精品解析：北京市西城区北京市育才学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

北京市西城区北京育才学校初三年级数学学科暑期自主学习检测-开学测试 一、选择题： 1. 在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. －3 D. －3或3 3. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两地去年 12 月前 5 天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（ ） A. 甲地气温的中位数是 6℃ B. 两地气温的平均数相同 C. 乙地气温的众数是 8℃ D. 乙地气温相对比较稳定 5. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为　　 A. B. 10cm C. 20cm D. 12cm 6. △ABC中，，，高，则△ABC的面积为（ ） A. 66 B. 126 C. 54或44 D. 126或66 7. 如图，在中，，，，分别是角平分线和中线，过点C作于点F，连接，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 9. 已知函数，当时，，则______． 10. 已知一次函数图象经过第二、四象限，且不经过点，请写出一个符合条件函数解析式为___________． 11. 若2是关于x的方程的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是___________． 12. 若直线y＝kx+3的图象经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是_____． 13. 把两块同样大小的含角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若，则____________． 14. 如图，平行四边形的对角线交于点O，，，，过点O作，交 于点E，过点E作，垂足为F，则的值为____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，以为边作菱形，若点在轴上，则点坐标为____________． 16. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且，下列结论中：①；②；③；④若正方形的边长为4，则的面积．正确的结论有____________．（请把所有正确结论的序号写在横线上） 三、解答题： 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用适当方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 19. 列方程解决问题：一个三角形的三边长为3个连续的正整数，若这个三角形为直角三角形，求此三角形的三条边长． 20. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速度为多少m/min； （2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 21. 在正方形中，E是边上一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市西城区北京育才学校初三年级数学学科暑期自主学习检测-开学测试 一、选择题： 1. 在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 则1-x≥0， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 2. 若关于的一元二次方程的常数项等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. －3 D. －3或3 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项等于0， ∴m-3≠0，， 解得：m=-3． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为（a，b，c为常数且a≠0）． 3. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据y随x的增大而增大，而增大可得到，然后再解不等式即可解答． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大， ，解得：． 故选C． 4. 甲、乙两地去年 12 月前 5 天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（ ） A. 甲地气温的中位数是 6℃ B. 两地气温的平均数相同 C. 乙地气温的众数是 8℃ D. 乙地气温相对比较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像即可解题. 【详解】解：由图可知ABD正确, C、乙地气温的众数是 4℃ 和8℃ 【点睛】本题考查了数据分析,属于简单题,读图能力和对众数的理解是解题关键. 5. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为　　 A B. 10cm C. 20cm D. 12cm 【答案】B 【解析】 【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS推出BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可． 详解】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O． 由题意知：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， Rt△AOB中，∵OA＝ AC＝6cm，OB＝BD＝8cm， ∴AB＝ ＝10（cm）， 故选B． 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键． 6. △ABC中，，，高，则△ABC的面积为（ ） A. 66 B. 126 C. 54或44 D. 126或66 【答案】D 【解析】 【分析】把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况，如图1，2，利用勾股定理求出BC的长，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，分两种情况求解： ①如图1，在内部 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴； ②如图2，在外部 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴； 综上所述，的面积为66或126； 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况． 7. 如图，在中，，，，分别是角平分线和中线，过点C作于点F，连接，则线段的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于G，根据等腰三角形的判定和性质得到，，进而求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于G， ∵为的角平分线，， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴， ∵为的中线， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得的长，即得答案． 【详解】设边上的高是h， ， ， ， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离， 在中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到的长就是所求的最短距离是解题的关键． 二、填空题： 9. 已知函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】把，代入， 可得：， 解得：， 故答案为 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，代入解析式确定出b的值，是解答本题的关键． 10. 已知一次函数图象经过第二、四象限，且不经过点，请写出一个符合条件的函数解析式为___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限． 正比例函数经过二、四象限，得到，又不经过，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴， 当经过时，， 由题意函数不经过，说明， 故可以写的函数解析式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 若2是关于x的方程的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，先把代入原方程求出k的值，再分腰长为2和腰长为5两种情况，结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：∵2是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， 当等腰三角形的腰长为2时，该等腰三角形的三边长为2，2，5， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为5时，该等腰三角形的三边长为2，5，5， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； ∴该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为12， 故答案为：12． 12. 若直线y＝kx+3的图象经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】把点(2，0)代入解析式，利用待定系数法求出k的值，然后再解不等式即可. 【详解】∵直线y＝kx+3的图象经过点(2，0)， ∴0=2k+3， 解得k=-， 则不等式kx+3＞0为-x+3＞0， 解得：x<2， 故答案为x<2. 【点睛】本题考查了待定系数法，解一元一次不等式，求出k的值是解题的关键. 13. 把两块同样大小的含角的三角尺，按如图方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理的综合应用，充分利用等腰直角三角形这一条件，作边的高，构造直角三角形是本题的重点．根据等腰三角形的判定，可知也是等腰三角形，从而求出的长，作边上的高，求出和，再利用勾股定理求出，最后利用计算即可． 【详解】解：过点A作于F，如下图所示， 在中，， ∴， ∴，， 又∵和是两个同样大小的含角的三角尺， ∴， ∴在中，根据勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的对角线交于点O，，，，过点O作，交 于点E，过点E作，垂足为F，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形性质，勾股定理是解答此题的关键． 根据题意得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，利用平行四边形的性质得出，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，分两种情况：①点在原点的右侧；②点在原点的左侧，并结合平移的性质即可得解．解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理． 【详解】解：∵点，轴， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ①点在原点的右侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移个单位再向右平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； ②点在原点的左侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移个单位再向左平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 16. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且，下列结论中：①；②；③；④若正方形的边长为4，则的面积．正确的结论有____________．（请把所有正确结论的序号写在横线上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】延长，截取，连接并延长，得出，，证明，得出，，，根据三角形外角的性质得出，得出，即可判断①正确；证明，得出，判定③正确；根据，，，得出，判定②错误；根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：延长，截取，连接并延长，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴，故②错误； ∵， ∴， 即的面积，故④正确； 综上分析可知：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题： 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 用适当的方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 【答案】(1)x1=−3,x2=(2) 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可. 【详解】(1)3x(x＋3)＝2(x＋3) 3x(x＋3) -2(x＋3) ＝0 (x＋3) (3x-2) ＝0 3x-2＝0或 x＋3＝0 ∴x1＝，x2＝－3； (2)2x2－4x－3＝0 a=2，b=-4，c=-3， △=16+24=40＞0， ， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 19. 列方程解决问题：一个三角形的三边长为3个连续的正整数，若这个三角形为直角三角形，求此三角形的三条边长． 【答案】三角形的三条边长为3，4，5 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，设这个直角三角形最短的边长为x，另外两边长分别为：，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设这个直角三角形最短的边长为x， ∵这个三角形的三边长为3个连续的正整数， ∴另外两边长分别为：， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴三角形的三条边长为3，4，5． 20. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示 （1）家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速度为多少m/min； （2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇时间． 【答案】（1）家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为100m/s；（2）自变量x的范围为0≤x≤；（3）两人相遇时间为第8分钟． 【解析】 【分析】(1)认真分析图象得到路程与速度数据； (2)采用方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式； (3)两人相遇实际上是函数图象求交点． 【详解】解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折现O﹣A﹣B为小玲路程与时间图象 则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为（4000-2000）÷（30-10）=100m/s (2)∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则xmin时， ∴他离家的路程y=4000﹣300x， 自变量x的范围为0≤x≤， (3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前， ∴4000﹣300x=200x 解得x=8 ∴两人相遇时间为第8分钟． 故答案为(1)4000，100；(2)y=4000﹣300x，0≤x≤；(3)第8分钟. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息. 21. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）补全图形见解析，①；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出 ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证． （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ①∵点P与点B关于直线对称 ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ②过点A作于点G，如下图：则 ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． 【小问2详解】 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$