第一章 勾股定理 单元测试题 2026—2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试，A/B卷分层设计，覆盖定理应用、实际情境问题，融合几何直观与应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|勾股数、定理直接应用|如第1题勾股数判断，基础巩固| |填空题|5/20|距离计算、勾股树|如第10题勾股树面积，体现数形结合| |解答题|8/78|实验探究、模型应用|如17题滑块实验、25题赵爽弦图，突出推理能力与文化传承|

第一章 勾股定理 单元测试题 2026—2027学年北师大版八年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列各组数中为勾股数的是（　　） A．7，12，13 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17 2．在直角三角形ABC中，斜边AB＝1，则AC2+BC2的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，一棵大树在离地面6m处折断，树的顶端落在离树干底部8m处，那么这棵树原来的长度是（　　） A．10m B．12m C．14m D．16m 4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 6．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 7．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　） A．1 B．12 C．0.8 D．0.6 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离为　　 ． 10．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是12cm2，则正方形A的面积是______． 11．如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是　　 cm． 12．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若AC＝6，BC＝8，则S1+S2的面积为　　 ． 13．若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是 　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD．若AC＝13，AB＝12，AD＝15，求CD的长． 15．已知：如图，AD⊥BC，垂足为D．CD＝1，AD＝2，BD＝4．求证：△ABC是直角三角形． ∴△ABC是直角三角形． 16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 17．实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 （图1）物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为8dm，且AB+BC＝16dm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 18．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若，则∠C的度数是　　 ． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD．若CE＝2，AE＝6，则CD＝　　 ． 21．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　　 ． 22．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为和和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为______． 23．纸飞机是大家平时随手就能制作的简单玩具，其做法各种各样．接下来我们将图1中长为26cm，宽为20cm的矩形纸片折叠可得到图2中的纸飞机，下面是折纸飞机的三个关键步骤的介绍．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠） 第一步：如图3，将图1中的矩形纸片ABCD沿MN折叠，点A的对应点A′落在MD边上． 第二步：如图4，将EM和EN分别沿着EP和EQ折叠，点M与点N的对应点重合，从而获得边PQ与CD平行，且PQ，A′B′，CD三条线段中相邻的两条之间距离均为xcm． 第三步：如图5，在CD上选取点F，将四边形EPDF沿着EF折叠，使EP的对应边所在直线与EM′所在直线重合，点D的对应点为D′，下方部分进行同样的操作，点C的对应点为C′，点E到C′D′的距离EG为飞机的最大长度．则该纸飞机最大长度EG为　　 cm． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE．经测量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根据测量结果，解答下列问题： （1）求AE的长； （2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 25．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a，b，斜边长为c）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积S1． 方法1：S1＝______；方法2：S1＝_______．根据以上信息，可以得到等式：___________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若a＝10，b＝5，求图2中阴影部分的面积S2． （3）如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点O，较大锐角的顶点为C，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且OC＝3，求该风车状图案的总面积． 26．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）求△ABC的面积； （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA，求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，求AM的长． 参考答案 第一章 勾股定理 单元测试题 2026—2027学年北师大版八年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列各组数中为勾股数的是（　　） A．7，12，13 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17 【解答】解：A、∵72+132≠132， ∴1，1，2不是勾股数，不符合题意； B、∵1.5，2.5不都是正整数， ∴1.5，2，2.5不是勾股数，不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5都不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； D、∵82+152＝172， ∴8，15，17是勾股数，符合题意； 故选：D． 2．在直角三角形ABC中，斜边AB＝1，则AC2+BC2的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：在直角三角形ABC中，斜边AB＝1， ∴AC2+BC2＝AB2＝12＝1， 故选：A． 3．如图，一棵大树在离地面6m处折断，树的顶端落在离树干底部8m处，那么这棵树原来的长度是（　　） A．10m B．12m C．14m D．16m 【解答】解：由勾股定理可知，这棵树折断部分的长度是10（m）， ∴这棵树原来的长度是10+6＝16（m）， 故选：D． 4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【解答】解：如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.4m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【解答】解：连接BH，如图所示： 根据作图可知，EF垂直平分AB， ∴BH＝AH，AD＝BD， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴CG＝CD＝5cm， 根据勾股定理得：， ∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm）， 设AH＝BH＝xcm，则CH＝（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 6．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 【解答】解：由题意可知，CF＝2.6m，BE＝0.8m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：B． 7．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，S3﹣S1＝S2， 又∵S3+S2﹣S1＝20， ∴2S2＝20， ∴S2＝10， ∴图中阴影部分的面积5， 故选：A． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　） A．1 B．12 C．0.8 D．0.6 【解答】解：如图，连接BF， ∵∠BAC＝45°，CE⊥AB， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AE＝CE， ∵AB＝7，BE＝3， ∴AE＝4＝CE， ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°＝∠B+∠BCE， ∴∠BAD＝∠BCE， ∴△AEF≌△CEB（ASA）， ∴EB＝EF＝3， ∴CF＝1， ∵BE＝3，CE＝4， ∴BC5， ∵S△BCFCF•BEBC•DF， ∴1×3＝5DF， ∴DF＝0.6， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离为　　 ． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， 过点C作CD⊥AB于点D， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， 由勾股定理得， 则△ABC的面积为， 同时面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 10．如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是12cm2，则正方形A的面积是 　4cm2 ． 【解答】解：如图， 根据勾股定理和正方形的面积可知： 正方形D的面积+正方形E的面积＝正方形C的面积， 正方形F的面积+正方形G的面积＝正方形B的面积， 正方形B的面积+正方形C的面积＝正方形A的面积， ∵所有正方形的面积之和是12cm2， ∴正方形A的面积是124（cm2）， 故答案为：4cm2． 11．如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是　3　 cm． 【解答】解：∵AO＝8cm，BO＝15cm，∠BOA＝90°， ∴吸管在饮料罐内部的长度为：， ∵吸管的总长度为20cm， ∴吸管露在饮料罐外部的长度为20﹣17＝3（cm）， 故答案为：3． 12．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若AC＝6，BC＝8，则S1+S2的面积为　24　 ． 【解答】解：由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积S1+S2＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB ＝24， 故答案为：24． 13．若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是 　等腰直角三角形　 ． 【解答】解：∵，（a﹣b）2≥0， 又∵（a﹣b）2＝0， ∴a2+b2﹣c2＝0，且a﹣b＝0， 由a2+b2﹣c2＝0，得：a2+b2＝c2， 此时△ABC是直角三角形， 由a﹣b＝0，得：a＝b， 此时△ABC是等腰三角形， 综上所述：△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC延长线上的点，连接AD．若AC＝13，AB＝12，AD＝15，求CD的长． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，， 在Rt△ABD中，， ∴若AC＝13，AB＝12，AD＝15，则CD＝BD﹣BC＝4． 故答案为：4． 15．已知：如图，AD⊥BC，垂足为D．CD＝1，AD＝2，BD＝4．求证：△ABC是直角三角形． 【解答】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵CD＝1，AD＝2，BD＝4， ∴AC2＝CD2+AD2＝12+22＝5，AB2＝AD2+BD2＝22+42＝20，BC＝CD+BD＝5， ∴AC2+AB2＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， 在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD AB•BCAC•CD 3×45×12 ＝6+30 ＝36． 17．实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 （图1）物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为8dm，且AB+BC＝16dm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【解答】解：（1）∵物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm，AB+BC＝16dm， 设AB＝xdm，则BC＝（16﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴82+（16﹣x）2＝x2， 解得：x＝10， ∴AB＝10dm， ∴绳子长度＝AB+AC＝10+8＝18（dm）； （2）如图2， 若物体C升高7dm，则此时AB＝10+7＝17（cm）， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD15（dm）， ∴BE＝BD﹣ED＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 18．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【解答】解：（1）如图，设CF＝12，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于CF任意一点B，过点D作DG⊥AC，交AC延长线于点G，连接AD， 则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12， ∴代数式表示AB+DB， ∵AB+DB的最小值为AD的长， 即代数式的最小值为AD的长， 在Rt△ADG中，由勾股定理得， 即的最小值为13； 故答案为：13． （2）设CF＝5，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝2，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝1，对于CF任意一点B，过点D作DH⊥AC，交AC延长线于点H，连接AD， 则AH＝2+1＝3，DH＝CF＝5， ∴代数式表示AB+BD， ∵AB+DB的最小值为AD的长， ∴代数式的最小值为AD的长， ∵， 即代数式的最小值为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若，则∠C的度数是　90°　 ． 【解答】解：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∵， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°． 故答案为：90°． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD．若CE＝2，AE＝6，则CD＝　2　 ． 【解答】解：如图，连接BE， ∵CE＝2，AE＝6， ∴AC＝AE+CE＝8， 由作图可知，MN为AB的垂直平分线， ∴BE＝AE＝6，AD＝BD， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 在Rt△ECB中，由勾股定理得：BC4， ∴AB4， ∵AD＝BD， ∴CDAB＝2， 故答案为：2． 21．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61．　 ． 【解答】解：通过观察得： 第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5； 第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13； 第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25； 第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41； 所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61． 故答案为：11，60，61． 22．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为和和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为　5m ． 【解答】解：如图，将台阶展开为矩形，线段AB恰好是直角三角形的斜边， 由题意得，AC＝4m，BC3＝3（m）， 在Rt△ABC中，5（m）， 即它所走的最短路线长度为5m， 故答案为：5m． 23．纸飞机是大家平时随手就能制作的简单玩具，其做法各种各样．接下来我们将图1中长为26cm，宽为20cm的矩形纸片折叠可得到图2中的纸飞机，下面是折纸飞机的三个关键步骤的介绍．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠） 第一步：如图3，将图1中的矩形纸片ABCD沿MN折叠，点A的对应点A′落在MD边上． 第二步：如图4，将EM和EN分别沿着EP和EQ折叠，点M与点N的对应点重合，从而获得边PQ与CD平行，且PQ，A′B′，CD三条线段中相邻的两条之间距离均为xcm． 第三步：如图5，在CD上选取点F，将四边形EPDF沿着EF折叠，使EP的对应边所在直线与EM′所在直线重合，点D的对应点为D′，下方部分进行同样的操作，点C的对应点为C′，点E到C′D′的距离EG为飞机的最大长度．则该纸飞机最大长度EG为　　 cm． 【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿MN折叠，点A的对应点A′落在MD边上， ∴cm， ∴cm， ∵将EM和EN分别沿着EP和EQ折叠，点M与点N的对应点重合， ∴ME＝EM′，MP＝PM′，∠PM′E＝∠M＝90°， ∵PQ∥MN， ∴∠MPM′＝90°， ∴四边形MEM′P为正方形， ∴EM′＝PM′， 又∵∠PM′E＝90°， ∴△PM′E为等腰直角三角形， 同理可得△QN′E为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：x＝2， ∴EM′＝PM′＝10cm， 在Rt△PM′E中，由勾股定理得：cm， ∵四边形EPDF沿着EF折叠， ∴cm， ∵△PM′E为等腰直角三角形， ∴∠EPM′＝45°， 且∠QPD＝90°， ∴∠EPD＝45°+90°＝135°， ∴∠EP′D′＝∠EPD＝135°， ∴∠D′P′G＝45°， ∵∠P′GD′＝90° ∴△P′GD′为等腰直角三角形， ∴P′D′＝PD＝2+2＝4，P′G＝D′G， 在Rt△P′GD′中，由勾股定理得：， 解得， ∴cm， ∴该纸飞机最大长度EG为． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，两根支架从帐篴顶点A支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E在线段BD上，且AE＝BE．经测量，知BD＝1.6m，AD＝1.2m，AC＝1.5m．根据测量结果，解答下列问题： （1）求AE的长； （2）按照要求，当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 【解答】解：（1）设AE＝xm，则BE＝AE＝xm，ED＝（1.6﹣x）m， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADE中，AD2+ED2＝AE2， 1.22+（1.6﹣x）2＝x2，解得． ∴AE的长为； （2）帐篷符合要求． 理由如下： 在Rt△ABD中，BD＝1.6m，AD＝1.2m， ∴， 在Rt△ADC中，AD＝1.2m，AC＝1.5m， ∴， ∴BC＝BD+CD＝2.5m， ∵AB2+AC2＝22+1.52＝6.25，BC2＝2.52＝6.25， ∴AB2+AC2＝BC2． ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°． ∴帐篷符合要求． 25．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a，b，斜边长为c）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积S1． 方法1：S1＝ a2+b2 ；方法2：S1＝ c2 ．根据以上信息，可以得到等式：a2+b2＝c2 ； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若a＝10，b＝5，求图2中阴影部分的面积S2． （3）如图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，直角顶点重合于点O，较大锐角的顶点为C，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且OC＝3，求该风车状图案的总面积． 【解答】解：（1）方法1：， 方法2：， ∴a2+b2＝c2； 故答案为：a2+b2，c2，a2+b2＝c2； （2）， 当a＝10，b＝5时， ． （3）∵OC＝3，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴b＝3，4c+4（a﹣b）＝4（a﹣b+c）＝24， ∴a+c＝9，c＝9﹣a， ∵a2+b2＝c2， ∴a2+9＝（9﹣a）2， 解得a＝4， ∴． 26．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）求△ABC的面积； （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA，求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，求AM的长． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12， ∴， ∴△ABC的面积； （2）∵∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC， 设AP＝PC＝x， ∴PB＝AB﹣AP＝16﹣x， ∴（16﹣x）2+122＝x2， 解得：， ∴； （3）AM的长为8或10或． 如图1，当CB＝CM＝12时， AM＝AC﹣CM＝20﹣12＝8， 如图2，当BM＝CM时， ∴∠C＝∠MBC， 又∵∠C+∠A＝90°，∠ABM+∠MBC＝90°， ∴∠A＝∠ABM， ∴； 如图3，当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H， 则， ∴， ∴， ∴， 综上所述，AM的长为8或10或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $