滴滴打车总费用为（元）， 曹操出行总费用为（元）， ∵， ∴滴滴软件更划算． 36．暴雨过后，某小区物业同一时刻发现处设施故障，需一名维修工逐一抢修．故障情况如下表： 故障设施 电梯 供水水泵 大门门禁 车库道闸 影响住户（户） 120 80 30 20 所需维修时间（分钟） 50 20 40 10 维修工修完一处立即前往下一处（衔接时间忽略不计）．某处设施的等待时间是指从维修工开始第一处抢修起，到该处抢修完成所经过的时间； 该处故障的影响量=影响住户数×等待时间（单位：户·分钟）． （1）若按“道闸→水泵→门禁→电梯”的顺序抢修，则处故障影响量之和为________户·分钟； （2）若维修工可以自选抢修顺序，为了使影响量之和最小，则应按________________的顺序抢修． 【答案】 19100 供水水泵→电梯→车库道闸→大门门禁 【分析】（1）根据题意依次计算每处故障的等待时间和影响量，再求和即可； （2）4处设施共有24种抢修顺序，依次计算各种顺序的总影响量，对比大小即可解答． 【详解】解：(1)按“道闸→水泵→门禁→电梯”顺序抢修， 道闸等待时间为分钟，影响量为（户·分钟）； 水泵等待时间为分钟，影响量为（户·分钟）； 门禁等待时间为分钟，影响量为（户·分钟）； 电梯等待时间为分钟，影响量为（户·分钟）； 总影响量之和为（户·分钟）． （2）按“道闸水泵门禁电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸水泵电梯门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸门禁水泵电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸门禁电梯水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸电梯水泵门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“道闸电梯门禁水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵道闸门禁电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵道闸电梯门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵门禁道闸电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵门禁电梯道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵电梯道闸门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“水泵电梯门禁道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁道闸水泵电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁道闸电梯水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁水泵道闸电梯”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁水泵电梯道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁电梯道闸水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“门禁电梯水泵道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯道闸水泵门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯道闸门禁水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯水泵道闸门禁”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯水泵门禁道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯门禁道闸水泵”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 按“电梯门禁水泵道闸”顺序抢修， 总影响量之和为（户·分钟）； 由上可得，影响量之和最小的是15200户·分钟，则应按“供水水泵→电梯→车库道闸→大门门禁” 题型十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：① 根据数轴确定每个数的正负以及绝对值的大小关系；② 判断每一步运算结果的符号；③ 综合符号信息，判断整个代数式的正负；④ 必要时代入符合条件的特殊值进行验证。 37．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴可得：，，， 故结论正确的为． 38．有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有_________（填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 39．有理数a ，b在数轴上表示的点如图所示 则下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子正负，准确分析判断是解题的关键． 根据已知数轴得到，，逐项判断即可； 【详解】由图可知：，， ，故正确，不符合题意； ， ， ，故错误，符合题意； ， ，故正确，不符合题意； ，故正确，不符合题意； 故选． 题型十二：数轴上的翻折 解题思路：① 找出折叠的中心点（中点）；② 利用中点公式：中点 =；③ 设未知数，表示出对应点的位置；④ 列方程求解，算出所求点表示的数。 40．若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 41．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则的长为_______． 【答案】9 【分析】本题考查的是数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，正确记忆相关知识点是解题关键．先求解的中点是，再求解对应的数，从而可得答案； 【详解】解：如图： 由可知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据折叠可知，的中点是， 那么点表示的数为， 则； 故答案为：． 42．已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数3的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴的折叠问题，找出对折的中心是解题的关键． 根据折叠的性质，先找出中心，再根据对称关系，可以确定与表示数3的点重合的点． 【详解】解：折叠纸面，数轴上表示数的点与表示数0的点重合， 折叠的中心是， 设点A所表示的数为x， 则， ， 即点A所表示的数为， 故选：A． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）除以非数等于； （2）同号两数相除得正，除法转化为乘倒数计算； （3）小数化为分数，除法改乘法，直接约分； （4）异号相除取负，分数乘倒数，约分化简； （5）有理数连除，先判断符号，除法全部换成乘法计算； （6）多个数连除，小数转分数，负负为正，约分求值； （7）小数改写成分数，除以分数变为乘倒数，约分求值； （8）小数转换分数，除法变乘法，约分求值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)1002 (2) 【分析】（1）先对每一个括号内的算式通分化简，得到一串连续分数相乘的形式，观察可发现相邻分数的分子分母能够交叉约分，约分后仅保留第一个分数的分母与最后一个分数的分子，相除即可算出答案． （2）先用连续自然数求和公式化简原式每一项的分母，将所有分式统一变形为裂项形式，提取公因数2后展开算式，中间互为相反数的分数相互抵消，仅剩下首尾两项，简单计算便能得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数． (1)判断a，b，c的正负性； (2)若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？ 【答案】(1)，， (2)点A表示的数是，点B表示的数是4，点C表示的数是 【分析】本题考查数轴、相反数的概念以及数轴上两点间的距离． （1）根据数轴上数的位置关系，即可判断a，b，c的正负性； （2）根据a，b互为相反数，且A与B相距8个单位长度，可求出a，b的值；根据A，C相距2个单位长度，即可求出c的值． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数， ∴，即，， 又∵表示数c的点在表示数a，b中点（即原点）的左边， ∴， 即，，． （2）解：∵a，b互为相反数， ∴在数轴上，表示a，b的两点到原点的距离相等， 又∵A与B相距8个单位长度， ∴A到原点的距离为， ∴，， ∵A，C相距2个单位长度， ∴在数轴上，A和C对应的数相差2， 又∵且， ∴， 即点A表示的数是，点B表示的数是4，点C表示的数是． 5．开学前，学校聘请一名工人用5天把七年级教师办公室墙面进行了粉刷出新．预计每天粉刷50平方米，下表为工人每天实际粉刷情况，其中大于用“”表示 时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 粉刷面积（单位：） 4 4.5 2 1.5 3 (1)工人哪天粉刷面积最多？5天合计粉刷的面积是多少？ (2)据统计，工人用了80升刷墙漆，已知刷墙漆每升64元，在结算工钱时，有以下几种结算方案： ①按每天400元计付；②按刷墙漆总费用4折计付；③按粉刷面积每平方米10元计付，用哪种方案最省钱？ 【答案】(1) 工人第2天粉刷面积最多，5天合计粉刷 (2) 选择方案①结算最省钱 【分析】（1）以每天计划粉刷的为基准，结合表格偏差值计算每天实际面积与5天总面积； （2）分别计算三种方案的工钱，比较大小得出最省钱方案． 【详解】（1）解：由题意得，每天实际粉刷面积为计划量加当天偏差值， 第1天：； 第2天：； 第3天：； 第4天：； 第5天：， ∵， ∴第2天粉刷面积最多， ∴5天合计粉刷面积：． （2）解：分别计算三种方案的工钱： 方案①：（元）； 方案②：（元）； 方案③：（元）， ∵， ∴选择方案①最省钱． 6．某快递中转站12月第一周平均每天收到快递1200件，12月第二周每天收到快递件数与12月第一周平均每天收到的快递件数相比，增加记作“”，减少记作“”，12月第二周收件情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 件数 (1)该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为___________，收件最少的一天收到快递件数为___________． (2)求该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数． 【答案】(1)1236，1162 (2)该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数为件． 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）利用正负数的实际应用及加减法分别求出第二周每天收到快递的件数，比较即可解答； （2）由（1）知第二周每天收到快递的件数，再根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：第二周周一收到快递的件数为（件）， 第二周周二收到快递的件数为（件）， 第二周周三收到快递的件数为（件）， 第二周周四收到快递的件数为（件）， 第二周周五收到快递的件数为（件）， 第二周周六收到快递的件数为（件）， 第二周周日收到快递的件数为（件）， ， 该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为件，收件最少的一天收到快递件数为件， 故答案为：，； （2）解：由（1）知第二周每天收到快递的件数， 则 （件） 答：该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数为件． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的乘除运算精讲学案 核心立意： 掌握有理数乘法、除法法则；熟练运用乘法运算律简化运算；理解倒数的含义；规范乘除混合运算步骤；攻克符号易错点，提升计算准确率。 有理数的乘法法则 ❶ 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ❷ 任何数与 0 相乘，结果都为 0。 ❸ 多个有理数相乘：负因数的个数为偶数，积为正；负因数的个数为奇数，积为负；只要有一个因数是 0，积就是 0。 倒数（高频考点） ❶ 若两个数的乘积等于 1，则这两个数互为倒数。 ❷ ⚠️ 0 没有倒数。 ❸ 求倒数的方法：整数写成分母为该数的分数；分数颠倒分子、分母；小数先化为分数；负号必须保留。 乘法运算律（用于简便运算） ❶ 乘法交换律：ab=ba ❷ 乘法结合律：(ab)c=a(bc) ❸ 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac ❹ ⚠️ 使用分配律时，不要漏乘括号内的任意一项。 有理数的除法法则（两条都要掌握） ❶ 符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任意一个不为 0 的数，结果为 0。 ❷ 转化法则：a b=a(b0)，也就是除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 ❸ ⚠️ 红线：0 不能作除数！ 有理数的乘除混合运算 ❶ 第一步：把所有除法统一转化为乘法； ❷ 第二步：数清负因数的个数，确定最终符号； ❸ 第三步：约分，计算绝对值的乘积； ❹ 第四步：没有括号时，必须从左向右依次运算，不要随意添加括号改变顺序。 重点辨析 ❶ 运算顺序：先定符号，再算绝对值，不要先计算绝对值，之后再回头判断符号。 ❷ “互为倒数”描述两个数之间的关系，不能单独说某一个数是“倒数”。 ❸ 分配律只适用于乘法。a(b+c)ab+a c}，除法没有分配律，严禁拆分含有加法的除数。 ❹ 乘除混合运算中，不能跳过“除法变乘法”这一步直接约分。 ❺ 负号属于数字的一部分，进行倒数、乘除运算时，不要随意丢掉负号。 1. 多个有理数相乘时，数错负因数的个数，造成结果符号错误。 2. 错误认为 0 存在倒数。 3. 运用乘法分配律时，漏乘括号里的项，或者漏掉负号。 4. 错误地对除法使用分配律，拆分除数中的加减运算。 5. 乘除混合运算时，不把除法转化成乘法，直接约分计算。 6. 求负分数的倒数时，不小心丢掉负号。 7. 忽略从左往右的运算顺序，私自添加括号，优先计算后面的乘法。 题型 考察方向 难度 题型一 两个有理数的乘法运算 ★ 题型二 多个有理数的乘法运算 ★★ 题型三 有理数乘法的实际应用 ★★ 题型四 倒数 ★ 题型五 有理数乘法运算律 ★★★ 题型六 有理数的除法运算 ★ 题型七 有理数除法的应用 ★★ 题型八 有理数乘除混合运算 ★★★ 题型九 有理数四则混合运算 ★★★ 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 ★★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★★ 题型十二 数轴上的翻折 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：两个有理数的乘法运算 解题思路：① 判断两个因数的符号，确定积的符号；② 求出两个数绝对值的乘积；③ 若其中一个因数为 0，则结果为 0。 1．计算： ______． 2．如图是一个程序运算，若输入的为，则输出的的结果为（   ） A．10 B．16 C． D． 3．已知，，且，则_______． 4．在明代数学名著《算法统宗》中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”．如图，计算，将乘数记在格子上面，乘数记在格子右侧，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到．如图，用“铺地锦”的方法计算两个数相乘，则计算结果为_________． 题型二：多个有理数的乘法运算 解题思路：① 观察因数中有没有 0，有 0 则积为 0；② 数出负因数的总个数；③ 负因数为偶数个，积取正号；负因数为奇数个，积取负号；④ 将所有因数的绝对值相乘。 5．只列式：乘以与两数的和_________． 6．如果个有理数的乘积为负数，那么其中正数可能有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 7．三个有理数，满足，求______． 8．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 题型三：有理数乘法的实际应用 解题思路：① 确定正数、负数对应的实际含义；② 分析题目中的数量关系，列出乘法算式；③ 依据乘法法则进行计算；④ 根据实际问题，写出带有单位的结果。 9．湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A．5次 B．15次 C．20次 D．25次 10．3月22日为“世界水日”，这一天淘气调查了水资源浪费情况，发现一个没拧紧的水龙头每小时约浪费水0.15升，那么这一天到该月月底一个水龙头约浪费水___升． 11．某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 题型四：倒数 解题思路：① 根据定义，若两数相乘等于 1，则二者互为倒数；② 记住 0 没有倒数；③ 求整数的倒数可以写成分数形式；④ 求分数的倒数把分子、分母颠倒，注意保留负号。 12．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 13．下列说法正确的是（     ） A．9不是有理数 B．的倒数是5 C．0的相反数与绝对值都是它本身 D．，则 14．如图，一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数，且相对两个面上的数互为倒数，那么( )，( )． 15．有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数； ⑤正有理数和负有理数统称有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：有理数乘法运算律 解题思路：① 识别可以使用的运算律：交换律、结合律、分配律；② 利用交换律、结合律，优先计算便于约分的数；③ 使用分配律时，用括号外的数依次乘括号里的每一项；④ 确定每一部分的符号，最后合并计算。 16．（     ） A． B． C． D． 17．计算的结果是________． 18．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 19．下面不可以表示的是（ ）． A． B． C． D． 题型六：有理数的除法运算 解题思路：① 可以先判断商的符号，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；② 也可以把除法转化为乘法，乘除数的倒数；③ 0 除以一个不为 0 的数结果是 0；④ 注意 0 不能作为除数。 20．计算：________． 21．某同学在计算时，误将“”看成“”，结果是，则的正确结果是（    ） A．2 B． C．4 D． 22．已知、、是有理数，且，则的值是___________． 题型七：有理数除法的应用 解题思路：① 弄清题目中正、负数表示的意义；② 根据题意列出除法算式；③ 将除法改写为乘法运算再求值；④ 把计算结果还原成实际问题的答案，带上单位。 23．6年前，母亲的年龄是女儿的5倍；6年后，母亲和女儿的年龄和是78岁，则2年后母亲的年龄是（    ） A．45岁 B．51岁 C．53岁 D．63岁 24．观察下面的3幅图，在装水的杯中放入大球和小球，请问大球的体积是( )立方厘米． 25．我们说话要讲究艺术，否则会引起别人误会，有次李安设宴请客，他环顾四周看到几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分着急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩余客人的三分之一离开了，他着急地一拍大腿：“我说的不是他们．”于是剩下的6个人也走了，聪明的你知道最开始来了多少客人吗？（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 题型八：有理数乘除混合运算 解题思路：① 把所有除法统一转化为乘倒数的形式；② 统计负因数的个数，确定最终结果的符号；③ 对绝对值进行约分和相乘；④ 没有括号时，严格按照从左到右的顺序运算。 26．计算：___________． 27．（    ） A．2 B． C．1 D．4 28．计算：______． 29．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型九：有理数四则混合运算 解题思路：① 先观察有没有括号，有括号先算括号里面的；② 无括号时，先算乘除，后算加减；③ 乘除部分先确定符号，再计算绝对值；④ 最后做加减运算，求出最终结果。 30．定义运算“@”的运算法则为：，则( )． 31．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 32．算式 的计算结果的整数部分为_____． 33．计算的结果为（　　） A． B．1 C． D． 题型十：有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：① 读懂情境，明确正负代表的实际意义；② 梳理数量关系，列出包含四则运算的算式；③ 按照混合运算的顺序计算；④ 结合现实意义检验结果，写出带单位的答语。 34．已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过5千克，收费12元；超过5千克的部分每千克加收2元，小张在该快递公司寄一件7千克的物品，需要付费（　　） A．19元 B．18元 C．17元 D．16元 35．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 36．暴雨过后，某小区物业同一时刻发现处设施故障，需一名维修工逐一抢修．故障情况如下表： 故障设施 电梯 供水水泵 大门门禁 车库道闸 影响住户（户） 120 80 30 20 所需维修时间（分钟） 50 20 40 10 维修工修完一处立即前往下一处（衔接时间忽略不计）．某处设施的等待时间是指从维修工开始第一处抢修起，到该处抢修完成所经过的时间； 该处故障的影响量=影响住户数×等待时间（单位：户·分钟）． （1）若按“道闸→水泵→门禁→电梯”的顺序抢修，则处故障影响量之和为________户·分钟； （2）若维修工可以自选抢修顺序，为了使影响量之和最小，则应按________________的顺序抢修． 题型十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：① 根据数轴确定每个数的正负以及绝对值的大小关系；② 判断每一步运算结果的符号；③ 综合符号信息，判断整个代数式的正负；④ 必要时代入符合条件的特殊值进行验证。 37．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 38．有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有_________（填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 39．有理数a ，b在数轴上表示的点如图所示 则下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十二：数轴上的翻折 解题思路：① 找出折叠的中心点（中点）；② 利用中点公式：中点 =；③ 设未知数，表示出对应点的位置；④ 列方程求解，算出所求点表示的数。 40．若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 41．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则的长为_______． 42．已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数的点与表示数0的点重合，则数轴上表示数3的点与A点重合，则点A所表示的数为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 3．计算： (1) (2) 4．已知A，B，C三点对应的有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中数a，b互为相反数． (1)判断a，b，c的正负性； (2)若点A与点B相距8个单位长度，点A，C相距2个单位长度，则点A，B，C表示的数各是多少？ 5．开学前，学校聘请一名工人用5天把七年级教师办公室墙面进行了粉刷出新．预计每天粉刷50平方米，下表为工人每天实际粉刷情况，其中大于用“”表示 时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 粉刷面积（单位：） 4 4.5 2 1.5 3 (1)工人哪天粉刷面积最多？5天合计粉刷的面积是多少？ (2)据统计，工人用了80升刷墙漆，已知刷墙漆每升64元，在结算工钱时，有以下几种结算方案： ①按每天400元计付；②按刷墙漆总费用4折计付；③按粉刷面积每平方米10元计付，用哪种方案最省钱？ 6．某快递中转站12月第一周平均每天收到快递1200件，12月第二周每天收到快递件数与12月第一周平均每天收到的快递件数相比，增加记作“”，减少记作“”，12月第二周收件情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 件数 (1)该快递中转站12月第二周收件最多的一天收到快递件数为___________，收件最少的一天收到快递件数为___________． (2)求该快递中转站12月第二周平均每天收到的快递件数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $