专题05 全等三角形中动点与新定义型问题（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形性质应用，以动点分类讨论、新定义迁移为核心方法，构建从基础多解到综合拔高的递进训练体系，培养推理能力与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多解问题|3题|分类讨论动点位置，利用全等对应关系列方程|全等性质→动点运动状态→多解情况分析| |多结论问题|3题|逐一验证结论，结合全等推导边角关系|全等判定→性质应用→结论正误推理| |动点最值问题|3题|构造全等转化线段，利用两点之间线段最短|双动点问题→全等构造→单动点最值求解| |动点综合问题|3题|动态过程中找不变全等关系，结合几何变换|动点运动路径→全等条件不变性→综合证明与计算| |新定义问题|3题|理解新定义内涵，迁移全等性质解决问题|新定义概念→全等性质应用→综合探究|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5全等三角形中动点与新定义型问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用全等三角形的性质求解的多解问题（高频） 题型2利用全等三角形的性质求多结论问题（重） 题型3利用全等三角形的性质求动点中的最值问题（高频） 题型4利用全等三角形的性质解决动点综合问题（难） 题型5利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用全等三角形的性质求解的多解问题 1,(25-26八年级下河南开封期末)如图，∠C=90°，BC=4,AC=5,射线AP⊥AC于A,点D和E分 别在线段AC和射线AP上运动，且DE=AB.当AE= 时，以点A,B,C为顶点的三角形 与△ADE全等. P 2.(26-27八年级上海暑假作业)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C, AB=8cm,BC=10cm,CD=l4cm,E是AB中点.点P在线段BC上以3cm/s的速度由B向C单向运动的同 时，点O在线段CD上匀速由C向D单向运动.为使△BPE与△CPO在两点运动过程中全等，点O的速度 应为 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 3.(25-26七年级下河南郑州期末)如图，在△ABC中，BE1AC于点E,AF1BC于点F,∠ABC=45°， 点M为直线BC上一点，且CM=AD,点P从点D出发，以1单位长度秒的速度沿DB向点B运动，同时， 点Q从点A出发，沿射线AC以4单位长度秒的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点同时停止运动. 若AC=10,设运动时间为t秒，当△ADP与△MCQ全等时，t= B ◆题型2利用全等三角形的性质求多结论问题 4.(25-26七年级下·福建宁德期中)如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为点D,AD=CD,点E在线 段CD上，连接AE并延长交BC于点F,若ED=BD时，则下列结论中：①AE=BC;②BF=DF;③ AF⊥BC:④∠BFD=45°，其中正确的是 5.(25-26七年级下山东菏泽期末)如图，AB=AD,∠BAD=140°，AB⊥CB于点B,AD⊥CD于点 D,E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF=70°，下列结论中①DF=BE,②△ADF≌△ABE,③FA平 分∠DFE,④EF平分∠AEC,⑤BE+DF=EF.其中正确的结论有 2/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C E B D 6.(25-26七年级下河南开封期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠C=45°，D,E是边BC 上两点，过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,其 中DE=EF.下列结论：①AD=AE:②∠DAE=45°；③若S△ABc=10,S△ADE=4.则S四边形BCF=6; ④CE+BD<DE,其中正确的是一.（填序号） ◆题型3利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 7.(25-26七年级下甘肃张掖期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为6，BD平分 ∠ABC.若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 D M B 8.(25-26八年级上四川泸州阶段检测)如图，△ABC是等边三角形.AB=2,AD是边BC上的高，点E 在边AD上运动，连接BE,以BE为边在其下方作等边△BEF,连接DF、CF,则DF的最小值为 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2425八年级上吉林长春期末)综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在△ABC中，AB=AC,∠A=90° 点D、E分别是ABAC上的动点，且AD=CE,试探究BE+CD的最小值. 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题， 再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题， 【问题解决】如图②，过点C作CF∥AB,且使CF=AC,连接EF,在【问题呈现】的条件下，完成下 列问题： (I)证明：DC=EF: (2)连接 BE+CD的最小值即为线段 的长度 【方法应用】如图③，在△ABC中，∠BAC=50°，AB=AC,BD⊥AC于点D,点M、N分别是线段 BD、BC上的动点，且BM=CN,当AM+AN的值最小时，∠MAD的度数为 D E 图① 图② 图③ ◆题型4利用全等三角形的性质解决动点综合问题 10.(25-26七年级上山东泰安期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6cm,若0是BC的 中点，动点M在AB上移动，动点N在AC上移动，且AN=BM. 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N B M (1)证明：OM=ON: (2)四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由：若不变，请你求出四边形AMOW的面积. 11.(24-25七年级下·四川成都期末)△ABC中，AB=AC,点P为边AC上一动点. H M D B 图1 图2 (I)如图1，过点A作AD⊥BP于点D,以AD为边作△ADE,使AD=AE,且∠BAC=∠DAE,作射线ED 交BC于点F, ①求证：BD=CE,∠BDF=∠DEC: ②求证：BF=CF: (2)如图2，AP=3CP=3,∠BAC=100°，N为△ABC内一动点，且HN=HA=HB,M为HN中点，连接 BM,PN,当BM+PN最小时，求∠APN的度数. 12.(24-25八年级上：吉林长春·期末)在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连结CM, 以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角△CMN,连结NB, A☑ 图① 图② 图③ (1)当△ABC是等腰直角三角形且∠ACB=90°时. ①问题初现：如图①，若点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则BN与AM所在直线的位置关系 是 ②深入探究：如图②，若点M在线段AB的延长线上，判断BN与AM所在直线的位置关系，并说明理由： (2)当△ABC不是等腰三角形且∠ACB<90°时，如图③.若点M为线段AB上不与点A重合的一个动点， 5/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=45°，判断BN与AM所在直线的位置关系，并证明你的结论. ◆题型5利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 13.(25-26八年级上·甘肃平凉·期中)在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用 己有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟 三角形”. 图1 图2 (I)操作判断：如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点.请直接写出线段BD 与CE之间的数量关系： (②)性质探究：如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，D,E均在△ABC外， 连接BDCE,试说明(1)中BD和CE之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程. 14.(23-24七年级下~陕西宝鸡期末)【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A,B分别在射线PM,PN上，过点A垂直PM的直线与过点B垂直PV的直线 交于点Q,则我们把∠AQB称为APB的“边垂角”. 图1 图2 【迁移运用】 (I)如图1，CD,BE分别是△ABC的两条高，两条高交于点F,根据定义，我们知道LDBE是∠DCE的 “边垂角”或∠DCE是∠DBE的“边垂角”，∠DAE的“边垂角”是一： (②)若∠AQB是∠APB的“边垂角”，则∠AQB与∠APB的数量关系是 (3)若∠ACD是∠ABD的“边垂角”，且AB=AC.如图2，BD交AC于点E,点C关于直线BD对称点为 点F,连接AF,EF,且∠CAF=45°，求证：BE=CF+CE, 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26八年级上：广东江门阶段检测)(1)理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做 偏等积三角形. 如图1，在△ABC中，AB=10,AC=6,BC=9 O若Q是AB上一点，AQ=5,则aCAQ与△CB0偏等积三角形（填“是”或“不是”）： ②若P为AC上一点，当AP的长为时，△ABP与△CBP是偏等积三角形： (2)运用定义：如图2，D为BC上一点，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB=4,AC=12,且线段 AD的长为偶数，则AD的长为一： D 图1 图2 (3)拓展加深： ①如图3，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90(0°<∠BCE<90)】 求证：△ACD与△BCE是偏等积三角形： ②如图4，△ABC与△ADE是偏等积三角形，AB=AE,AC=AD,求证：∠BAC+∠DAE=180°， D B 图3 图4 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级上湖北武汉：阶段检测)如图所示，在△ABC中，∠ABC=80°，BD平分∠ABC，P为 线段BD上一动点，卫为边AB上一动点，当AP+P的值最小时，∠APB的度数是() 7112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A.120° B.125 C.130° D.135 2.(25-26八年级上·安徽六安阶段检测)如图，动点C与线段AB构成△ABC,其边长满足 AB=8,CA=2a+2,CB=2a-4.点D在∠ACB的平分线上，且∠ADC=90°，则△ABD的面积的最大值为 () D B C A.12 B.13 C.14 D.15 3.(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，A0⊥OM,OA=6,点B为射线OM上的一个动点，分别以 OB,AB为直角边，点B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE,连接EF交OM于P 点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为() O M E A.4 B.3 C.2 D.2.5 4.(25-26八年级上辽宁抚顺期末)如图，△ABC中，AB>AC,AD是△ABC中线，有下面四个结论： ①。BD与。4CD的面积相等：②4D<(B+AC)@若点p是线段AD上的一个动点（点p不与点人，D 重合)，连接PB,PC,则△ABP的面积比△ACP的面积大：④点P,2是A,D所在直线上的两个动点（点P 与点不重合)，若DP=D0,连接PB,C,则PBⅡQC.所有正确结论的序号是() B D A.①②③④ B.①②④ C.②③ D.①④ 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(25-26八年级下全国课后作业)如图，AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B,C,AB=6,BC=8, CD=2,点P为BC边上一动点，当BP= 时，形成的RtABP与Rt△PCD全等. D B D C 6.(25-26七年级下广东深圳期中)如图，在△ABC中，AC=BC,AB=4,△ABC的面积为10，作 AD⊥AC,且AD=AC,连接BD,点E为射线AB上的动点，当DE的长度最短时，△BDE的面积为 B 7.(25-26八年级上湖北武汉期未)如图，在△ABC中，AC=6,∠BAC=90°，E,D分别为边4B,AC上的 动点，且AE=CD,连接BD,CE.当CE+BD取最小值时，SDc+SABc=一 8.(25-26七年级下·江西景德镇期末)如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12Cm,AC=5cm,过点B作 BM⊥AB.动点E从A点出发以3C/s的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而 运动，始终保持ED=CB.若点E的运动时间为t秒(t>0),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ABC 全等时，t的值为 秒. 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D B 三、解答题 9.(25-26八年级上：广东江门期中)如图，∠B=90°，AB∥DF,AB=4cm,BD=10cm,点C是线段 BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE. 图1 图2 (1)如图1，求证：∠ACB=∠CED (2)利用图2画图并解答：若AC=CE,试求BC的长. 10.(25-26八年级上全国课后作业)如图①，在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A出发，沿着三角形的边 AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s,设运动时间为s. A D Q Q C B E H C 图① 图② 备用图 (1)如图①，当t= 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半： (2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=6cm,DF=7cm,∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动 点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一时 刻，恰好MPO≌aDEF,求点O的运动速度. 11.(2425八年级上福建泉州期末)如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°.点E为4ABC边 BC上的动点，过A作AF⊥AE,且AF=AE,连结BF交直线AC于点P. 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B (I)求证：AC=BC: AP (②若BC=2,点B为BC的中点，请求出CP的值： BC 5 AP 3)若点B为射线CB上的动点，BE4,试求出CP的值。 12.(25-26八年级上江苏泰州阶段检测)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角 形. ()【初步尝试】如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=13,BC=12,AC=5,点P为AC上一点，当 AP=时，△ABP与△CBP为积等三角形. (2)【理解运用】如图，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=3,AC=5,且线段AD长为正偶数，求 AD的长. (3)【综合应用】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE,连接EG,求证：△AEG和△ABC为积等三角形. G A D C B 13.(25-26八年级上：广西南宁·期中)新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫 做积等三角形. 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D 图1 图2 图3 【初步尝试】(1)如图1，在△ABC中，AB>AC,BC=4,P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积 等三角形，则BP的长为 【理解运用】(2)如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2,AC=4. ①求AD的取值范围； ②当AD的长度为正整数时，则AD= 【综合应用】(3)如图3，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AB=AC,过点C作MN⊥AC,点D是射线CM 上一点，以AD为边作Rt△ADE,∠DAE=9O°，AD=AE,连接BE,请判断△BAE与△ACD是否为积等三 角形，并说明理由. 12/12 专题05 全等三角形中动点与新定义型问题 常考题型·精准突破 题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题（高频） 题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题（重） 题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题（高频） 题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题（难） 题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用全等三角形的性质求解的多解问题 1．（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】根据，可得要使以点，，为顶点的三角形与全等，利用，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点，，为顶点的三角形与全等， ∴当，时，此时，点与点重合，， 当，时，， 综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与全等． 2．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 【答案】或 【分析】设运动时间为，点Q的速度为，根据线段的中点可得：再根据题意可得：，，从而可得，然后分两种情况：当时；当时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为，点Q的速度为， ∵E是中点， ∴， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． ◆题型2 利用全等三角形的性质求多结论问题 4．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，垂足为点，，点在线段上，连接并延长交于点，若时，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】利用全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据给出条件，无法得出，故②错误； ③∵， ∴， ∵，且， ∴， 即， ∴，故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确选项为①③④． 5．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 【答案】③⑤ 【分析】由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与、分别是、上的任意点互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， 的另一个条件是， 与不一定相等， 与不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与、分别是、上的任意点矛盾，故④错误； 综上可知，正确的结论有③⑤． 6．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． ◆题型3 利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 7．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 8．（25-26八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，是等边三角形．是边上的高，点在边上运动，连接，以为边在其下方作等边，连接、，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形性质、全等三角形判定与性质及垂线段最短，解题关键是通过证明全等确定点的运动轨迹，易错点是对全等条件或轨迹分析错误，解题思路为：先证确定的运动轨迹，再根据垂线段最短求的最小值． 【详解】解：因为和都是等边三角形， 所以，，； 则，； 所以； 因为是等边的高， 所以点在与成角的直线上运动， 根据 “垂线段最短”，过作这条直线的垂线，垂足为时，最小， 已知，是中点，所以， 在中（为垂足），，则； 故答案为：． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期末）综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 【答案】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2），； 方法应用： 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的性质的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 问题解决：（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度． 方法应用：在下方作，使，连接，则最小值为，此时三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】问题解决：（1） 略 （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； 方法应用：解：在下方作，使，连接． 则． ， 即最小值为，此时三点在同一直线上． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：． ◆题型4 利用全等三角形的性质解决动点综合问题 10．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1) 连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）中，，点P为边上一动点． (1)如图1，过点A作于点D，以为边作，使，且，作射线交于点F． ①求证：，； ②求证：； (2)如图2，，，N为内一动点，且，M为中点，连接，当最小时，求的度数． 【答案】(1) 证明：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点C作，交的延长线于点H， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，三角形的内角和性质，熟练掌握以上知识是解本题的关键． （1）①证明，得出，，则可得出结论； ②过点C作，交的延长线于点H，由（1）可知，证明，得出； （2）取的中点Q，连接，，证明，得出，则，得出Q，N，P三点共线时，最小，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点Q，连接，， ∵，M为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴Q，N，P三点共线时，最小， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 12．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在中，为锐角，点M为射线上一动点，连结，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角，连结． (1)当是等腰直角三角形且时． ①问题初现：如图①，若点M为线段上不与点A重合的一个动点，则与所在直线的位置关系是______； ②深入探究：如图②，若点M在线段的延长线上，判断与所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当不是等腰三角形且时，如图③．若点M为线段上不与点A重合的一个动点，，判断与所在直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①垂直； ②， 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ， ． ． ． ． (2)， 理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点D， ． ． ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）①利用等腰直角三角形的性质得到，再证明，即可得出结论；②同理①证明，即可得出结论； （2）过点C作交的延长线于点D，同理证明，即可得出结论 【详解】（1）①问题初现：垂直；理由如下： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ． ． ． ； ② 略 （2）略 ◆题型5 利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 13．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断：如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：____． (2)性质探究：如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，均在外，连接，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． 【答案】(1) (2)成立；见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可得出答案； （2）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可完成证明； 【详解】（1）解：和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ， 故答案为：； （2）依然成立，理由如下： 和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ． 14．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3) 解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）略 15．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 【答案】（1）①是；②3； （2）6； （3）①与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． ②作，交的延长线于点，作于点， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）①先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． ②作，交的延长线于点，作于点，根据新定义，推出，证明，得到，进而得到． 【详解】解：（1）①∵点是上一点，且， 又∵， ∴， 即：为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴不全等， ∴与是偏等积三角形； 故答案为：是； ②∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，与是偏等积三角形，此时； 故当时，与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）如图2，过C作交的延长线于E， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长为偶数， ； （3）①略 ②略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图， 平分， ， ， ， ， ， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如下图， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C与线段构成，其边长满足．点D在的平分线上，且，则的面积的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解： 如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故选A． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，则的长度为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 过点作，垂足为点，首先证明，得到；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，   ， ， ， 、均为等腰直角三角形， ，； 在与中， ， ， ，； ， ， 在与中， ， ， ；而， ， 故选B． 4．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，， ，易证得，可得，即可对④进行判断. 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图 ∵， ∴ ∴ 则在中，， ∴，故②正确； 点是线段上的一个动点(点不与点重合)，连接，如图 ∵， ∴， 又∵与的面积相等， ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点是所在直线上的两个动点(点与点不重合)，若，连接，如图， 由，， ， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：B. 二、填空题 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，的面积为10，作，且，连接，点为射线上的动点，当的长度最短时，的面积为________． 【答案】1 【分析】先结合垂线段最短，得的延长线，再证明，得，，又因为，证明，故，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当的长度最短时，即的延长线，如图所示： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的延长线， ∴， ∴， ∴， ∵ 故， ∴， 则， ∴． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 8．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 三、解答题 9．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，，，，，点C是线段上一动点，点E是直线上一动点，且始终保持． (1)如图1，求证：． (2)利用图2画图并解答：若，试求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． (2) 如图所示为所求： 的长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形对应边相等的性质的运用，本题中求证是解题的关键． （1）根据，得出，再根据，得出，最后根据同角的余角相等，即可得出； （2）先判定，得出，，进而得出，根据全等三角形的对应边相等，即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当___________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据，分类情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）分情况讨论： 当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 11．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，已知中，，．点E为边上的动点，过A作，且，连结交直线于点P． (1)求证：； (2)若，点E为的中点，请求出的值； (3)若点E为射线上的动点，，试求出的值． 【答案】(1) 证明：， ； (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和以及等角对等边即可证明； （2）过F点作于D点，先证明，再证明，即可求解； （3）不防设，则，①当点E在边上时，则，则，则，即可求解；②当点E在边的延长线上时，则，同（2）的方法可证得，此时，则，继而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过F点作于D点，如图： ， ∵ ， 在和中 ，点E为的中点 在和中 ； （3）解： ∴不防设，则 ①当点E在边上时，则， 由（2）得， ②当点E在边的延长线上时，则， 同（2）的方法可证得， 综上所述，的值为或． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． (1)【初步尝试】如图，在中，，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． (2)【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． (3)【综合应用】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 【答案】(1) (2) (3) 证明：如图，过点作，交的延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴ ∵；     ∴ ∵是直角三角形，为钝角三角形， ∴和为不全等， ∴和为积等三角形． 【分析】（1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题； （2）过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作，交延长线于点H，先证明，得到，依据三角形的面积公式可知，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【详解】（1）解：如图1，中，     ∴； ∵与不全等，与为积等三角形， ∴ ∴ 故答案为：； （2）如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵线段长为正偶数 ∴. （3）略 13．（25-26八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则． 【综合应用】（3）如图3，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）①；②2；（3）是积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：2； （2）①解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ②为正整数， ； 故答案为：2； （3）是积等三角形， 证明：如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 与为积等三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5全等三角形中动点与新定义型问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用全等三角形的性质求解的多解问题（高频） 题型2利用全等三角形的性质求多结论问题（重） 题型3利用全等三角形的性质求动点中的最值问题（高频） 题型4利用全等三角形的性质解决动点综合问题（难） 题型5利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用全等三角形的性质求解的多解问题 1.4或5 2.3cm/s或2.4cm/s 0 3.2或3 ◆题型2利用全等三角形的性质求多结论问题 4.①③④ 5.③⑤ 6.②③1③② ◆题型3利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 7.3 8分 9. 【答案】(1)证明：：CF∥AB, .∠DAC=∠ECF=90°， 1/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△DAC和△ECF中， CF=AC ∠DAC=LECF, AD=CE ADAC≌△ECF(SAS), :.DC=EF (2)解：连接BF,BE+CD的最小值即为线段BF的长度. 则BE+CD=BE+EF之BF, 故BE+CD的最小值即为线段BF的长度， F D B 图② 故答案为：BF,BF; 方法应用：解：在BC下方作△CNA',使aCNA'≌aBMA,连接AA'. 图③ 则∠NCA'=∠MBA,AM=AN,AB=AC=AC .AM+AN=A'N+AN AA', 即AM+AN最小值为AA,此时A,N,A三点在同一直线上. :∠BAC=50°，AB=AC ∴，∠ACB=∠ABC=65°， BD⊥AC, .∠ABD=90°-50°=40°， ∴.∠NCA'=40°， 2/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ACA'=65°+40°=105°， .AC=A'C. ∠AAC=∠A=37.5°， ∠BAM=37.5°， .∠MAD=∠BAC-∠BAM=50°-37.5°=12.5°， 故答案为：12.5°. ◆题型4利用全等三角形的性质解决动点综合问题 10. 【答案】(I) 连接OA, N B M :∠A=90°，AB=AC=6cm,O是BC的中点， .∠OAN=∠OAB=∠B=45°， .'.OA=OB, 又，AN=BM, .△AON≌aBOM(SAS). ..OM =ON; (2)解：四边形AMON面积不会发生变化，理由如下： ,△AON≌△BOM, .S△MAON=S&BOM, 1 11 ∴.S四边形AMON=S。AOB= .c- 2 6×6=9cm2, ∴.四边形AMOW面积不会发生变化，面积为cm2. 11. 【答案】(1) 3/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：①，∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即LBAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAC=∠CAE, AD=AE :.△BAD≌△CAE(SAS) ∴.BD=CE,∠AEC=∠ADB=90°， ∴.∠BDF+∠ADE=∠AED+∠CED=90°， AD=AE, .∠ADE=∠AED, .LBDF=∠DEC: ②过点C作CH∥BD,交ED的延长线于点H, D B H 由(I)可知LBDF=LCED,BD=CE, CH∥BD .∠BDF=∠H, ∴.∠H=∠CED .CH=CE, .BD=CH, 又，∠BFD=∠CFH. ∴.△BFD≌aCFH(AAS), .'BF =CF: (2)解：取BH的中点Q,连接QN,P2, 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H M ◇ B 图2 :BH=HN,M为HN的中点， .HM=HO 又：∠BHM=∠QHN, .△BHM≌aNHQ(SAS), .BM =ON, :.BM+PN=NQ+PN≥PQ」 ∴.Q,N,P三点共线时，BM+PN最小， AP=3CP=3. .AB=AC=4. .AH=BH=2,HO=1. ..AO=AP=3, .∠BAC=100°， =40° ÷∠APN=080°-100)×2 12. 【答案】(1)①问题初现：垂直：理由如下： :△ABC和△CMN都是等腰直角三角形， ∴.AC=BC,MC=NC,∠ACB=∠MCN=90° .∠A=∠ABC=45°，∠ACM+∠BCM=∠BCN+∠BCM=90° ∴.∠ACM=∠BCN :∴.△ACM≌△BCN(SAS) .∠CBN=∠A=45°. .∠ABN=∠ABC+∠CBN=45°+45°=90° .BN⊥AM: ②BN⊥AM, :△ABC和△CMN都是等腰直角三角形， 5/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=BC,MC=NC,∠ACB=∠MCN=90 .∴∠A=∠ABC=45°，∠ACB+∠BCM=∠MCN+∠BCM .∠ACM=∠BCN. AC=BC,MC=NC ∴.△ACM≌△BCN. .∠CBN=∠A=45° .∠ABN=∠ABC+∠CBN=45°+45°=90°， BN⊥AM. (2)BN⊥AM, 理由如下： 如图，过点C作CD⊥BC交BA的延长线于点D, C DA M B.∠DCB=90° .∠D+∠DBC=90° ∴.∠D=90°-∠DBC=90°-45°=45° ∴.∠D=∠DBC .DC=BC. '∠DCB=∠MCN=90° .∴∠DCB-∠BCM=∠MCN-∠BCM」 .∠DCM=∠BCN. .DC=BC,MC=NC. .△DCM≌△BCN .∠CBN=∠D=45 .∠ABN=∠ABC+∠CBN=45°+45°=90° .BN⊥AM. ◆题型5利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 13 6/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)解：“△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE, .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE」 .△BAD≌△CAE(SAS), .BD=CE, 故答案为：BD=CE: (2)BD=CE依然成立，理由如下： :△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE, ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, .△BAD≌△CAE(SAS), ..BD=CE. 14. 【答案】(1)解：根据“边垂角”的定义，∠DAE的“边垂角”是∠DFE; (2)解：若∠AQB是∠APB的“边垂角”，分两种情况 ①如图，∠AQB是∠APB的“边垂角”， .AQ⊥PA,BQ⊥PB .∠AQB+∠1=90°，∠APB+∠2=90°， ∠1=∠2， .∠AQB=∠APB 2 B ②如图， ∠AQB是∠APB的“边垂角”， .AQ⊥PA,BQ⊥PB 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠PAQ=90°，∠PBQ=90° ∠PAQ+∠AQB+∠APB+∠PBQ=360° .∠AQB+∠APB=180° B 综上所述，∠AQB与∠APB的数量关系是∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°： 3) 解：延长BA,CD交于点G, :∠ACD是∠ABD的“边垂角”， .CG⊥BD,BG⊥AC, ∴.∠ABE+∠AEB=90°，∠ACD+∠DEC=90°， ∠AEB=∠DEC, ∠ABE=∠ACF, ∠BAE=∠CAG=90°， .AB=AC, △ABE≌△ACG(ASA), ..AG=AE,BE=CG ∠FAC=45° ∴∠GAF=90°-∠FAC=45°， AF=AF, .△AGF≌△AEF(SAS). .GF=EF, 点C关于直线BE对称点为点F, .EF=EC, ...BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE, ..BE=CF+CE 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 15 【答案】解：(1)①：点卫是AB上一点，且40=5， 又AB=10 40548, 即：Q为AB的中点， CQ为△ABC的中线， S.xce=S.mco, :AQ=BQ,CQ=CQ,AC≠BC, .△ACO,aBCQ不全等， ∴.△CAQ与△CBQ是偏等积三角形： 故答案为：是： ②，三角形的中线平分三角形的面积， 六当BP为。dBC的中线时，AMBP与ACBP是偏等积二角形，此时AP=CP4C-3, 故当AP=3时，△ABP与△CBP是偏等积三角形： 故答案为：3； (2)如图2，过C作CE∥AB交AD的延长线于E, D 与 是偏等积三角形，且 与 在、 边上的高相等， 图2 E ,△ABD△ACD △ABD△ACD BD CD ∴BD=CD, 在△ECD和△ABD中， ∠E=∠BAD ∠EDC=∠ADB CD=BD 9120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ECD≌△ABD(AAS). .ED=AD,EC=AB=4. AC-EC<AE<AC+EC,AB=4,AC=12, 12-4<2AD<12+4, .4<AD<8, 线段AD的长为偶数， ∴AD=6: (3)①△ACD与△BCE是偏等积三角形. 理由：如图3， 7 G E B 图3 :∠ACB=∠DCE=90° :.∠ACD+∠BCE=180°， 0°<∠BCE<90°， .∠ACD>90°， ∠ACD≠∠BCE, .CA=CB.CD=CE, .△ACD与△BCE不全等， 作BF⊥CE于点F,AG⊥DC交CD的延长线于点G,则∠G=∠BFC=90°， :∠ECG=180°-∠DCE=90°， .∠ACG=∠BCF=90°-LBCG, 「∠G=∠BFC 在 和 中， ∠ACG=∠BCF △ACG △BCF CA=CB ∴.△ACG≌aBCF(AAS), ..AG=BF, 1 CD:4G-CE BF ∴△ACD与△BCE面积相等， ∴△ACD与△BCE是偏等积三角形. 10120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②作DK⊥AE,交EA的延长线于点K,作CH⊥AB于点H, D 与 是偏等积三角形， --C 图4 △ABC AADE AEDK-AB-CH. AB=AE, .DK=CH, 在RtAKD和RtAAHC中， DK=CH AD=AC· .RtAAKDS≌RtA AHC, .∠DAK=∠BAC ∴.∠BAC+∠DAE=∠DAK+∠DAE=180° 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.A 3.B 4.B 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.2 6.1 7.18 8子子8 三、解答题 9. 【答案】(1) 证明：，AC⊥CE, .∠ACB+∠ECD=90°， 又：∠B=90°，AB∥DF, .∠D=90°， ∴.∠A+∠ACB=∠ECD+∠CED=90°， ∴.∠ACB=∠CED (2)解：在△ABC和△CDE中， ∠B=∠D=90° ∠ACB=∠CED AC=CE .△ABC≌aCDE(AAS). .BC=DE,AB=CD. ..AB=4cm,BD=10cm, .BC=BD-CD=10-4=6(cm) 10. 【答案】（山）解：根据题点。Sx号4C8C=54,动点的速度为m1s:设运动时间为6，在AC上 运动的时长为=S号46.在C上运动的时长为4-S}0.在46上运动的时长为 4,=18-15=56 33 当0≤t≤4时，点P在AC上运动，此时△4PC不存在： 当4<t≤7时，点P在BC上运动，此时△APC存在，如图所示， 12/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 根据题意，运动总路程长为3t(cm),CP=(3t-12)(cm), ,△APC的面积等于△ABC面积的一半， 4cCPx12x(6-12)-×54, 1 2 架-6 当7<1≤12时，点P在AB上运动，此时△APC存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为3(cm),此时AP=12+15+9-3t=(36-3)(cm), ,△APC的面积等于△ABC面积的一半， AP=BP=14B 21 436-31=15 2 部构1-间， 敌当或9时，AC的面积等于4C面积的一半 1119 故答案为：2或2· (2)分情况讨论： 当点P在AC上运动，点O在AB上运动，且满足△APO≌aDEF, .∠E=90°，DE=6cm,DF=7cm,∠D=∠A ∴.AP=DE=6cm,AQ=DF=7cm」 13/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,动点P的速度为3cm/s, 625, “动点P的运动时间为 62s ∴动点的运动时间为 ∴动点卫的运动速度为2cm/S; A(D) (EP O(F) ◇ B 当点P在BC上运动，点Q在AB上运动，不满足∠D=∠A,不存在； 当点P在AB上运动，点Q在AC上运动，满足∠D=∠A,存在； :∠E=90°，DE=6cm,DF=7cm,∠D=∠A. .AP=DE =6cm,AO=DF =7cm. ,动点P的速度为3cm/s, 36-6=10s, “动点P的运动时间为3 ∴.动点Q的运动时间为10s, 点0的运动路程为36-7=29(cm), 29 “动点0的运动速度为10 m/s; A(D) P(E) (F) C B 29 综上所述，点e的速度为0m/s或cm/s 11. 14/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) 证明：∠ACB=90°，∠ABC=45° ∴.∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=45° ∴.∠ABC=∠BAC :.AC=BC: (2)解：过F点作DF⊥AC于D点，如图： B:.∠ADF=90°∠DAF+∠AFD=90 AF⊥AE .∠DAF+∠CAE=90° .∠AFD=∠CAE ∠C=90°，∠ADF=∠PDF=90° ∴，∠C=∠ADF=∠PDF 在△ADF和△ECA中 ∠ADF=∠ACB ∠AFD=∠CAE AF=AE ,.△ADF≌△ECA(AAS) .AD=CE,DF=AC :AC=BC=2,点E为BC的中点 ∴.AD=CE=1 .CD=AC-AD=1 .AC=BC,DF=AC ∴.DF=BC=2 在△DPF和△CPB中 ∠PDF=∠C ∠DPF=∠BPC DF=BC ∴.△DPF≌aCPB(AAS) ..DP=CP :.DP=CP=ICD=1 2 Γ2 15/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP=AC-CP-3 AP Cp=3 3)解：C5 ·BE4 ∴不防设BC=5x,BE=4x,则AC=BC=5x ①当点E在△ABC边BC上时，则CE=BC-BE=x, 由(2)得，△ADF≌△ECA,△DPF≌△CBP .AD=CE=x,DP=CP .CD=AC-AD=4x :.DP-CP->CD-2x .AP=AC-CP=3x AP 3x 3 CP 2x 2 ②当点E在边CB的延长线上时，则CE=BC+BE=9x, E 同(2)的方法可证得，△ADF≌△ECA,△DPF≌△CBP ∴AD=CE=9x,DP=CP ∴.CD=AD-AC=4x :.DP-CP-jCD-2x .AP=AC+CP=7x .AP_7x_7 CP 2x 2 AP 37 综上所述，Cp的值为2或2： 12. 【答案】(1)解：如图1，Rt△ABC中，∠C=90 16/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .:5.w _]CP-BC :△ABP与△CBP不全等，△ABP与△CBP为积等三角形， :.S.=AP-BC=S.co=CP-BC 2 2 .AP=CP=IAC=5 1 2 2 5 故答案为： (2)如图，过点C作CE‖AB,交AD的延长线于点E, A B D E ,△ABD与△ACD为积等三角形， ∴.BD=CD ABI EC .∠BAD=∠E .∠ADB=∠EDC ∴.△ADB≌△EDC(AAS) ∴.AD=DE,AB=EC=3 ∴.AE=2AD .AC=5 AC-CE<AE<AC+CE ∴.5-3<2AD<5+3 ∴.2<2AD<8 .1<AD<4 ,线段AD长为正偶数 ∴.AD=2. 17/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3) 证明：如图，过点E作EH⊥GA,交GA的延长线于点H, D C B ,四边形ACFG和ABDE四边形均为正方形， .AB=AE;AG=AC;∠GAC=90° ∴.∠HAE+∠BAH=90°，∠BAH+∠BAC=90° ∴.∠BAC=∠EAH 在△ABC和△AEH中 ∠ACB=∠AHE=90° ∠BAC=∠EAH AB=AE .△ABC≌△AEH(AAS) ∴.BC=EH 1 SARAC-BC:SAEG=AG-EH-TAC-BC .S.ABC=S.AEG ,△ABC是直角三角形，△AEG为钝角三角形， .△AEG和△ABC为不全等， :.△AEG和△ABC为积等三角形. 13. 【答案】(I)解：过点A作AH⊥BC于H, :△ABP与△ABP是积等三角形， ∴.S.ABP=SACP, BP.AH=CP·AH ∴BP=CP, BP+CP=BC. :.BP=CP=2; 18/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 故答案为：2： (2)①解：如图2，延长AD至N,使DN=AD,连接CN, :△ABD与△ACD为积等三角形， ∴BD=CD, 在△ADB和△NDC中， (BD=CD ∠ADB=∠CDN, AD=DN ∴.△ADB≌△NDC, ∴AB=NC=2, 在△ACN中AC-CN<AN<AC+CN, :AC=4, .4-2<AN<4+2, .2<AN<6, ∴.2<2AD<6, 1<AD<3, ②：AD为正整数， AD=2; 故答案为：2： B (3)是积等三角形， 证明：如图3，过点E作EH⊥AB于点H, MN⊥AC, ∴.∠ACD=∠AHE=90°， :∠BAC=∠DAE=90°， 19/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CAH=∠DAE=90°， .∠CAH-∠DAH=∠DAE-∠DAH, ∴.∠EAH=∠DAC, 在△HAE和△CAD中， [∠EHA=∠ACD ∠EAH=∠DAC AE=AD .△HAE≌△CAD, .AC=AH,EH=CD 1 1 S.w-AB.EH,S.c-AC-CD, .AB=AC, _1AB.CD, :.S4cm=21 ∴.SBAE=SACD, △ABE与△ACD为积等三角形. D 20/20