专题03 全等三角形经典几何模型12大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形12类核心模型，以“模型解析-典例示范-变式迁移”构建系统性方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公共边等基础模型|1典例+3变式|挖掘隐藏等量，凑全等条件|从全等判定基础延伸，建立图形直观| |倍长中线/截长补短|各1典例+3变式|延长中线构全等，截长/补短证线段关系|辅助线构造技巧与全等性质综合应用| |一线三等角/手拉手|各1典例+3变式|利用等角推导全等，SAS证拉手边相等|结合旋转/平移变换，深化动态几何思维| |半角/对角互补|各1典例+3变式|旋转或截长补短转移边角|综合角度计算与全等转化，提升推理能力|

专题03 全等三角形经典几何模型 （题型突破·举一反三） 题型01 公共边、公共角、对顶角模型 题型02 平移模型 题型03 倍长中线模型 题型04 截长补短模型 题型05 一线三等角模型（内k、外k） 题型06 手拉手模型 题型07 半角模型（45°、60°） 题型08 对角互补模型 题型09 角平分线模型 题型10 翻折模型 题型11 动点模型 题型12 全等模型汇总 ▌题型01 公共边、公共角、对顶角模型 公共边、公共角、对顶角是三角形全等的隐藏条件。公共边为两个三角形共有，直接得边相等；公共角共用同一个角，直接得角相等；对顶角依据对顶角相等得角相等。解题先识图找出隐藏等量，结合已知条件凑齐全等判定条件。证明题要写出对应依据，不可省略，注意找准对应顶点，避免对应边角匹配错误。 【典例】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，延长到点D，延长到点E，连接和，且．试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，图是图折叠撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，，，若，则__________． ▌题型02 平移模型 平移模型，平移前后图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等。找准平移前后对应点、对应边角，对应点连线平行且相等。常和全等、平行线性质综合，解题看清平移方向与距离。证明题不能直接默认边角相等，要写明平移性质依据，准确找出相等边角，避免对应关系出错，最后检验结果是否符合图形。 【典例】（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，点在一条直线上，与交于点，，，．与相等吗？为什么？ 【变式1】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【变式2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 【变式3】（25-26七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． ▌题型03 倍长中线模型 倍长中线模型，把中线延长一倍，构造对顶全等三角形（SAS）。实现线段、角度转移，将分散边角集中到同一个三角形中。看到中点优先考虑此辅助线，书写时写明延长步骤。分清相等线段与对顶角条件，不要直接套用结论，结合全等得到边角关系，再用三角形三边关系或角度求解，核对对应关系避免出错。 【典例】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）已知：中，是中线．则的取值范围是_____． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【变式2】（25-26八年级上·福建南平·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【变式3】（24-25八年级上·四川泸州·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． ▌题型04 截长补短模型 截长补短用于证明线段和差等式。截长：在长线段截取一段等于短线段；补短：延长短线段使之等于长线段。构造全等三角形转化线段条件，看清要证的式子，选合适辅助线。证明题完整写出辅助线做法，依靠全等转换边角，不可直接用结论，找准对应边，检验线段关系是否符合题意。 【典例】（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． ▌题型05 一线三等角模型（内k、外k） 一线三等角模型，图中有三个相等角，利用平角、三角形内角和推导出两组角相等，证明三角形全等。分为内 K 和外 K，看清角的位置。解题先找出三组等角，推导角的等量关系，不要直接套用模型结论。结合已知边条件完成全等证明，找准边角对应关系，书写推理依据，最后检验边角条件是否匹配。 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 【变式2】（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式3】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． ▌题型06 手拉手模型 手拉手模型，由两个共顶点的等腰三角形构成，利用顶角相等推导出夹角相等，通过 SAS 证明三角形全等。可得对应边相等、对应角相等，常能得到一组新的等角。解答题不可直接套用模型结论，要写清角的加减推导过程，找准拉手边与对应顶点，结合角度计算，核对边角对应关系，避免书写全等时顶点错位。 【典例】（25-26七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、，、相交于点． (1)试说明：； (2)求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． ∵， 【变式2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说道：“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图①，和中，，且．连接，这一图形称“手拉手模型”．易证，最适合这类三角形全等的判定定理是（    ） A．“”    B．“”    C．“”    D．“” (2)【模型指引】如图②，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使．求的度数．小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图③，中，，为任意角度．若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸，仍在射线上取点D，使，试判断与的数量关系，并说明理由． ▌题型07 半角模型（45°、60°） 半角模型，大角内部包含其一半大小的角，常用旋转作辅助线构造全等三角形，实现边角转移。常见 90° 含 45°、120° 含 60° 题型。解答题不可直接套用模型结论，写清旋转或截长补短辅助线做法。利用全等转化线段与角度，推导线段和差关系，找准对应边角，检验结果是否符合图形条件。 【典例】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在，上，且．求证：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）（1）如图1，四边形中，，，，、分别在、上，且，求证：． （2）如图2，在题（1）中，若、分别在、的延长线上，其余条件不变，求证：． ▌题型08 对角互补模型 【典例】（25-26八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【变式1】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）问题提出： 如图1，在四边形中，与互补，与互补， ， ， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2， 延长到E， 使，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图3， 若， ， 求四边形的面积． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 【变式3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． ▌题型09 角平分线模型 角平分线模型，牢记定义、性质与判定，区分三类内外角夹角二级模型。解题无垂线要作垂直辅助线，角平分线搭配平行线可构造等腰三角形。解答题禁止直接套用模型结论，需用内角和、外角定理推导。可结合倍角设元，综合全等、8 字、折叠求解，书写推理依据，找准边角对应关系，检验结果。 【典例】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作于点，求证：． 【尝试探究】在图①中，过点O作于点E，于点F，连接．因为的平分线与的平分线交于点O，所以______=______．所以是的平分线…… 请同学们补充后面的解答过程． 【类比延伸】如图②，在四边形中，各角的平分线交于点O，试判断、、、间的数量关系，并加以证明． 【变式2】（24-25八年级上·江西赣州·期末）课本再现 （1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线． 变式探究 （2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线． ①求证：； ②求证：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则___________ ▌题型10 翻折模型 翻折模型即图形折叠，翻折前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕是角平分线也是对称轴。找准重合的对应边角，注意区分点落在图形内部或外部。解答题不能直接套用二级结论，写出等量代换推理。常结合内角和、外角、勾股计算，准确识别隐藏相等关系，检验角度线段数值与图形是否匹配。 【典例】（24-25八年级上·江苏常州·期末）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是______． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图1，在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)线段与的大小关系是：________（填“”或“”或“”）； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，与交于，若，求证：是的中点； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，，求线段的长度（用含、的式子表示）． 【变式3】（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）数学活动：折纸与证明． （1）如图1，在中，，怎样证明呢？如图2，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处，然后可以证明，试写出小明的证明过程； 感悟与应用： （2）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （3）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． ▌题型11 动点模型 【典例】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【变式1】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【变式2】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿边向终点运动；动点从点出发沿边向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，设运动时间为秒，当点到达终点时，点也随之停止运动． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)分别过点和点作于点，于点，则当________秒时，与全等． ▌题型12 全等模型汇总 【典例】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【变式3】（25-26六年级下·山东济南·期末）【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形经典几何模型 （题型突破·举一反三） 题型01 公共边、公共角、对顶角模型 题型02 平移模型 题型03 倍长中线模型 题型04 截长补短模型 题型05 一线三等角模型（内k、外k） 题型06 手拉手模型 题型07 半角模型（45°、60°） 题型08 对角互补模型 题型09 角平分线模型 题型10 翻折模型 题型11 动点模型 题型12 全等模型汇总 ▌题型01 公共边、公共角、对顶角模型 公共边、公共角、对顶角是三角形全等的隐藏条件。公共边为两个三角形共有，直接得边相等；公共角共用同一个角，直接得角相等；对顶角依据对顶角相等得角相等。解题先识图找出隐藏等量，结合已知条件凑齐全等判定条件。证明题要写出对应依据，不可省略，注意找准对应顶点，避免对应边角匹配错误。 【典例】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 【答案】(1)证明：在与中， ∴， ∴， 即平分． (2)证明：由（1）得， 在与中， ∴， ∴ 【分析】（1）由题中条件易知：，可得平分； （2）利用（1）的结论，可得，得出． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，延长到点D，延长到点E，连接和，且．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】证明即可得到． 【详解】略 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，图是图折叠撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则________． 【答案】 【分析】根据三角形全等的判定和性质，解答即可； 【详解】解：∵凳腿和的长相等，是它们的中点， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴； 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件利用定理证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ． ▌题型02 平移模型 平移模型，平移前后图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等。找准平移前后对应点、对应边角，对应点连线平行且相等。常和全等、平行线性质综合，解题看清平移方向与距离。证明题不能直接默认边角相等，要写明平移性质依据，准确找出相等边角，避免对应关系出错，最后检验结果是否符合图形。 【典例】（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，点在一条直线上，与交于点，，，．与相等吗？为什么？ 【答案】解：．理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ，即． 【分析】根据，得到，继而根据证明，得到，根据线段的和差关系即可得到答案． 【详解】略． 【变式1】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以，， 所以． 【变式2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 【答案】(1)证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴当点与点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于． 【变式3】（25-26七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 【答案】（1）； （2）①证明：连结，由平移可知，，   ， ，， ， ， ，即点是中点； ②2； （3）28 【分析】（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解； （3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解． 【详解】解：（1）由平移可得，，， ； （2）①略 ②连结，   是中点， ， 是中点， ， ； （3）连结，    ∵为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． ▌题型03 倍长中线模型 倍长中线模型，把中线延长一倍，构造对顶全等三角形（SAS）。实现线段、角度转移，将分散边角集中到同一个三角形中。看到中点优先考虑此辅助线，书写时写明延长步骤。分清相等线段与对顶角条件，不要直接套用结论，结合全等得到边角关系，再用三角形三边关系或角度求解，核对对应关系避免出错。 【典例】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）已知：中，是中线．则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长至点，使得，证明，得到，再利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，则， 是中线， ， 又，， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 【变式2】（25-26八年级上·福建南平·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【答案】（1）， （2）， （3） 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）知，得到，根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可知，即可得出答案． 【详解】解：（1）点是的中点， ， 在和中， ， （依据）， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ， 故答案为：，； （3）延长到，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·四川泸州·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） (2)由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； (3) 解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，根据全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）延长交于点P，延长到M，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）略 （3）略 ▌题型04 截长补短模型 截长补短用于证明线段和差等式。截长：在长线段截取一段等于短线段；补短：延长短线段使之等于长线段。构造全等三角形转化线段条件，看清要证的式子，选合适辅助线。证明题完整写出辅助线做法，依靠全等转换边角，不可直接用结论，找准对应边，检验线段关系是否符合题意。 【典例】（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 （3）略 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）略． （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． ▌题型05 一线三等角模型（内k、外k） 一线三等角模型，图中有三个相等角，利用平角、三角形内角和推导出两组角相等，证明三角形全等。分为内 K 和外 K，看清角的位置。解题先找出三组等角，推导角的等量关系，不要直接套用模型结论。结合已知边条件完成全等证明，找准边角对应关系，书写推理依据，最后检验边角条件是否匹配。 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 【答案】楼的高度为 【分析】证明，进一步利用全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：由题意，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 答：楼的高度为． 【变式2】（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 【变式3】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 【答案】(1)证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ； (2)8 (3)8 【分析】（1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． ▌题型06 手拉手模型 手拉手模型，由两个共顶点的等腰三角形构成，利用顶角相等推导出夹角相等，通过 SAS 证明三角形全等。可得对应边相等、对应角相等，常能得到一组新的等角。解答题不可直接套用模型结论，要写清角的加减推导过程，找准拉手边与对应顶点，结合角度计算，核对边角对应关系，避免书写全等时顶点错位。 【典例】（25-26七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、，、相交于点． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由和都是等边三角形得，，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由推导出，因为，所以． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ． （2）由（1）得， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 【答案】（1），；（2）60度；（3）40 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形并证明是解题关键； （1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等； (2)； (3)解：．理由如下： 如图，过点A作于点M，作于点N． 同（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，进而证明，可知． 【详解】（1）略； （2）解：同（1）可知， ． 且， 在与中， ， ； （3）略． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说道：“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图①，和中，，且．连接，这一图形称“手拉手模型”．易证，最适合这类三角形全等的判定定理是（    ） A．“”    B．“”    C．“”    D．“” (2)【模型指引】如图②，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使．求的度数．小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图③，中，，为任意角度．若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸，仍在射线上取点D，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)B (2) 解：中，， ． ． ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． (3) 解：． 理由如下：如图，在的延长线上找一点E，使． 设． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， 故选：B． （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等边对等角等，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质． ▌题型07 半角模型（45°、60°） 半角模型，大角内部包含其一半大小的角，常用旋转作辅助线构造全等三角形，实现边角转移。常见 90° 含 45°、120° 含 60° 题型。解答题不可直接套用模型结论，写清旋转或截长补短辅助线做法。利用全等转化线段与角度，推导线段和差关系，找准对应边角，检验结果是否符合图形条件。 【典例】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）； （2），证明如下： 如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）略 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3) 解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在，上，且．求证：． 【答案】 证明：如图，延长到G，使，连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 由图可知，， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和，难点在于作辅助线构造出全等三角形，求一条边等于另两边之和，通常利用“截长补短”法求解． 延长到G，使，连接，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，利用四边形的内角和等于360°，求出，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得证. 【详解】略 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）（1）如图1，四边形中，，，，、分别在、上，且，求证：． （2）如图2，在题（1）中，若、分别在、的延长线上，其余条件不变，求证：． 【答案】 （1）证明：如图，延长到G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由图可知，， 所以，； （2）证明：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由图可知，， 所以，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和，难点在于作辅助线构造出全等三角形，求一条边等于另两条边的和，通常利用“截长补短”法求解． （1）延长到G，使，连接，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，利用四边形的内角和等于求出，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得证； （2）在上截取，连接，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，利用四边形的内角和等于求出，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得证． 【详解】证明：（1）略 （2）略 ▌题型08 对角互补模型 【典例】（25-26八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】 （1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）问题提出： 如图1，在四边形中，与互补，与互补， ， ， ， 数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时， 经历了如下过程： 实验操作： （1）数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示： x … 30 40 50 60 70 80 β 130 y 75 70 65 α 55 50 40 θ 这里α= ， β= ， θ= ． 猜想证明： （2）根据表格，猜想：y与x之间的关系式为 ；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法： 如图2， 延长到E， 使，连接AE， …， 请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证 （1）中结论的正确性． 应用拓广： （3） 如图3， 若， ， 求四边形的面积． 【答案】（1）60，100，15； （2），补充： 则， 又， ， 又， ， ，， ， ． 在中，， ， ． （3） 【分析】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5，由此即可得出、、的值． （2）根据表格猜想：．延长到E， 使，连接，则可得，进而可得， ，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可得出y于x之间的关系式． （3）延长到E， 使，连接．由（2）得，则，进而可得．由，可得，．则可得，，进而可得，可得的值，即可得的值． 【详解】（1）观察表格发现：x每增加10，y减小5， ， ， ． 故答案为：60，100，15， （2）根据表格猜想：． 证明：如图2， 延长到E， 使，连接， （3）如图， 延长到E， 使，连接． 由（2）得， ， ， ， ， ， 解得，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 【答案】（1）； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图2中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）13 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （2）（1）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）结论不成立，结论：．在上截取，使，连接，证明和即可求证； 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中，， ， ，， ， ． ， ， ， 的周长． 【变式3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 【答案】（1）； （2），理由： 如图，延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴． （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为． （2）略 （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接，则， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． ▌题型09 角平分线模型 角平分线模型，牢记定义、性质与判定，区分三类内外角夹角二级模型。解题无垂线要作垂直辅助线，角平分线搭配平行线可构造等腰三角形。解答题禁止直接套用模型结论，需用内角和、外角定理推导。可结合倍角设元，综合全等、8 字、折叠求解，书写推理依据，找准边角对应关系，检验结果。 【典例】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【答案】(1) 证明：， 是的平分线， ． 又， ， ． (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）运用证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）运用证明可得，再根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得． ， ． ， ． 又， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作于点，求证：． 【尝试探究】在图①中，过点O作于点E，于点F，连接．因为的平分线与的平分线交于点O，所以______=______．所以是的平分线…… 请同学们补充后面的解答过程． 【类比延伸】如图②，在四边形中，各角的平分线交于点O，试判断、、、间的数量关系，并加以证明． 【答案】 [尝试探究]，， 如图， 过点O作于点E，于点F，连接． ∵的平分线与的平分线交于点O， ∴． ∴是的平分线， 在与中，， ∴， ∴， 同理，，， ∴， [类比延伸] ， 理由∶过O作于E，于F，于M，于N， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，， ∴，， ∴． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义的性质，正确理解题意是解题的关键． [尝试探究]利用角平分线的性质得出，然后利用证明，得出，同理得出，，，最后利用线段的和差关系即可得证 [类比延伸]过O作于E，于F，于M，于N，然后仿照[尝试探究]证明即可． 【详解】略 【变式2】（24-25八年级上·江西赣州·期末）课本再现 （1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线． 变式探究 （2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）如图，过点作于点， ∵平分，，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分． （2）①∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴． ②如图，在上截取，连接， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）①先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得证； ②在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】略 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质定理，三角形外角的性质． 过P点作 于F，于N，于M，根据角平分线的性质定理得到，，，根据角平分线的判定定理得到，最后根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． ▌题型10 翻折模型 翻折模型即图形折叠，翻折前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕是角平分线也是对称轴。找准重合的对应边角，注意区分点落在图形内部或外部。