空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具解决立体几何三大角问题，以题载法构建从线线角到二面角的递进训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线线角的向量求法|2例+2变式|正方体、四棱锥等几何体中异面直线成角余弦值计算|从空间向量数量积出发，建立线线角与向量夹角关系| |线面角的向量求法|3例+3变式|矩形、正四面体等场景下直线与平面夹角正弦值求解|通过平面法向量，实现线面角与向量夹角的转化| |二面角的向量求法|3例+3变式|三棱锥、平行六面体中面面夹角余弦值/正弦值计算|利用两平面法向量夹角，推导二面角的向量求法逻辑链|

空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 考点一 线线角的向量求法 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 二面角的向量求法 ABCD-ABCD中，E为枝 BB 例1.(25-26高二下河南郑州阶段检测)如图，在正方 的中点 A D B A… D C AC DE (1)求直线 所成角的余弦值； ②当4B=2时，求异面直线4C与DE 间的距离 例2.(25-26高二下江苏常州·阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面 ABCD .AD//BC AD=3,AB=BC=2,PA=3 M ,其中 3,点M在校PD上.DM=2P,点V为BC中点. 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 B )求W 的模长； (2)求直线PB与MN所成角的余弦值： (3)求平面PMN的法向量， 2 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 变式1.(25-26高二上河南南阳阶段检测)如图，在三棱柱 ABC-ABG中， 3 ∠A1B=∠A1C=60,cos∠BMC=行AM=AB=AC=1. A C B 1)用1C,B,44表示BC,并求BC AC BC (2)求异面直线与所成角的余弦值 变式2.(25-26高二上广东深圳阶段检测)如图在多面体 RCABC中，B1A8,4C1AC,M+平面 ABC, ∠BAC=Z 2,D为线段AC上一点且AB=AD=A4=2,AB=AC=1· )求异面直线4D与BB 与所成角的余弦值： ②证明：直线D与 与平 BB(C不平行： 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 考点二 线面角的向量求法 例1.(2026内蒙古赤峰模拟预测)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD, EFI/AB,其中AD=2,AB=AF=2EF=1,P是棱DF的中点， (I)求证：BFI1平面APC: (2)求直线DF与平面APC夹角的正弦值， 例2.(25-26高二上广东佛山阶段检测)如图，在棱长为4的正四面体P-ABC中，R,S,T分别为棱PA、PB、 PC上的点，且a=P明，b=丙，c=P可若a=3,b=c=2 R B (I)证明：PA⊥ST: (2)求直线PA与平面RST所成角的正弦值 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 例3.(25-26高二下贵州毕节期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA上底面ABCD,四边形ABCD为正方形， M,N分别为AB,PD的中点 D B (I)求证：MNII平面PBC: (2)若PA=AD, ①证明：平面AMN⊥平面PCD; ②求直线MN与平面PCD所成角的正弦值， 变式1.(25-26高二下·湖北期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是 正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD,E是PD的中点. B (1)证明：平面ACE⊥平面PCD (2)求直线AD与平面ACE所成角的正切值. 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 BB 变式2.(25-26高三下河南周口阶段检测)如图，在正方体 BCD-4B,CD中，AB=2,E,F分别是棱， DD 的中点 A D B A D B (1)证明： DEI平面 AB F (2)求AF与平面ADE所成角的正弦值. BC-ABC中，41平面ABC,平面 AABB,⊥ 变式3.(25-26高二上广东广州期中)如图，三棱台 平面 AACC,N 为AB的中点， AB=AC=AA=2,AC=1 B NE- ANI平面 BCC (1)求证： (2)求直线BC与平面4NC所成的角的正弦值， 6 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 考点三 二面角的向量求法 例1.(25-26高二下广东深圳期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=90°， PA=2, B (I)求证：BC⊥平面PAB: (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值. ABCD-ABC D CDDC⊥ 例2.(2026山西运城模拟预测)如图，平行六面体 的所有棱长都相等，平面 平面 ABCD AD⊥DC D-AD-C ,二面角 的大小为120,8为被C0的中点 B A B (1)证明：CD⊥AE: ②若点F在楼CC上，且 CF=2rG,求平面DFB和平面 FBBC 夹角的余弦值。 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 ABC-AB C ACCA⊥ 例3.(2026甘肃张掖·二模)如图，三棱柱 的棱长均相等，平面 ABC∠AAC=60° 平面 DE分别为 AC AB 的中点. B D B (1)证明： DE// BCC B 平面 B-DE-C (2)求二面角 的正弦值 变式1.(25-26高二下贵州黔南阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD, 且PD=DC,点E满足CE=EP, -- D B (1)证明：AP∥平面BDE. (2)求平面DBE与平面PDC夹角的余弦值. 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 变式2.(25-26高二下·云南红河期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, PA⊥PD,AB⊥AD,PA=PDAB=L,AD=2,AC=CD=V5 B (I)求证：PD⊥平面PAB: (2)求二面角P-AB-C的大小 变式3.(25-26高二下安徽安庆期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD. D (I)求证：PA⊥BD: (2)若PA⊥AB,且PA=AB=1,∠BAD=120，,求平面APD与平面CPD所成角的正弦值 9空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法专项训练 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 二面角的向量求法 考点一 线线角的向量求法 例1．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 例2．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，其中，，点在棱上，，点为中点． (1)求的模长； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面的法向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量模的坐标表示求解. （2）利用线线角的向量求法求解. （3）利用平面法向量的意义，结合向量垂直的坐标表示列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设点坐标，则， 由，得，解得，即， 所以. （2）由（1）知，则， 设直线与直线所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. （3）由（1）可知，由（2）可知 设平面的法向量，则，取，则有， 所以平面的法向量． 变式1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在三棱柱中，. (1)用表示，并求； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）由空间向量线性运算可得，由向量数量积运算律计算即可求解； （2）由空间向量线性运算可得，进而可得，由空间向量夹角公式计算即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， ， 因为， 所以，，， 故，所以； （2）因为， 所以，即， 因为， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值. 变式2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图在多面体中，，，平面，，为线段上一点且，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明：直线与平面不平行． 【答案】(1) (2) 证明：设平面的一个法向量为， 因为，所以， 所以，所以， 令，则， 因为不是，所以直线与平面不平行． 【分析】（1）建立空间直角坐标系计算异面直线所成角的余弦值； （2）先求平面的法向量，再应用得出直线与平面不平行. 【详解】（1）因为，平面，， 所以以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 设异面直线与所成角为， 则； （2）略 考点二 线面角的向量求法 例1．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)连接交于点，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，则平面． (2) 【分析】（1）连接交于点，求证即可求证； （2）以为原点建系，计算平面的法向量为，计算即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 所以， 则直线与平面夹角的正弦值为． 例2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在棱长为4的正四面体中，分别为棱、、上的点，且，，.若，. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点D，连接，，首先根据线面垂直的判定定理证明平面，再证明，进而得； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面角的公式求解. 【详解】（1）取的中点D，连接，. 在正四面体中，因为是等边三角形，D是的中点， 所以， 因为是等边三角形，D是的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，，，， 所以S、T分别为、的中点， 所以，所以. （2）如图D为中点，O为点P在底面的投影，点O在上， 由题意得，，，， 所以， 以O为原点，分别以、、方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以，则， 因为，则分别为棱、的中点， 则，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，即， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 例3．（25-26高二下·贵州毕节·期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①证明：平面平面； ②求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）取中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可. （2）①根据线面垂直的判定定理先证平面，再由面面垂直判定定理证明即可； ②根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：取中点为，连接，， ∵，分别为，的中点， ∴，. 又四边形为正方形，∴，， 又∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴. 又平面，平面， ∴平面.    （2）①证明：∵，，为的中点， ∴， ∵底面，∴，又，， ∴平面， ∴，又， ∴平面， 又平面， ∴平面平面. ②解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则即 令，则， 设直线与平面所成角为，则. 变式1．（25-26高二下·湖北·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面平面． (2)求直线AD与平面ACE所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，进而得到，结合三角形性质得，从而证得平面，得出面面垂直； （2）方法一：作，垂足为，证明，可得为直线与平面所成的角，求解即可；方法二：建立空间直角坐标系，求出面的法向量，通过法向量夹角的余弦值求解. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面， 底面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为是正三角形，是的中点，所以． 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）解法1：作，垂足为，连接． 因为平面平面，， 且，，则． 所以为在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 因为平面，平面，所以． 因为，，所以， 因为，所以． 在中，． 所以． 所以直线与平面所成角的正切值为． 解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系． 已知底面边长为，是正三角形， 所以，则， 因为是的中点，故，所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，， 设直线与平面所成的角为， 则． 故． 所以． 所以直线与平面所成角的正切值为． 变式2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点. (1)证明：平面. (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方体的性质得到四边形为平行四边形，即可证明，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）在正方体中，，分别是棱，的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 变式3．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，三棱台中，平面，平面平面为的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1) 取的中点，连接、. 因为三棱台中，对应边成比例，且，，， 已知，，所以，所以. 因为为的中点，所以， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）取中点，由三棱台边长比例得相似比为，算出与长度相等且互相平行，证得四边形为平行四边形，推出，再利用线面平行判定定理证出平行于平面. （2）由面面垂直及线线垂直推得平面，以为原点建系求出各点坐标与相关向量，列出平面法向量方程组并求解，再利用线面角与向量夹角的关系代入公式计算，得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，平面，平面，所以，. 所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则. 设平面的法向量为，则， 令，可得.所以. 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角正弦值为. 考点三 二面角的向量求法 例1．（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面，且平面， 所以， 因为， 所以， 因为，且平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质及已知有，，再应用线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求对应平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得，，，， 于是向量，，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 且，，， 所以，平面与平面夹角的余弦值为. 例2．（2026·山西运城·模拟预测）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，E为棱的中点． (1)证明：； (2)若点F在棱上，且，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)连接，．因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又， 所以是二面角的平面角，即． 因为四边形是菱形， 所以，， 所以是等边三角形，又为的中点， 所以，又， 所以，又，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． (2) 【分析】（1）利用面面垂直、菱形性质找到CD的两条垂线AD和DE，即可锁定CD垂直平面ADE，从而证明CD垂直AE （2）利用第一问线面垂直条件建系，通过求两平面法向量，利用向量夹角公式取绝对值，快速解出平面夹角余弦值 【详解】（1）略. （2）由（1）知平面，，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示． 令，则，，，， ，，，，由，得， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则．，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得．设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为 例3．（2026·甘肃张掖·二模）如图，三棱柱的棱长均相等，平面平面，，，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】  （1）取的中点，连接，利用已知证明四边形是平行四边形，可证，可证结论； （2）由题意可得两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得二面角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接. 因为为的中点，所以且． 在三棱柱中，且， 又为的中点，所以且. 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）连接， 因为三棱柱的棱长均相等，且， 所以是等边三角形，又为的中点，所以， 所以为二面角的平面角， 又平面平面，所以，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设三棱柱的棱长为2，利用勾股定理得， 则， ， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则，所以， 所以二面角的正弦值为．    变式1．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面，且，点E满足．      (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）线线平行证明线面平行； （2）空间向量法求面面角余弦值. 【详解】（1）证明：如图1，连接，交于点，连接．    因为，所以E为的中点． 又因为F为的中点，所以． 又因为平面， 平面， 所以平面． （2）如图2，建立空间直角坐标系．    不妨设，则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得． 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 变式2．（25-26高二下·云南红河·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）取的中点，连接，易证平面，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，易知平面的法向量为，由求解. 【详解】（1）平面平面，且平面平面，，平面， 平面，又平面， ∴，又且，平面， 平面. （2）取的中点，连接， ，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面， ，又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 易知平面的法向量为，. 而二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为. 变式3．（25-26高二下·安徽安庆·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，. (1)求证：； (2)若，且，，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 连接交于，连接， 由为菱形，得， 由，得，又因为，平面， 所以平面，又因为平面，故. (2) 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直、等腰三角形三线合一的性质，先证明平面，再由线面垂直性质即可证明结论； （2）通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角的计算公式得出余弦值，进而得出正弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，又因为，，平面， 所以面. 以为原点，分别以，，过且平行于的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 因，且底面是菱形，， 则是等边三角形，，. 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 同理设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设面与面所成的角为， 则， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $