1.4.2用空间向量研究空间距离、夹角问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量在距离与夹角计算中的应用，以七大知识点为脉络，构建从基础计算到综合探究的递进训练体系，培养数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线的夹角|8题|结合直三棱柱、正四棱锥等几何体，考查向量数量积求夹角余弦值|从空间角到距离，形成"角-距离-存在性"逻辑链，逐步深化空间向量工具性应用| |直线和平面的夹角|8题|涉及正方体、长方体等，通过法向量求线面角正弦值| |平面和平面的夹角|8题|以四棱锥、六面体为载体，计算二面角余弦值| |点到直线的距离|8题|结合空间直角坐标系与几何体，考查距离公式应用| |异面直线的距离|8题|在长方体、正方体中求动点间距离最小值| |点到平面的距离|8题|通过体积法或向量法计算点面距离| |存在性问题的探究|8题|探究线面平行、角度满足特定条件的点位置|

1.4.2用空间向量研究空间距离、夹角问题（题型专练）答案版 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 2．（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】在正三棱柱中， 以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，   ，不妨取 则， ， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角、求空间向量的数量积 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 4．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、圆柱表面积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角和勾股定理求出的长度和柱体的高，再根据圆柱结构特征即可求其表面积； (2)法一：利用平行线转化，求出异面直线与所成角即为，再利用勾股定理的逆定理证明，然后通过余弦定理计算夹角即可求解； 法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量法求出异面直线所成的角的余弦值即可. 【详解】（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为. （2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接. 因为， 所以则，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 由题意得，所以. 设异面直线与所成的角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 5．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 6．（25-26高一下·河北石家庄·期末）在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法、正棱锥及其有关计算、求异面直线所成的角 【详解】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 7．（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 8．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 9．（2026高三·全国·专题练习）M，N是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立适当的空间直角坐标系，易得是平面的一个法向量，根据线面角的向量求法求得与平面A′BCD′所成角的正弦值. 【详解】设正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2，如图建立空间直角坐标系， 则. 则，所以. 连接，正方体ABCD-A′B′C′D′中，平面，平面，所以. 正方形中，. 又平面，所以平面. 即是平面的一个法向量. 设与平面A′BCD′所成角为， 则. 故答案为：. 10．（2026高三·全国·专题练习）正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，将用坐标表示，再计算出面的法向量，最后根据平面与直线所成角的正弦值公式计算出结果 【详解】设正方体的边长为2，并以为z轴的正方向，以为x轴的正方向, 以为y轴的正方向，则， 因此，，， 设面的法向量，则，即， 令，解得，即，设直线与平面所成角为， 则.    11．（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线面角的向量求法 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 平面平面，而平面的一个法向量为， 因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角， 则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 12．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求线面角、线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可． 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 13．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)由直三棱柱得四边形为矩形，由题意，， 因此，．由勾股定理的逆定理得， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)存在， 【知识点】证明面面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，结合条件，由线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由直三棱柱得，因为， ，，平面， 所以平面．因为平面， 所以，又由直三棱柱得，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图， 由题意，，，，，． 设（），可得． 因此，，． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以， 因此直线与平面夹角的正弦值为， 解得，即为中点，所以， 因此，存在点满足题意，此时． 14．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、已知线面角求其他量、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 15．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 16．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)取的中点F，连接， 因为E为的中点，故， 又为的中点，,得, 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. (2)以点B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故，即， 故平面； (3) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、已知线面角求其他量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法即可证明； （3）取的中点G，连接，确定P点在上，设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出m的值，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点G，连接，则,且， 结合题意可知四边形为矩形，此时， 即得上任一点到的距离均为，故P点在上， 设，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，（舍去）， 故. 17．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)在中，，，， 由余弦定理可得即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 则，可得， 因为平面BCD，可知为平面BCD的一个法向量， 因为，则， 且平面BCD，所以平面BCD. (2) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）可证平面BCD，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）分别求平面APC、平面PCM的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，，， 设平面APC的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面PCM的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为θ，由题意可知θ为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 18．（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点，连接， 则，. 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； (2). 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，由题意可得四边形是平行四边形，从而得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为，即. 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为. 因为， 设平面的法向量为， 则，则有，取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 19．（2026高一上·广东江门·竞赛）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； (2) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论； （2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 20．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）由题意有，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意，正方形的边长为，则， 在中，，， 因为，所以， 在中，设为与的交点，则， 所以，故是等边三角形，， 由（1）知平面平面，且交线为，过作于， 而平面，则平面 ， 在中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立如图空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为在上，且，所以， 因为底面且，可得， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 21．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． (1)求证：对任意的，都有； (2)若二面角的大小为，求λ的值． 【答案】(1)证法1：证明：连接，由底面是正方形可得． 因为平面，平面，所以， 又因为,平面， 所以平面， 因为点E是上的点，所以平面，所以. 证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， ，． ， 即对任意的，都有. (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）证法1：连接，可证得平面，从而可证得；证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）解法1：过点D在平面内作于点F，连接，可得是二面角的平面角，然后在中求解即可；解法2：求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法1：平面，平面，． 又底面是正方形， 又，平面． 因为平面，所以， 过点D在平面内作于点F，连接， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故是二面角的平面角，即． 在中，，，， 于是，． 在中，， 即． 由，得解． 解法2：为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则，， ，即 取，得 由，解得. 22．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)． 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可； （2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可. 【详解】（1）略 （2）设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． 23．（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【知识点】已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题、锥体体积的有关计算、证明面面垂直 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面，因为，所以， 则. （3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 24．（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. (2)存在，． 【知识点】证明线面垂直、已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质定理可得，即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值确定点的位置，再由空间中点到直线距离的向量求法计算可得结果． 【详解】（1）略． （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令 ， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 所以． 25．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 26．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】点到平面距离的向量求法、锥体体积的有关计算、点到直线距离的向量求法 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 27．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 28．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 【答案】CD 【知识点】空间向量基底概念及辨析、直线的倾斜角、空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法 【详解】对于A，直线的倾斜角为，A错误； 对于B，因为，故，则或，B错误； 对于C，由题意可知，则与同方向的单位向量为， 则点到直线OA的距离是，C正确； 对于D，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底， 则向量，与任何向量均共面，那么，一定共线，D正确． 29．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 30．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 31．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. 32．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1) 在中，，，， 由余弦定理，， 即. 由， 所以为直角三角形，且. 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且， 由平面，，所以平面. 由平面，所以平面平面. (2) 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，，此时. 因为，设（）， 则. 因为，，， 由， 又，所以. 所以. 因为，，， 所以点到直线的距离为：. 33．（25-26高二上·云南·阶段检测）在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 【答案】 【知识点】异面直线距离的向量求法、空间向量数量积的应用、求空间中两点间的距离 【分析】建立空间直角坐标系，设，，进而可得点的坐标，利用，求解即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，， 所以， 所以， 所以， 当最小时，，， 所以，， 由，得，整理得①， 由，得， 整理得②， 由①②解得， .      故答案为： 34．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______. 【答案】/ 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】如图建系，求得各点坐标及坐标，进而可求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离公式，代入计算，即可得答案. 【详解】取中点D，中点E，连接DA，DE， 因为，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又平面， 所以， 因为，， 所以， 以D为原点，DB、DA、DE为x，y，z轴正方向建系， 所以， 则， 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，则， 所以异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 所以PQ的最小距离即为异面直线与的距离d， 根据异面直线间距离公式，即PQ的最小值为. 故答案为：    35．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 【答案】/ 【知识点】异面直线距离的向量求法、求空间中两点间的距离 【分析】解法1：通过建立空间直角坐标系，将点、的坐标用参数表示，进而得到长度的平方的表达式，再根据二次函数的性质求最小值. 解法2：通过求异面直线与的法向量，再利用向量投影公式求出两异面直线间的距离，此距离即为长度的最小值. 【详解】解法1：如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，则． 当，时，得到的最小值为． 解法2：同解法1建系，得，， 设的公共法向量，则. 取，则，，． 故答案为：. 36．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 37．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 38．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】异面直线距离的向量求法、空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 39．（2026·山东青岛·一模）（多选）已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（   ） A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时， C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ACD 【知识点】异面直线距离的向量求法、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】对于A，由题可知四面体是由两个直角三角形构成，结合外接球定义即可求解；对于B，易知当平面时，四面体体积最大，利用等体积法确定内切球半径，再求即可；对于CD，根据题意确定截面，结合异面直线距离公式求出截面面积的最值即可． 【详解】对于A，，， ， ， 则的中点为四面体的外接球球心，半径，表面积为，故A正确； 对于B，，又， 当平面时，四面体体积最大， 平面，， ，即和为全等的等边三角形， 则， 四面体的表面积， ， 则四面体内切球半径， 易得平面，故四面体关于平面对称， 则内切球球心在平面上， 过分别作，则， 平面， 平面，同理可得平面， ，即四边形为正方形， ，故B错误； 对于CD，根据题意内切球球心在平面上，且为的角平分线， 设的中点为，又，故直线为直线， 则为其中一个截面， 又平面，平面， ，， 在上取一点，作截面， 由对称性可知，截面关于对称，即当面积最小时，截面面积最小， 以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设异面直线的公共法向量为，距离为， ，不妨取，则， ， 即点到距离的最小值为，此时， 则截面面积最小值为， 综上，过直线的平面截四面体所得的截面的面积最大值为，最小值为，故CD正确． 40．（25-26高三上·山东·阶段检测）（多选）在矩形中，，，沿对角线将折起，得到三棱锥，已知，则（    ） A．二面角的余弦值为 B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角为 D．直线，直线，则的最小值为 【答案】ACD 【知识点】异面直线距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法、锥体体积的有关计算、求二面角 【分析】根据矩形折叠的性质，结合二面角、三棱锥的体积、异面直线所成的角以及异面直线距离的相关知识，对各选项逐一进行分析求解. 【详解】对于选项A，作，垂足分别为，设二面角的平面角为，由二面角的定义可知，. 在矩形中，，则， 所以，，所以. ， 所以，所以.故选项A正确； 对于选项B，， ，所以，又,， 所以平面， 又，所以， ，故选项B错误； 对于选项C，， , ，又， 所以，所以异面直线与所成角为，故选项C正确； 对于选项D，设， 则， 由 ， 所以. ， 所以，所以可得. 所以， ， 所以，即的最小值为，故D选项正确. 故选：ACD 41．（25-26高一下·辽宁大连·期末）（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（     ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．与夹角的余弦值是 C．经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D．坐标原点关于平面的对称点是 【答案】AC 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、点到平面距离的向量求法、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据已知写出对应向量的坐标，应用单位向量的定义，夹角的坐标运算，点法式写出平面方程及对称性写出对称点判断各项的正误. 【详解】，，， 对于A：，与同向的单位向量为，正确； 对于B：， 则与夹角的余弦值为，错误； 对于C：由平面点法式方程，代入点A和法向量得，化简得，正确； 对于D：平面的法向量为，平面方程为， 设原点对称点为，则与平行，且中点在平面上，解得，错误. 42．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． (2) (3)． 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面中的向量，再证明平行即可. （2）求出平面的法向量，再求出点F到平面的距离即可. （3）根据（2）以及线面角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 43．（25-26高二下·云南曲靖·期末）（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、线面角的向量求法 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 所以. 所以，所以A正确； 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确. 所以点到平面的距离为，所以B正确. 因为， 所以，所以，C错误. 44．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以， 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以， 所以． 又因为，，，平面，且， 所以平面． 所以为平面的法向量 ， 因为，且平面， 所以平面． 解法二：因为，设的中点为，连接，则， 所以在正方形中，，且平面，平面， 所以平面． 又因为为棱的中点，为中点，连接，则， 且平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面； (2) (3) 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行； 解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解； （3）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以． 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以，所以            在正方体中，平面， 所以是平面的一个法向量，          又因为，设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，． 设平面的法向量为， 则，令可得， 所以． 所以点到平面的距离为． 45．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】求线面角、点到平面距离的向量求法、求点面距离、线面角的向量求法、求平面的法向量 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及平面 的法向量，利用向量法即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面 的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为 . 46．（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【知识点】球的表面积的有关计算、点到平面距离的向量求法、多面体与球体内切外接问题、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 47．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 48．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法、求平面的法向量 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 49．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，为中点，在线段上，且．    (1)求证:平面; (2)求直线与平面夹角的正弦值； (3)求点E到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面平行的判定定理求解即可. （2）求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. （3）求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，      则，，，， ，，， 则， 易知平面的一个法向量为，故， 则，又平面，故平面． （2）设平面的法向量为， 且，， ， 则，令，则，，， 设直线与平面夹角为，可得， 即直线与平面夹角的正弦值为． （3）设平面的法向量为，且， 则，令，则，，故， 设点到平面距离为，且，可得． 50．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】(1) (2)结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【知识点】空间线段点的存在性问题、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． （2）略 51．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，，，点E在棱上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为． (1)求证：； (2)求的长度； (3)在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)方法一（几何法）： 连结，在长方体中， 因为平面，且平面，所以， 因为，所以矩形为正方形，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以； 方法二（向量法）： 建立如图空间直角坐标系，设， 则，，，， ，， 因为，所以； (2)2 (3)存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为． 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、线面垂直证明线线垂直、空间线段点的存在性问题、面面角的向量求法、求二面角 【分析】（1）几何法通过正方形对角线垂直结合线面垂直推出线线垂直，向量法建立坐标系，计算两直线方向向量点积为，完成垂直证明； （2）设底面边长为，将长方体表面分两类展开得到两种爬行距离表达式，根据判定最小值，列方程求解得到的长度； （3）几何法利用三垂线定理找出二面角平面角，结合等腰直角三角形性质与三角形等面积法算出的长度；向量法设点的坐标，求出两个面的法向量，利用二面角余弦公式解方程，舍去超出线段范围的解，确定的位置． 【详解】（1）略 （2）设， 因为四边形是正方形， 所以小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点可能有两种途径． 如图甲的最短路程为， 如图乙的最短路程为， 因为，所以， 所以，解得，即的长度为． （3）方法一（几何法）：： 假设存在满足条件的点E，连结，设， 过点D在平面内作，连结， 则为二面角的平面角， 所以，所以， 在内，，而， 即，解得， 即存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为． 方法二（向量法）： 假设存在满足条件的点E，平面的法向量，，， 设平面的法向量， 则，即， 取，解得，得， 由题意得， 解得或（舍去）， 即存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为． 52．（25-26高二下·河南信阳·期末）在正三棱柱中，底面边长，侧棱，点在侧棱上，且满足． (1)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，，取的中点，连接，则， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，过点作平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，则，，，， ，，设， 由，，，得，即， 所以，， 若，则，得，满足，符合， 所以，存在，使得； (2) 【知识点】空间线段点的存在性问题、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，连接，则，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，根据已知得，再写出的坐标，根据垂直关系列方程求参数，即可得结论； （2）由题意，求出相关平面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）若，则，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，得， 设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则得， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 53．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)法一：证明：∵，平面，平面， ∴平面. 同理：平面. ∵，平面，平面， ∴平面平面. 又∵平面， ∴平面. 法二：证明：依题意，建立以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的空间直角坐标系（如图）， 则，，，，， 设，则. 依题意，是平面的一个法向量. 又因为， ∴，即. ∴. 又∵因为直线平面， ∴平面. (2)存在，点为线段上靠近的三等分点. 【知识点】证明线面平行、空间线段点的存在性问题、锥体体积的有关计算、证明面面平行 【分析】（1）由面面平行的判定定理证明平面平面，从而可证明平面. （2）建立空间直角坐标系，假设存在点满足题意，利用等体积法可得到三棱锥的体积，即可计算出点的位置. 【详解】（1）略. （2） 由（1）可得：，，，，， ∴，，，， 假设存在这样的点，且满足：， ∴. ∴. 设平面的法向量为，则 ，即. 假设，则，，∴ 设点到平面的距离为， ∴. 在△中，，. . ∴. ∴. ∵， ∴，符合题意， ，即点为线段上靠近的三等分点. 54．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2)存在 【知识点】证明线面垂直、求线面角、空间线段点的存在性问题、线面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 55．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在（1）的 条件下，在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点位于线段的延长线上，且满足. 理由如下： 设，则， 设平面的法向量为，，由（1）知， 由，故可取. 因为平面，， 由，可得，解得，即. 因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面． 【知识点】空间线段点的存在性问题、面面角的向量求法、求二面角、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角，进而可得二面角的大小； （2）先假设存在点，先求平面的法向量为，再由平面可得，从而可得，进而可得点的位置. 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 又因为平面，平面，平面， 所以， ． 故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图： 由题意可得，， ， ，． 因为，即， 所以， 即． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 因 ，． 由，故可取故可取 ． 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则． 所以，即二面角的大小为． （2）略 56．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). (3) 【知识点】空间线段点的存在性问题、面面角的向量求法、证明面面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【详解】（1）略 （2）    以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2用空间向量研究空间距离、夹角问题（题型专练）原卷版 异面直线的夹角知识点01 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 5．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北石家庄·期末）在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 7．（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 直线和平面的夹角知识点02 9．（2026高三·全国·专题练习）M，N是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________． 10．（2026高三·全国·专题练习）正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 14．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 15．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 16．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 平面和平面的夹角知识点03 17．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 18．（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 19．（2026高一上·广东江门·竞赛）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 20．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 21．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． (1)求证：对任意的，都有； (2)若二面角的大小为，求λ的值． 22．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 23．（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 24．（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 点到直线的距离知识点04 25．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 28．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 29．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 31．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 32．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 异面直线的距离知识点05 33．（25-26高二上·云南·阶段检测）在长方体中，，为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 34．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______. 35．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 36．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 39．（2026·山东青岛·一模）（多选）已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（   ） A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时， C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为 40．（25-26高三上·山东·阶段检测）（多选）在矩形中，，，沿对角线将折起，得到三棱锥，已知，则（    ） A．二面角的余弦值为 B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角为 D．直线，直线，则的最小值为 点到平面的距离知识点06 41．（25-26高一下·辽宁大连·期末）（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（     ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．与夹角的余弦值是 C．经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D．坐标原点关于平面的对称点是 42．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 43．（25-26高二下·云南曲靖·期末）（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 44．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 45．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 46．（25-26高二下·天津河东·期末）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 47．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 48．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 存在性问题的探究知识点07 49．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，为中点，在线段上，且．    (1)求证:平面; (2)求直线与平面夹角的正弦值； (3)求点E到平面的距离. 50．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 51．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，，，点E在棱上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为． (1)求证：； (2)求的长度； (3)在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 52．（25-26高二下·河南信阳·期末）在正三棱柱中，底面边长，侧棱，点在侧棱上，且满足． (1)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 53．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 54．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 55．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在（1）的 条件下，在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 56．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $