湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

2023-2024-1长沙市第一中学高二入学考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若,则的共轭复数为 ( ) A. B. C. D. 3. 设x＞0，y∈R，则“x＞|y|”是“x＞y”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆锥侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 在△ABC中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 7 B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（ ） A. 周岁人群参保总费用最少 B. 30周岁以上的参保人群约占参保总人群的 C. 54周岁以上的参保人数最少 D. 丁险种更受参保人青睐 10. 如图，在棱长为2正方体中，E，F，G分别为棱，，CD的中点，则（ ） A. B. 平面BEF C. 直线AB交平面EFC于点P，则 D. 点到平面BEF的距离为 11. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 12. 若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确是（ ） A. B. ，，的最大值为4 C. 的单调递增区间为， D. 若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则的值为________． 14. 如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则的最大值为________． 15. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是__________． 16. 已知的边，且，则的面积的最大值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）若，求在的单调区间； （2）若在上的最小值为，求实数m的取值范围． 18. 如图，在直三棱柱中，，D是AC的中点，． （1）求证：平面； （2）若异面直线AC和所成角余弦值为，求四棱锥的体积． 19. 某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在分以上（包括分，满分分）共有人，分成、、、、五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到）； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中任取人，求此人分数都在的概率． 20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，． （1）求的面积； （2）若，求c． 21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 22. 已知函数图象经过点和点，． （1）求函数的解析式； （2）设，若对于任意，都有，求m的取值范围． 2023-2024-1长沙市第一中学高二入学考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案