解答题不能直接套用二级结论，写出等量代换推理。常结合内角和、外角、勾股计算，准确识别隐藏相等关系，检验角度线段数值与图形是否匹配。 【典例】（24-25八年级上·江苏常州·期末）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先在上截取，连接，可证，根据全等三角形对应边相等可得、，根据可证，根据等角对等边可知，所以可证． 【详解】解：如下图所示，在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 【答案】(1) 证明：如图，连接， 翻折， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分； (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据折叠可得，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，即可证得结果； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图1，在中，延长到，使，是上方一点，且，连接． (1)线段与的大小关系是：________（填“”或“”或“”）； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，与交于，若，求证：是的中点； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，，求线段的长度（用含、的式子表示）． 【答案】(1) (2) 证明：，，， ， 在与中， ， ， ，， 如图2，连接， 将沿直线翻折得到， ， ∵， ，即． ∵， ∴是的中点； (3) 【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得； （2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得是的中点； （3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得． 【详解】（1）解：，，， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：； （2）略； （3）解：如图3，连，延长交于， 根据折叠的性质，则， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 由（2）知，， ，， ， ∴，， ， ， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键． 【变式3】（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）数学活动：折纸与证明． （1）如图1，在中，，怎样证明呢？如图2，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处，然后可以证明，试写出小明的证明过程； 感悟与应用： （2）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （3）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【答案】 （1）证明：如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接． 则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）14 （3）结论：， 理由：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接．证明，可得结论； （2）由折叠的性质得到，由“”可证，可得，，由三角形外角的性质结合已知条件证得，由等腰三角形的判定得到，即可求解； （3）由“”可证，可得，，，由三角形外角的性质结合已知条件证得，由等腰三角形的判定得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：将沿折叠，点C落在边上的点处，连接， 则，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． ▌题型11 动点模型 【典例】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【答案】(1)9，12 (2)点Q的运动速度为或； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程． （1）利用非负数的性质求解即可； （2）由题意得，，分两种情况讨论，①，；②，，分别列式计算即可求解； （3）由题意得，，同（2）理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， 故答案为：9，12； （2）解：∵，， ∴，， 设运动时间为，动点Q速度为， 由题意得，， 要使与全等，且， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； （3）解：设运动时间为，动点Q速度为， 以，P，Q为顶点的三角形与全等，此时点P在上， 由题意得，， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； 故答案为：或． 【变式1】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 【变式2】（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点F分别在延长线上或在之间时，再用t表示相关线段，根据全等三角形对应边相等列一元一次方程求解即可． 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：； ②当点F在之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：． 综上，的值为或． 故答案为或． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿边向终点运动；动点从点出发沿边向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，设运动时间为秒，当点到达终点时，点也随之停止运动． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)分别过点和点作于点，于点，则当________秒时，与全等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，结合路程速度时间求解即可； （2）在（1）所求线段基础上，由三角形面积公式表示出，根据列方程求解即可； （3）由题意得出需要与有一组对应边相等即可确定与全等，从而得到，由此列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意可得，； （2）解：如图所示： ，， 当时，，解得； （3）解：如图所示： ，， ， 则， 在中，，则， ， 由两个三角形全等的判定定理，只需要与有一组对应边相等即可确定与全等， 当时，，此时， ，解得． ▌题型12 全等模型汇总 【典例】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 【答案】14 【分析】延长到M，作于H．首先证明，推出，再证明，得到，然后问题可求解． 【详解】解：延长到M，作于点，则，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)①证明：如图2所示，在上截取，连接， ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，据此根据三角形内角和定理可得结论； （2）①在上截取，连接，证明，得到，则可证明；证明，则可证明，得到；根据，得到，则可证明，得到，即；②过点E作于点T，证明，得到；可证明，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图所示，过点E作于点T， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26六年级下·山东济南·期末）【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 【答案】(1) (2)． 理由：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）证明，可得，，即可解答； （2）证明，可得，，即可解答； （3）过点A作于点G，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ∴； （2）略 （3）解：过点A作于点G， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $