14.1 全等三角形的性质、全等三角形中的动点问题专项训练-2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦全等三角形性质应用与动态问题，覆盖基础计算到综合探究，体现从静态到动态的知识递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等三角形的性质|8题（4例+4变式）|静态几何计算，利用对应边、角相等求角度或边长|以全等性质为基础，通过图形辨识强化对应关系理解| |全等三角形中的动点问题|6题（3例+3变式）|动态几何探究，含t代数式表示线段，结合全等条件列方程|从性质应用延伸至动态情境，体现几何与代数融合，培养模型意识|

全等三角形的性质、全等三角形中的动点问题专项训练 全等三角形的性质、全等三角形中的动点问题专项训练 考点目录 全等三角形的性质 全等三角形中的动点问题 考点一 全等三角形的性质 例1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 例2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 例3．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，，若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，找到对应边是解题的关键． 首先根据得到，进而可以求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 例4．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，，，，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】先得出，进而可得，再求出，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 变式3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，点在线段上，，则的度数为______． 【答案】/44度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，所以，从而得到，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，点在同一条直线上，，，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，找准对应边是解题的关键．根据全等三角形的性质解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：2． 考点二 全等三角形中的动点问题 例1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 例2．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点A出发，以秒的速度向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 当时，； （3）解：情况一：当，，时，， ，， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当当，，时， ，， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 例3．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，设运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示） (2)若存在值，可以使与全等．求的值． 【答案】(1)； (2)的值为2.4或2． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． （1）根据题意列出式子即可； （2）分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或6 (3)或或或 【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解； （2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解； （3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论： 若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为， 当时，点P在边上，此时； 当时，点P在边上，此时； 综上所述，当时，；当时， ； （2）解：∵，，， ∴， 如图，当点P在边上时，， 此时， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 如图，当点P在边上时，过点C作于点K，， 此时， ∵， ∴，即， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：； 综上所述，当或6时，的面积等于面积的； （3）解：∵， ∴点A和点D为对应点， 设点Q的运动速度为， 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 若，此时， 如图，当点P在边，点Q在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 如图，当点Q在边，点P在边时，， ∴， ∴， 此时， 即点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知长方形的边长，，点E在边上，，如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C向运动，同时，点Q在线段上由点D向C点运动，运动时间为，两个点有一个点停止运动则全部停止运动． (1)当点Q运动的速度为，为等腰三角形时，求运动时间t的值； (2)当与全等时，点Q运动的速度是多少？ 【答案】(1)6秒 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据运动速度得出，，，，根据，得出，求出t的值即可； （2）分两种情况讨论：当，时，，当，时，，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，，， ∵为等腰三角形， ∴， 即， 解得， 答：运动时间t的值为6秒； （2）解：①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P从点B出发在线段上以的速度向点C向运动， ∴时间为：， ∴点Q运动的速度是； ②当，时，， ∵， ∴， ∴时间为， ∵， ∴， ∴点Q运动的速度是； ∴当与全等时，点Q运动的速度是或． 变式3．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，已知中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动， (1)当与全等时，求点运动的时间． (2)若点运动速度变为，点P到达点C后继续在线段上向A点运动，其他条件不变，请问点P能否在点Q到达A点之前与点Q重合，若能，请求出点P的运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，注意分类讨论． （1）根据，求出，根据点为的中点，求出，分时，时，两种情况进行讨论，并注意验证当时，不成立，从而可以求出t的值． （2）根据行程问题列方程即可求出. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，设点P运动时间为t； ∴，， 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即，解得：， 此时，， ∵， ∴此种情况不成立， 综上分析可知，． （2）解：能； 依题意得：， ∴， ∴， ∴点P远动时，点P与点Q重合. 2 学科网（北京）股份有限公司 $全等三角形的性质、全等三角形中的动点问题专项训练 全等三角形的性质、全等三角形中的动点问题专项训练 考点目录 全等三角形的性质 全等三角形中的动点问题 考点一 全等三角形的性质 例1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 例2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，，若，，则的长为______． 例4．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，，，，则的度数是______． 变式1．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，点B、E在上，且．若，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D． 变式2．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，点在线段上，，则的度数为______． 变式4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，点在同一条直线上，，，则的长为___________． 考点二 全等三角形中的动点问题 例1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 例2．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 例3．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，设运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示） (2)若存在值，可以使与全等．求的值． 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长； (2)当为何值时，的面积等于面积的？ (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知长方形的边长，，点E在边上，，如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C向运动，同时，点Q在线段上由点D向C点运动，运动时间为，两个点有一个点停止运动则全部停止运动． (1)当点Q运动的速度为，为等腰三角形时，求运动时间t的值； (2)当与全等时，点Q运动的速度是多少？ 变式3．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，已知中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动， (1)当与全等时，求点运动的时间． (2)若点运动速度变为，点P到达点C后继续在线段上向A点运动，其他条件不变，请问点P能否在点Q到达A点之前与点Q重合，若能，请求出点P的运动时间，若不能，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $