北京市第四中学2026-2027学年九年级上学期开学测试数学试题

数学练习 班级____________姓名____________学号____________ 学生 须知 1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间100分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效． 一、选择题（每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）． A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程有一根为0，则的值为（ ）． A．1 B． C．1或 D． 3．如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 4．如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（ ）． A．中位数，上四分位数 B．中位数，下四分位数 C．众数，上四分位数 D．众数，下四分位数 5．如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（ ）． A． B． C． D． 6．如图，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线，是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（ ）． A．65 B．75 C．85 D．90 7．两位同学在足球场上游戏，两人的运动路线如图1所示，其中，小王从点出发沿线段运动到点，小林从点出发，以相同的速度沿逆时针运动一周回到点，两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点的距离与时间（单位：秒）的对应关系如图2所示，结合图象分析，下列说法正确的是（ ）． A．小王的运动路程比小林的长 B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇 C．当小王运动到点的时候，小林已经过了点 D．在4.84秒时，两人的距离正好等于的半径 8．在平面直角坐标系中，函数（）的图象是直线，点，在直线上，且满足，则下列四个推断正确的有（ ）． ①点在直线上； ②若直线与直线及轴不能围成一个三角形区域，则 ③若，则； ④若直线与轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积为，则的最小值等于4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题2分，共16分） 9．函数的自变量的取值范围是___________． 10．已知，是方程的两个根，则___________． 11．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：___________，___________． 12．当时，代数式的值为___________． 13．在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于，两点．若点，的纵坐标分别为，，则___________． 14．如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为___________． 15．如图，四边形中，，，，，的面积是的面积的2倍，则的长为___________． 16．某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初二年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛___________天，第五天与（3）班比赛的是___________班． 三、解答题（共68分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）解下列方程： （1）； （2）． 19．（4分）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 20．（5分）已知四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：四边形是平行四边形， ． __________①____________ 平分， ． ______________________ ． 又， ______________________ 又， 四边形为平行四边形． 又， 平行四边形是菱形（______________________）（填推理依据）． 21．（5分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求的长． 22．（5分）某商场以进价元/件购进某种新商品，在5月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 130 135 140 145 150 … 180 … 日销售量（件） 70 65 60 55 50 … … （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的的值为___________． （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请直接写出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 23．（5分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 24．（6分）一本图鉴中的照片由1开始连续编号，由于装订线脱落，照片散落一地．小云想利用统计学知识估计照片总数，于是从中随机抽取20张照片，将其编号作为样本，数据整理如下： a．20张照片的编号： 4，8，15，25，34，39，41，48，68，79， 85，86，89，91，102，104，110，121，144，147． b．20张照片编号的最小值、最大值、平均数和中位数： 最小值 最大值 平均数 中位数 4 147 72 （1）写出表中的值； （2）设照片总数为，所有照片编号分别为1，2，…，，这个数的平均数和中位数均为． ①利用样本平均数估计全体平均数，可估算出照片的总数为____________， ②利用样本中位数估计全体中位数，可估算出照片的总数为____________，小云发现，有一个估算结果不合理，这个不合理的结果是____________（填“”或“”）； （3）小云想到还可使用样本数据的“平均间隔长度”进行估计．在下面的示意图中，用，，…，表示随机抽取的20张照片编号从小到大排序，则从0到的平均间隔长度为，从0到的平均间隔长度为，直接写出此时估算出照片的总数（结果取整数）． 25．（6分）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． （1）根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一：每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 … n 方式一 60 60 60 60 … 60 方式二 5 … 表二：累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 … n 方式一 60 120 180 240 … ___________________ 方式二 … ___________________ （2）根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是___________（填a或b），从第___________天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； （3）现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是___________． 26．（6分）已知函数的图象为，经过点和． （1）求，的值； （2）过点作轴的垂线，交于点，交直线于点（点和点不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求的取值范围． 27．（7分）如图1，中，，点在上，且满足，点在射线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点． （1）请直接写出与的数量关系； （2）求证：点是的中点； （3）如图2，取的中点，连接，若，请写出与的数量关系，并给出证明． 28．（7分）在平面直角坐标系中，对于线段和线段，如果存在点使得以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则称是线段和线段的“玉兰点”． （1）已知，，，．则在，，中，是线段和线段的“玉兰点”的是___________________； （2）已知，，，．如果存在线段和线段的“玉兰点”，则所有可能的取值为___________________； （3）已知点．如果对于轴正半轴上的任意一点，总能找到轴上长度为的线段以及轴上长度为的线段，使得线段和线段的“玉兰点”位于线段上，则的最大值为___________________． 学科网（北京）股份有限公司 $