专题2.2 一元二次方程的解法和根与系数的关系（6个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦初中数学一元二次方程的解法和根与系数的关系，系统梳理直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等6个核心知识点，从基础解法到根的判别式应用再到根与系数关系，构建递进式学习支架，帮助学生逐步深化理解。 该资料以10大基础题型+1大提高题型分层设计，搭配即时训练与自我检测，通过配方法步骤表格化培养推理意识，根与系数关系应用实例提升应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化运算能力与问题解决能力。

专题2.2 一元二次方程的解法和根与系数的关系 （6个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 解一元二次方程——直接开平方法】 6 【基础题型二 解一元二次方程——配方法】 6 【基础题型三 配方法的应用】 7 【基础题型四 因式分解法解一元二次方程】 8 【基础题型五 公式法解一元二次方程】 9 【基础题型六 换元法解一元二次方程】 10 【基础题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 11 【基础题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】 12 【基础题型九 解分式方程(化为一元二次)】 13 【基础题型十 一元二次方程的根与系数的关系】 14 第二部分·练提高题型 【提高题型一 选择合适的方法解方程】 16 第三部分・自我检测 知识点01 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段测试）一元二次方程的根为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 2．（2025九年级上 江苏扬州·周测）给出一种运算：对于，规定例如：若，则有已知，则命题“方程的解是或”是__________命题． 知识点02 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段测试）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 2．（23-24九年级上·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 知识点03 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段测试）关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 2．（23-24九年级上·吉林白城·阶段测试）关于x的一元二次方程根的判别式的值是______． 知识点04 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河北张家口·阶段测试）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）一元二次方程的根的判别式的值为________． 知识点05 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【即时训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）方程的解是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段测试）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 知识点06一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）已知，是方程的两个根，则__________． 【基础题型一 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）定义一种新运算，，则方程的解是（    ） A． B．， C．， D． 【例2】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则___________． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键 1．（2023九年级上 江苏徐州·单元测试）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽池州·阶段测试）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川达州·阶段测试）关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段测试）计算 (1) (2)解方程： 【基础题型二 解一元二次方程——配方法】 【例1】（25-26九年级上·河北张家口·阶段测试）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【基础题型三 配方法的应用】 【例1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【例2】（25-26九年级上·山东泰安·阶段测试）若，则代数式的值为__________． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段测试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（  　  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段测试）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【基础题型四 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 1．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段测试）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 【基础题型五 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）关于方程的理解错误的是（    ） A．这个方程是一元二次方程 B．方程的解是 C．这个方程是一元二次方程的一般形式 D．这个方程可以用公式法求解 【例2】（2026九年级上 山东威海·单元测试）已知，则___________． 1．（24-25九年级上·广西贺州·期中）用公式法解方程：，其中的值是（    ） A．56 B．16 C．4 D．8 2．（2023九年级上 江苏盐城·单元测试）已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【基础题型六 换元法解一元二次方程】 【例1】（25-26九年级上·安徽滁州·阶段测试）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【例2】（24-25九年级上·全国·期中）已知，则的值为________． 1．（2024九年级上 福建南平·单元测试）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．（2023九年级上 江苏南通·周测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 4．（25-26九年级上·北京·阶段测试）解方程： (1)； (2)． 【基础题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例2】（25-26九年级上·福建福州·阶段测试）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2023九年级上 河北石家庄·单元测试）若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【基础题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段测试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·云南昭通·阶段检测）若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 1．（23-24九年级上·河北邢台·阶段测试）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2024九年级上 贵州黔西南·单元测试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【基础题型九 解分式方程(化为一元二次)】 【例1】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山东济南·周测）若，，，四个式子中有三个式子相等，则称数组具有性质P，写出所有具有性质P的数组________． 1．（2023九年级上 山东威海·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上 安徽·周测）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上 广东茂名·周测）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【基础题型十 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【例2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段测试）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上 山东枣庄·单元测试）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 4．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【提高题型一 选择合适的方法解方程】 【例1】（2026九年级上 四川广元）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·陕西西安·期中）实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图所示），若，当时，的长度为___________    1．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川巴中·开学考试）已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 1．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段测试）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．（25-26九年级上·浙江台州 周测）将一元二次方程化成的形式，则k等于（   ） A． B． C．5 D．9 4．（23-24九年级上·云南保山·阶段测试）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 5．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（    ） A．一切实数 B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏镇江）关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2023九年级上·上海奉贤）使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 8．（23-24九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 9．（2023九年级上 四川眉山·单元测试）若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·全国·期中）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2024九年级上 全国）已知为实数，则的最大值为____________． 12．（23-24九年级上·四川南充·周测）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m的取值范围是 _______． 13．（23-24九年级上·广东江门·周测）已知，则的值为________． 14．（25-26九年级上·山东泰安·阶段测试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 15．（25-26九年级上·山东济南·周测）若方程组的两组解为，，则________． 16．（23-24九年级上·河北邢台·阶段测试）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 17．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 18．（23-24九年级上·河北张家口）先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 19．（25-26九年级上·河北张家口·阶段测试）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 20．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次方程的解法和根与系数的关系 （6个知识点+10大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 解一元二次方程——直接开平方法】 9 【基础题型二 解一元二次方程——配方法】 10 【基础题型三 配方法的应用】 12 【基础题型四 因式分解法解一元二次方程】 16 【基础题型五 公式法解一元二次方程】 18 【基础题型六 换元法解一元二次方程】 22 【基础题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 26 【基础题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】 30 【基础题型九 解分式方程(化为一元二次)】 33 【基础题型十 一元二次方程的根与系数的关系】 37 第二部分·练提高题型 【提高题型一 选择合适的方法解方程】 44 第三部分・自我检测 知识点01 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段测试）一元二次方程的根为（　　） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得，， 故选：C． 2．（2025九年级上 江苏扬州·周测）给出一种运算：对于，规定例如：若，则有已知，则命题“方程的解是或”是__________命题． 【答案】真 【分析】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法以及判断命题的真假．根据新定义的规定先计算，再解方程，最后进行判断即可． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 所以，命题“方程的解是或”是真命题， 故答案为：真． 知识点02 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段测试）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 2．（23-24九年级上·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 知识点03 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段测试）关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，计算判别式并判断其符号即可得到结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（23-24九年级上·吉林白城·阶段测试）关于x的一元二次方程根的判别式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，难度较低，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．将a、b、c的值代入根的判别式即可解答． 【详解】∵ ∴，， ∴． 故答案为：． 知识点04 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河北张家口·阶段测试）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）一元二次方程的根的判别式的值为________． 【答案】 【分析】先确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再根据一元二次方程根的判别式公式代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 则． 知识点05 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【即时训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段测试）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 知识点06一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 2．（25-26九年级上·福建泉州·阶段测试）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 【基础题型一 解一元二次方程——直接开平方法】 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）定义一种新运算，，则方程的解是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】根据定义的新运算可知：，由此可求得． 【详解】解：由题意可知， 即：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是定义新运算，以及直接开平方法解一元二次方程，此类题型重点是严格按照新运算进行列式运算． 【例2】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则___________． 【答案】 【分析】把代入方程进行求解即可． 【详解】解：由题意可把代入方程得：， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键 1．（2023九年级上 江苏徐州·单元测试）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 2．（25-26九年级上·安徽池州·阶段测试）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 3．（24-25九年级上·四川达州·阶段测试）关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________． 【答案】 【分析】根据平方的意义得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴a-1≥0， 解得a≥1， 故答案为a≥1． 【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a的一元一次不等式是解题的关键． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段测试）计算 (1) (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ． 【基础题型二 解一元二次方程——配方法】 【例1】（25-26九年级上·河北张家口·阶段测试）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了配方法．把常数项移到方程的右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边变成完全平方式即可． 【详解】解： ∴， 则， ∴ 故选：D 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： 故选D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型三 配方法的应用】 【例1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】A 【分析】依题意，把展开得，结合，得出，解得，即可作答．此题考查了解一元二次方程配方法，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：由得， ∵把关于x的一元二次方程配方，得， 则， 解得， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·山东泰安·阶段测试）若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段测试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的特征就可以解决本题． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把握完全平方公式的特征：． 2．（23-24九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： 故选C 3．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段测试）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】略 【基础题型四 因式分解法解一元二次方程】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程各项系数的定义找出二次项、一次项、常数项，再对多项式因式分解，判断解方程适用方法，选出错误说法． 【详解】解：选项A：方程的二次项系数为1，不符合题意； 选项B：方程的常数项是3，符合题意； 选项C：方程的一次项系数为，不符合题意； 选项D：∵， ∴适合用因式分解法解方程，不符合题意． 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 【答案】或 【分析】先解出方程的两个根为6和8，再分长是8的边是直角边和斜边两种情况进行讨论． 【详解】解：∵， ∴和， ∴①方程的两根6和8为直角边；②较大根8为斜边，较小根6为直角边； 当长是8的边是直角边时，则斜边； 长是8的边也可是斜边． 故斜边长是或． 1．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段测试）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 【基础题型五 公式法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）关于方程的理解错误的是（    ） A．这个方程是一元二次方程 B．方程的解是 C．这个方程是一元二次方程的一般形式 D．这个方程可以用公式法求解 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式等等，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可判断A；解方程即可判断B；一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此可判断C；任何有解的方程都可以用公式法解方程，据此可判断D． 【详解】解：A、是一元二次方程，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， 解得，原说法错误，符合题意； C、这个方程是一元二次方程的一般形式，原说法正确，不符合题意； D、这个方程可以用公式法求解，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【例2】（2026九年级上 山东威海·单元测试）已知，则___________． 【答案】或 【分析】将两个已知等式作差分解因式，分和两种情况计算的值． 【详解】解：已知，，将两式作差得， 分解因式，整理得：， 移项、提取公因式得：， 分两种情况讨论： 情况1：当，即时，把代入得：， 解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入得：； 情况2：当，即时，将两个原等式相加得：， 即， ∵， ∴把代入得：， 整理得，解得， ∴， 综上，的值为或． 1．（24-25九年级上·广西贺州·期中）用公式法解方程：，其中的值是（    ） A．56 B．16 C．4 D．8 【答案】A 【分析】利用公式法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 2．（2023九年级上 江苏盐城·单元测试）已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【分析】解方程求出或，根据方程根的定义得出，，则整体代入可求出，然后把m、n的值分别代入求解即可. 【详解】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【答案】 10 4或 【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况解答即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可. 【详解】解：（1）， 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． （2）由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是的两条直角边的长，则， ②若2，4分别是Rt的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 的面积为4或． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 【基础题型六 换元法解一元二次方程】 【例1】（25-26九年级上·安徽滁州·阶段测试）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 【例2】（24-25九年级上·全国·期中）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解方程是解题的关键；由题意可设，则方程可变为，然后根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】解：由题意可设，则方程可变为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为12． 1．（2024九年级上 福建南平·单元测试）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 2．（2023九年级上 江苏南通·周测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得：或，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为， ∴方程，即：的解为：或， ∴； 故答案为：． 4．（25-26九年级上·北京·阶段测试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 【基础题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·福建福州·阶段测试）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 2．（2023九年级上 河北石家庄·单元测试）若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 【答案】C 【分析】先由直线与双曲线无交点推出与异号，再分别判断两人说法的正误． 【详解】解：联立与，得， 整理得， ∵两函数图象无交点， ∴没有实数解， ∴，即，与符号相反． 判断嘉嘉的说法： 一元二次方程的判别式为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，嘉嘉说法正确； 判断琪琪的说法： 将代入，得， ∵， ∴一定不是方程的根，琪琪说法正确， 综上可得，他俩说的都正确． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段测试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 【基础题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段测试）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 【例2】（23-24九年级上·云南昭通·阶段检测）若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 【答案】 【分析】一元二次方程无实数根时判别式小于零，列出关于的不等式，求解不等式即可得到满足的条件． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， ∴． 1．（23-24九年级上·河北邢台·阶段测试）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 3．（2024九年级上 贵州黔西南·单元测试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且/且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）将代入，求解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 【基础题型九 解分式方程(化为一元二次)】 【例1】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 【例2】（25-26九年级上·山东济南·周测）若，，，四个式子中有三个式子相等，则称数组具有性质P，写出所有具有性质P的数组________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件得到，然后分四种情况讨论即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵四个式子中有三个式子相等， ∴情况一：， 由得：， ∴， 代入得：，则， 解得， 将代入得：， 解得； 情况二：， 由得：， ∴， 代入得：，则， 解得， 将代入得：， 解得：； 情况三：， 由得：，与矛盾，不满足题意； 情况四：， 由得：，与矛盾，不满足题意； 综上所述，所有具有性质P的数组有：． 1．（2023九年级上 山东威海·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，求得点和点坐标，从而求得直线和反比例函数的解析式，联立即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 在菱形中，，，， ， ， 设，则， 由图可得，，即， 由勾股定理得 解得或（舍去）， ，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ， 将代入得， 解得，即， 又为的中点， ， 设直线解析式为， 代入、得，， 解得， ∴， 联立和得， 解得或（舍）， 检验：将代入分母得，结果不为0， ∴是分式方程的解， 将代入得，， ∴． 2．（2024九年级上 安徽·周测）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了解一元一次方程，分式方程，一元二次方程，分别判断四个选项中方程解的情况即可解答． 【详解】解：A、，则，所以方程无实数根； B、，则，经检验，是方程的解，所以方程有两个不相等的实数根； 、，则，所以方程有两个相等的实数根； D、，则，所以方程有一个实数根． 故选：B． 3．（2026九年级上 广东茂名·周测）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 【基础题型十 一元二次方程的根与系数的关系】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 【例2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段测试）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系中两根乘积等于6，即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 2．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 3．（2024九年级上 山东枣庄·单元测试）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 4．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 【提高题型一 选择合适的方法解方程】 【例1】（2026九年级上 四川广元）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 【例2】（23-24九年级上·陕西西安·期中）实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图所示），若，当时，的长度为___________    【答案】/ 【分析】根据数轴得出之间的关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：由数轴得：， 设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数和数轴，方程思想是解题的关键． 1．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行配方即可得到答案． 【详解】解：， 即， 得到． 故选B． 2．（24-25九年级上·四川巴中·开学考试）已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 1．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 2．（25-26九年级上·浙江台州·阶段测试）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 3．（25-26九年级上·浙江台州 周测）将一元二次方程化成的形式，则k等于（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】根据配方法化成的形式即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，解题关键是配方时需在等式两边同时加同一个数才行． 4．（23-24九年级上·云南保山·阶段测试）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法及菱形的性质，先利用因式分解法解方程得到，，则菱形的两对角线长分别为8和2，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．掌握菱形的性质和一元二次方程的解法是关键． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 即菱形的两对角线长分别为8和2， 所以菱形的面积． 故选：． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（    ） A．一切实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：解方程得：， ∵一元二次方程的较大的一根小于1， ∴， ∴， 两边平方得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b的不等式是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏镇江）关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可． 【详解】解:时，或 方程化为：① 时， 方程化为：② 当，即时， 方程①的根为： 方程②的根为： 分析可得时，即：时，有5个不相等的实根 时， 则 中，不符合题意，故有2个实数根 中，，均不符合题意 故时，有2个实数根 共有8个不相等的实数根 当，即时， 方程①的根为：， 方程②的根为：， 故共有4个不相等的实数根 当，即时， 方程没有实数根 综上，方程可能有个、个、个、个实数根 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键． 7．（2023九年级上·上海奉贤）使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 8．（23-24九年级上·江西九江·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 9．（2023九年级上 四川眉山·单元测试）若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再对各选项变形计算，即可找出错误选项. 【详解】解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 10．（25-26九年级上·全国·期中）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式化简求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵方程， ∴两边乘以，得， 即． ∵、分别为方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故选：B． 11．（2024九年级上 全国）已知为实数，则的最大值为____________． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键． 先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值． 【详解】解：由题意可得，解得， 令， 则 = = ∵ ∴的最大值为4， ∴y的最大值为2， 即的最大值为2． 故答案为：2． 12．（23-24九年级上·四川南充·周测）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m的取值范围是 _______． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程公式法，以及三角形三边关系，解不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用两数相乘积为0得到两个方程，求出的值，根据三角形三边关系列出不等式，求出解集即可确定出的范围． 【详解】解：方程， 得到或， 解得：或， 方程的三根可作为一个三角形的三边长， ，且，， 解得：， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·广东江门·周测）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】由可得，进而得，最后把当作一个整体求解一元二次方程可得，，根据一元二次方程根的判别式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∴， ∴ ， ∴，， 当时，可化为， ∵， ∴方程有实数根，符合题意， 当时，可化为， ∵， ∴方程无实数根，不符合题意， ∴的值为． 14．（25-26九年级上·山东泰安·阶段测试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 15．（25-26九年级上·山东济南·周测）若方程组的两组解为，，则________． 【答案】 【分析】可把看作一元二次方程的两个根，另外由根的确定性可以得到两组解是方程的两个根互换，进而可以得到答案． 【详解】解：由方程组，可知和是一元二次方程的两个根， ∴两根之和，两根之积， ∵题目中两组解为和， ∴两组解是方程的两个根互换，即，，，， ∴， 代入，得：． 16．（23-24九年级上·河北邢台·阶段测试）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 17．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 18．（23-24九年级上·河北张家口）先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)3 (2)1，大，-2 (3)直角三角形，见解析 【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式． （2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式． （3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状． 【详解】（1）解：； ∴的最小值是3． （2）， ， ， ∴当的时，有最大值． 故答案为：1，大，． （3）， ， ， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． ，，， 解得，，． ∵， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． 19．（25-26九年级上·河北张家口·阶段测试）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 20．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴， 即； （2）解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $