专题04有理数的加减运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数加减运算核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、减法法则（转化为加法）、运算律（交换律、结合律）及混合运算步骤，衔接实际应用（如温度变化、收支问题）与数轴距离计算，构建从基础法则到综合应用的学习支架。 资料通过重点辨析（如减法转化符号问题）和常见错误总结（如交换加数漏符号）培养运算能力与推理意识，结合生活情境应用题（如微信账单、温度差）提升应用意识，分层题型设计（基础到拔高）助力课中教学实施与课后学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题04有理数的加减运算精讲学案 核心立意： 掌握有理数加法、减法运算法则，熟练完成有理数加减混合运算；会运用加法运算律简化运算，提升有理数运算能力。 有理数的加法法则 ❶同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； ❷异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； ❸一个数同0相加，仍得这个数。 有理数加法运算律 ❶加法交换律：a+b=b+a； ❷加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ❸运用运算律可将同号、同分母、互为相反数的数优先结合，实现简便运算。 有理数的减法法则 ❶减法转化为加法：减去一个数，等于加上这个数的相反数； ❷公式：a-b=a+(-b)； ❸转换时同时改动两处符号：减号变为加号，减数变为它的相反数。 有理数加减混合运算 ❶第一步：利用减法法则，把算式中所有减法统一转化为加法； ❷第二步：将算式改写为省略加号和括号的和的形式； ❸第三步：运用加法交换律、结合律分组简便计算； ❹第四步：计算得到最终结果。 省略加号的和的形式 ❶把加减混合算式改写为和式，示例：(-8)-(+4)+(-5)-(-2)=-8-4-5+2； ❷两种读法：①读作“负8、负4、负5、正2的和”；②读作“负8减4减5加2”。 有理数加减的实际应用 ❶结合水位变化、收支、温度升降等生活情境； ❷把实际变化量转化为有理数，通过加减运算求解最终结果。 重点辨析 ❶减法转化为加法，必须同时改变两处符号，不可只改动其中一处； ❷省略加号的和式中，数字前面的符号为性质符号，不再作为运算符号；❸使用加法交换律交换加数位置时，必须连同数字前面的性质符号一同移动； ❹互为相反数的数优先结合，可直接抵消简化运算。 1. 异号两数相加，错误直接将绝对值相加，未执行大绝对值减去小绝对值。 2. 有理数减法运算，仅改变减数的符号，没有将减号改写为加号。 3. 交换加数位置时，遗漏数字前面的性质符号。 4. 省略加号的和式，混淆性质符号与运算符号。 5. 加减混合运算不使用运算律，盲目从左向右依次计算，增大计算失误概率。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★ 题型十 省略加法和括号的形式 ★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上两点之间的距离 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：有理数加法运算 解题思路：①判断加数是同号、异号，还是含0；②同号相加取相同符号，绝对值相加；③异号相加取绝对值大的数的符号，大绝对值减小绝对值；④一个数加0，结果等于这个数。 1．_______ 【答案】2 【分析】利用异号两数相加的法则计算即可求解． 【详解】解： 2．下列代数和是8的式子是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法，直接计算每个代数式的和，判断是否等于8即可． 【详解】解： A、，故选项A符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意． 故选：A． 3．将数字，，，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的左面上的数字之和是________． 【答案】3 【分析】本题考查了相对面，有理数加法运算，理解相对面，有理数加法运算法则是关键． 根据图示找出相对面上的数字，再根据有理数加法运算法则计算即可． 【详解】解：根据图1，图2可知， 的相对面是，的相对面是，的相对面是， ∴图2中，右面分别是，9，11， ∴该柱体的左面上的数字之和是， 故答案为：3． 4．在学习有理数的加法时，为了更加直观地展示加法的运算原理，可以用表示，表示．小明画出下图解释了一个式子，这个式子及其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法是解题的关键．根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】解：这个式子及其结果是， 故选D． 题型二：有理数加法中的符号问题 解题思路：①判断加数正负与绝对值大小关系；②同号相加，和与加数符号一致；③异号相加，和的符号由绝对值更大的加数决定；④已知和的正负，反向推导加数符号、绝对值大小关系。 5．若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 6．如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 7．已知a，b是有理数，，，若将a，b在数轴上表示，则图中有可能（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质化简即可判断． 【详解】解：∵|a+b|=-（a+b），|a-b|=a-b， ∴a+b≤0，a-b≥0， ∴a≥b， A．由图知，a＞0，b＞0，所以a+b＞0，所以此选项不合题意； B．由图知，a＜0，b＜0，a＞b，所以a+b＜0，所以此选项符合题意； C．由图知，a＜0，b＞0，a＜b，所以此选项不合题意； D．由图知，a＞0，b＜0，|a|＞|b|，所以a+b＞0，所以此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练化简绝对值符号是解答此题的关键． 题型三：有理数加法在生活中的应用 解题思路：①规定正负：上升、收入、增加记正数；下降、支出、减少记负数；②把实际变化转化为有理数；③列出加法算式；④计算结果，结合题意作答。 8．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ：． 9．盐果子是江西萍乡的特色零食，以本地新鲜蔬果为原料，经腌制、晾晒、烘干等多道工序制成．在制作过程中很有讲究，烘干环节的温度控制十分关键，需要保持均匀稳定，才能保证盐果子的口感与品质．夏夏同学在观摩制作过程时，记录了温度T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 温度 14 32 50 68 若温度的变化是均匀的，则每分钟温度增加______． 【答案】9 【分析】根据表格数据，时间每增加2分钟，温度增加，因此每分钟温度增加，据此可推断． 【详解】解：由表可知，时间从到，温度从升至，增加； 时间从到，温度从升至，增加； 时间从到，温度从升至，增加. 由于温度变化均匀，每分钟温度增加量为． 10．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元） 则最终结果收入6元应表示为， 故选：B 题型四：有理数加法运算律 解题思路：①观察算式，寻找简便计算组合；②优先结合互为相反数、同号、同分母的数；③利用交换律、结合律重新分组；④分组计算后求和。 11．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 12．（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 13．下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 题型五：有理数的减法运算 解题思路：①依据减法法则：减去一个数等于加上它的相反数；②同时改变两处符号：减号变加号，减数变为相反数；③将减法转化为加法；④按加法法则算出结果。 14．_______ 【答案】 【详解】解：． 15．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上它的相反数；通过将减法转化为加法运算，逐一验证每个选项的计算是否正确. 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意. 故选：C. 16．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，得到，再化简绝对值，求出，，再利用减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∴，， ∴或； 故答案为：或． 17．我们知道：一个数的绝对值就是数轴上这个数所对应的点到原点的距离．由此延伸，就是数轴上表示x与y两数的两点之间的距离．因此，若已知，，则的最大值是（    ）． A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、有理数的减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的性质可得或，或，再代入计算的值，然后计算绝对值，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴或，或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的最大值是7， 故选：B． 题型六：有理数减法的实际应用 解题思路：①求两数差值，用大数减小数；②把实际数量转化为有理数；③列出减法算式；④转化为加法计算，解释结果的实际含义。 18．如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用最高温度减最低温度即可． 【详解】解：． 19．地的海拔高度是4600米，地的海拔高度是米，则地比地高（    ） A．4600米 B．100米 C．4500米 D．4700米 【答案】D 【分析】此题考查了有理数减法的实际应用以及正负数的实际应用，用A地的高度减去B地的高度，列减法算式计算即可． 【详解】解：米， 则地比地高4700米， 故选：D． 20．如图为某市几天的每日最高气温与最低气温的变化趋势图，根据图中信息可知，温差最大的是_________日． 【答案】 【分析】本题考查了折线统计图的应用以及有理数的减法，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可． 【详解】解：∵由折线统计图可知， 15日的日温差； 16日的日温差； 17日的日温差； 18日的日温差； 19日的日温差； 20日的日温差； ∴温差最大的是16日． 故答案为：16． 题型七：有理数的加减混合运算 解题思路：①把所有减法统一转化为加法；②改写为省略加号和括号的和的形式；③可从左往右计算，也可分组简便运算；④逐步计算得到最终结果。 21．________； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，掌握相关知识是解题的关键．将小数化为分数，再与通分后相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 22．已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号法则与分数的通分运算是解题的关键．分别计算、、的数值，再比较三者的关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ 故选：C． 23．这个算式结果的整数部分是______． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的加减运算，将化为，进行求解即可． 【详解】解：原式， ， 故整数部分为8； 故答案为：8 24．“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 题型八：有理数加减中的简便运算 解题思路：①全部减法转化为加法；②写成省略加号的和的形式；③优先分组：互为相反数、同号、同分母分别成组；④交换加数时，必须连同前面符号一起移动；⑤各组计算完成后合并求和。 25．计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法运算，利用结合律恒等变形，逐个求解即可得到简便运算方法，熟练掌握有理数加法运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 26．计算的结果为_____________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先利用加法的结合律得，共个数，所以分成了组，每组得和为，即可得到答案．解题的关键是根据有理数的加法法则进行有理数的加减运算；利用加法的结合律简化计算． 【详解】解： ， ∴的结果为。 故答案为：。 27．再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简便算法求出的值，再用1减去该值即得出答案． 【详解】解： ． ， 故再加上后，结果就是． 故选C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，并利用简便算法计算是解题关键． 题型九：有理数加减混合运算的应用 解题思路：①分清基准量和每次变化量；②将每一次变化转化为有理数；③列出加减混合算式；④统一成加法，用运算律简便计算；⑤结合题意写出答语。 28．如图是李阿姨11月11日至14日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，李阿姨于11月14日扫二维码付款给便利店后的余额为（    ） 11月11日09∶24微信转账              余额87.18 11月12日16∶36扫码付款给肉食店      余额 11月14日10∶20微信红包             余额 11月14日19∶05扫码付款-给便利店     余额 A．125.93 B．126.53 C．126.93 D．116.93 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，根据正数表示收款，负数表示付款进行加减运算即可得出答案. 【详解】解：（元） 故选C 29．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 30．如下图是一种转盘型密码锁，每次开锁时，需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，，，……，，”，锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是________． 【答案】35 【分析】本题考查有理数的加减法运算，解决本题的关键是找对刻度线表示的数． 根据题目所给的旋转规则，将每次旋转的数值进行累加，从而得到最终标记线对准的刻度线表示的数． 【详解】解：将开锁密码中的每个数进行累加， 即计算， 可得， 可得， 说明此时顺时针旋转了5个小格，那么标记线对准的刻度线表示的数是35． 故答案为：35． 题型十：省略加法和括号的形式 解题思路：①先把原式全部化为加法算式；②去括号：括号前为“+”，括号内符号不变；括号前为“−”，括号内全部变号；③写出省略加号的和的形式；④掌握两种读法：和的读法、运算读法。 31．式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减混合运算的两种读法规则，需区分运算符号与性质符号的读法逻辑． 【详解】解：① 按运算符号读取：将式子中的“”“”看作运算符号，即“负3减4加5减8”，对应题目中的读法二，该读法正确； ② 按性质符号读取：可将原式转化为，即读作“负3、负4、正5、负8的和”，题目中读法一的“负”为书写笔误； ∴只有读法二正确， 故选：B． 32．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 33．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 题型十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①根据数轴位置，判断字母正负，比较绝对值大小；②数轴上右边的数大于左边的数；③加法：同号符号不变，异号看绝对值；④减法：大数减小数得正，小数减大数得负；⑤综合判断代数式正负。 34．有理数在数轴上的位置如图所示，则的值（    ） A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．大于2 【答案】A 【分析】根据数轴上有理数a所对应的点的位置，可知：a＜-1，进而即可得到答案． 【详解】∵a＜-1， ∴＜0． 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数在数轴上的表示，掌握数轴上的点对应的有理数的大致范围，是解题的关键． 35．a，b，c在数轴上位置如图所示，则的值为（    ） A．正数 B．负数 C．整数 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，由数轴可知，进而可得，． 【详解】解：由数轴知， ， ， 即的值为正数， 故选：A． 36．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】异号两数相加，符号取绝对值较大的数的符号，根据数轴比较两数的绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴． 题型十二：数轴上两点之间的距离 解题思路：①两点距离公式：|a-b|，距离一定是非负数；②确定两点表示的有理数；③代入距离公式；④去掉绝对值计算距离；⑤已知距离求点，要考虑左右两个位置，存在两个解。 37．数轴上表示数的点与其相反数所表示的点的距离是（     ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】先求出的相反数，再计算两点距离即可． 【详解】解：∵的相反数是， 数轴上两点间的距离等于较大数减去较小数， ∴两点距离为． 38．如图，数轴上两点，点在点左边，若点表示的数是7，则点表示的数是____________；若点表示的数是1.2，则点表示的数是____________． 【答案】 【分析】 数轴原点右侧的数为正数，根据点C或点B表示的数得出单位长度，从而求解． 【详解】 解：点C在数轴原点右侧，距离原点7个单位长度，点B在原点右侧，距离原点11个单位长度； 点C表示的数为7时，单位长度为，则点B表示的数为； 点B表示的数为1.2时，单位长度为，则点C表示的数为． 39．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 40．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 2．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①30；② (3)2 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加减运算，观察等式，归纳运算法则是解题的关键． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； （2）解：①； 故答案为：30； ②； 故答案为：； （3）解：∵， ∴与同号，即， ∴， ∵， ∴与异号，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． (1)当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． ；；． (2)用a，b表示A，B两点间的距离． 【答案】(1)3，9，3 (2) 【分析】（1）根据题意，A，B两点间的距离等于两个数差的绝对值，计算即可． （2）根据题意，A，B两点间的距离等于两个数差的绝对值，计算即可． 【详解】（1）解：当时，A，B两点间的距离为：； 当时，A，B两点间的距离为：； 当时，A，B两点间的距离为：． （2）解：根据题意，得A，B两点间的距离为：． 4．应用有理数的加法解下列各题： (1)仓库内原存有某种原料，一周内存入和领出情况如下（存入为正，单位：）：，，，，，，．问：第7天末仓库内还存有这种原料多少千克？ (2)某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视维护，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地．约定向北为正，当天的行驶记录如下（单位：）：，，，，，，，．问：B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？如果汽车行驶每千米路程耗油，那么该天共耗油多少升？ 【答案】(1)第7天末仓库内还存有这种原料 (2)地在地的正南方向，相距；该天共耗油 【分析】（1）先求出一周内原料的变化量，再与原有的原料量相加即可； （2）计算行驶记录的和即可得出位置，计算行驶记录的绝对值的和，再乘以行驶每千米路程耗油量即可． 【详解】（1）解： ， ， 答：第7天末仓库内还存有这种原料； （2）解： ， ， ， 答：地在地的正南方向，相距，该天共耗油． 5．某冷库一周内每天生鲜进、出库吨数如下表所示.（“＋”表示进库，“－”表示出库） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 ＋18 －26 ＋30 －12 －27 ＋36 －20 (1)这一周内，与前一天相比，周______生鲜变化量最大，最大变化量为______吨； (2)通过计算说明，这一周冷库里的生鲜增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)如果进、出库的装卸费都是每吨20元，那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)六 ，36 (2)这一周冷库里的生鲜减少了，变化了1吨 (3)这一周共需付3380元装卸费 【分析】（1）根据表格，可知星期六变化最大； （2）把进、出库数据相加即可； （3）计算总进、出库数，最后乘上装卸费即可． 本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． 【详解】（1）周一为，周二为，周三为，周四为，周五为，周六为，周日为的变化量，绝对值分别为， 所以周六生鲜变化大，最大变化量为36吨 故答案为：六; 36． （2）（吨）． 答：这一周冷库里的生鲜减少了，变化了1吨． （3）（元）． 答：这一周共需付3380元装卸费． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数的加减运算精讲学案 核心立意： 掌握有理数加法、减法运算法则，熟练完成有理数加减混合运算；会运用加法运算律简化运算，提升有理数运算能力。 有理数的加法法则 ❶同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； ❷异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； ❸一个数同0相加，仍得这个数。 有理数加法运算律 ❶加法交换律：a+b=b+a； ❷加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ❸运用运算律可将同号、同分母、互为相反数的数优先结合，实现简便运算。 有理数的减法法则 ❶减法转化为加法：减去一个数，等于加上这个数的相反数； ❷公式：a-b=a+(-b)； ❸转换时同时改动两处符号：减号变为加号，减数变为它的相反数。 有理数加减混合运算 ❶第一步：利用减法法则，把算式中所有减法统一转化为加法； ❷第二步：将算式改写为省略加号和括号的和的形式； ❸第三步：运用加法交换律、结合律分组简便计算； ❹第四步：计算得到最终结果。 省略加号的和的形式 ❶把加减混合算式改写为和式，示例：(-8)-(+4)+(-5)-(-2)=-8-4-5+2； ❷两种读法：①读作“负8、负4、负5、正2的和”；②读作“负8减4减5加2”。 有理数加减的实际应用 ❶结合水位变化、收支、温度升降等生活情境； ❷把实际变化量转化为有理数，通过加减运算求解最终结果。 重点辨析 ❶减法转化为加法，必须同时改变两处符号，不可只改动其中一处； ❷省略加号的和式中，数字前面的符号为性质符号，不再作为运算符号；❸使用加法交换律交换加数位置时，必须连同数字前面的性质符号一同移动； ❹互为相反数的数优先结合，可直接抵消简化运算。 1. 异号两数相加，错误直接将绝对值相加，未执行大绝对值减去小绝对值。 2. 有理数减法运算，仅改变减数的符号，没有将减号改写为加号。 3. 交换加数位置时，遗漏数字前面的性质符号。 4. 省略加号的和式，混淆性质符号与运算符号。 5. 加减混合运算不使用运算律，盲目从左向右依次计算，增大计算失误概率。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数加法运算 ★ 题型二 有理数加法中的符号问题 ★★ 题型三 有理数加法在生活中的应用 ★★ 题型四 有理数加法运算律 ★★ 题型五 有理数的减法运算 ★ 题型六 有理数减法的实际应用 ★★ 题型七 有理数的加减混合运算 ★★ 题型八 有理数加减中的简便运算 ★★★ 题型九 有理数加减混合运算的应用 ★★★ 题型十 省略加法和括号的形式 ★★ 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ★★★ 题型十二 数轴上两点之间的距离 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：有理数加法运算 解题思路：①判断加数是同号、异号，还是含0；②同号相加取相同符号，绝对值相加；③异号相加取绝对值大的数的符号，大绝对值减小绝对值；④一个数加0，结果等于这个数。 1．_______ 2．下列代数和是8的式子是（    ） A． B．C． D． 3．将数字，，，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的左面上的数字之和是________． 4．在学习有理数的加法时，为了更加直观地展示加法的运算原理，可以用表示，表示．小明画出下图解释了一个式子，这个式子及其结果是（   ） A． B． C． D． 题型二：有理数加法中的符号问题 解题思路：①判断加数正负与绝对值大小关系；②同号相加，和与加数符号一致；③异号相加，和的符号由绝对值更大的加数决定；④已知和的正负，反向推导加数符号、绝对值大小关系。 5．若且a，b异号，，则a_______0． 6．如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 7．已知a，b是有理数，，，若将a，b在数轴上表示，则图中有可能（　　　） A． B． C． D． 题型三：有理数加法在生活中的应用 解题思路：①规定正负：上升、收入、增加记正数；下降、支出、减少记负数；②把实际变化转化为有理数；③列出加法算式；④计算结果，结合题意作答。 8．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 9．盐果子是江西萍乡的特色零食，以本地新鲜蔬果为原料，经腌制、晾晒、烘干等多道工序制成．在制作过程中很有讲究，烘干环节的温度控制十分关键，需要保持均匀稳定，才能保证盐果子的口感与品质．夏夏同学在观摩制作过程时，记录了温度T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 温度 14 32 50 68 若温度的变化是均匀的，则每分钟温度增加______． 10．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　） 转账——来自小明 微信红包——发给小红 A． B． C． D． 题型四：有理数加法运算律 解题思路：①观察算式，寻找简便计算组合；②优先结合互为相反数、同号、同分母的数；③利用交换律、结合律重新分组；④分组计算后求和。 11．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 12．（1）计算：________． （2）计算：________． 13．下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 题型五：有理数的减法运算 解题思路：①依据减法法则：减去一个数等于加上它的相反数；②同时改变两处符号：减号变加号，减数变为相反数；③将减法转化为加法；④按加法法则算出结果。 14．_______ 15．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 16．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，，则的值为_____． 17．我们知道：一个数的绝对值就是数轴上这个数所对应的点到原点的距离．由此延伸，就是数轴上表示x与y两数的两点之间的距离．因此，若已知，，则的最大值是（    ）． A．3 B．7 C．8 D．9 题型六：有理数减法的实际应用 解题思路：①求两数差值，用大数减小数；②把实际数量转化为有理数；③列出减法算式；④转化为加法计算，解释结果的实际含义。 18．如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 19．地的海拔高度是4600米，地的海拔高度是米，则地比地高（    ） A．4600米 B．100米 C．4500米 D．4700米 20．如图为某市几天的每日最高气温与最低气温的变化趋势图，根据图中信息可知，温差最大的是_________日． 题型七：有理数的加减混合运算 解题思路：①把所有减法统一转化为加法；②改写为省略加号和括号的和的形式；③可从左往右计算，也可分组简便运算；④逐步计算得到最终结果。 21．________； 22．已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 23．这个算式结果的整数部分是______． 24．“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 题型八：有理数加减中的简便运算 解题思路：①全部减法转化为加法；②写成省略加号的和的形式；③优先分组：互为相反数、同号、同分母分别成组；④交换加数时，必须连同前面符号一起移动；⑤各组计算完成后合并求和。 25．计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 26．计算的结果为_____________． 27．再加上（  ）后，结果就是． A． B． C． D． 题型九：有理数加减混合运算的应用 解题思路：①分清基准量和每次变化量；②将每一次变化转化为有理数；③列出加减混合算式；④统一成加法，用运算律简便计算；⑤结合题意写出答语。 28．如图是李阿姨11月11日至14日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，李阿姨于11月14日扫二维码付款给便利店后的余额为（    ） 11月11日09∶24微信转账              余额87.18 11月12日16∶36扫码付款给肉食店      余额 11月14日10∶20微信红包             余额 11月14日19∶05扫码付款-给便利店     余额 A．125.93 B．126.53 C．126.93 D．116.93 29．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 30．如下图是一种转盘型密码锁，每次开锁时，需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，，，……，，”，锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是________． 题型十：省略加法和括号的形式 解题思路：①先把原式全部化为加法算式；②去括号：括号前为“+”，括号内符号不变；括号前为“−”，括号内全部变号；③写出省略加号的和的形式；④掌握两种读法：和的读法、运算读法。 31．式子有下面的两种读法 读法一：负3，负，正5与的和 读法二：负3减4加5减8 关于这两种读法，正确的选项是（   ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都正确 D．两种读法都不正确 32．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 33．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 题型十一：根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①根据数轴位置，判断字母正负，比较绝对值大小；②数轴上右边的数大于左边的数；③加法：同号符号不变，异号看绝对值；④减法：大数减小数得正，小数减大数得负；⑤综合判断代数式正负。 34．有理数在数轴上的位置如图所示，则的值（    ） A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．大于2 35．a，b，c在数轴上位置如图所示，则的值为（    ） A．正数 B．负数 C．整数 D．不能确定 36．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 题型十二：数轴上两点之间的距离 解题思路：①两点距离公式：|a-b|，距离一定是非负数；②确定两点表示的有理数；③代入距离公式；④去掉绝对值计算距离；⑤已知距离求点，要考虑左右两个位置，存在两个解。 37．数轴上表示数的点与其相反数所表示的点的距离是（     ） A．5 B．10 C． D． 38．如图，数轴上两点，点在点左边，若点表示的数是7，则点表示的数是____________；若点表示的数是1.2，则点表示的数是____________． 39．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 40．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 3．数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． (1)当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． ；；． (2)用a，b表示A，B两点间的距离． 4．应用有理数的加法解下列各题： (1)仓库内原存有某种原料，一周内存入和领出情况如下（存入为正，单位：）：，，，，，，．问：第7天末仓库内还存有这种原料多少千克？ (2)某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视维护，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地．约定向北为正，当天的行驶记录如下（单位：）：，，，，，，，．问：B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？如果汽车行驶每千米路程耗油，那么该天共耗油多少升？ 5．某冷库一周内每天生鲜进、出库吨数如下表所示.（“＋”表示进库，“－”表示出库） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 ＋18 －26 ＋30 －12 －27 ＋36 －20 (1)这一周内，与前一天相比，周______生鲜变化量最大，最大变化量为______吨； (2)通过计算说明，这一周冷库里的生鲜增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)如果进、出库的装卸费都是每吨20元，那么这一周共需付多少装卸费？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $