第1章勾股定理自主学习同步练习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册《勾股定理》单元卷，以真实情境（如攀岩、台风路径）与文化素材（罗士琳法则）为载体，覆盖定理应用、最短路径等核心知识点，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7题/21分|直角三角形判定、基础计算|结合生态防护林情境，考查数学眼光中的抽象能力| |填空题|7题/21分|勾股数规律、最短路径（蚂蚁爬行、圆柱展开）|融入清代数学文化，发展空间观念与创新意识| |解答题|6题/58分|动态几何探究（等腰直角三角形运动）、实际应用（容器倾斜、台风影响）|梯度设计，从基础运算到综合推理，培养推理能力与应用意识|

2026-2027学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（   ） A．5，6，7 B．4，5，6 C．3，4，5 D．2，3，4 2．祁连山脚下的生态防护林，其横截面为三角形，已知该三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（    ） A． B． C． D． 4．如图，分别以的三边为边作正方形，再以为斜边作，最后以为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（   ） A．5 B．3 C．16 D．6 5．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（   ）． A．14 B．12 C．10 D． 6．如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为_____． 9．已知，在中，，，边上的高，则边BC的长为__________． 10．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 11．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________． 12．如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为和，且，若河岸的长度为，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离_____． 13．如图，某景区有一圆柱形景观柱，底面周长为，高为，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕不同颜色的装饰带．其中一条红色装饰带从景观柱底点A处沿景观柱侧面缠绕到顶部B处，这条装饰带的长度至少需要___________m． 14．如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则_______． 三、解答题 15．在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 16．如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 17．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ 18．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 19．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 20．如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 参考答案 1．C 解：A选项：，不能构成直角三角形； B选项：，不能构成直角三角形； C选项：，能构成直角三角形； D选项：，不能构成直角三角形． 2．D 解：∵该三角形的三边长分别为，，，， ∴该三角形是直角三角形，直角边长为、， ∴该三角形的面积为． 3．B 解：∵建筑物墙面垂直于地面， ∴建筑物高度、梯子底端到建筑物的水平距离、梯子长度构成直角三角形，梯子为该直角三角形的斜边， ∵建筑物高为，梯子底端离建筑物至少，即直角三角形两条直角边长分别为和， ∴由勾股定理得，梯子长度为， ∴梯子长度至少为． 4．C 解：∵四边形是正方形， ∴． ∵以为边的作两个小正方形的面积分别是1、3， ∴． ∵以为边的正方形面积为2， ∴， ∴以为边的正方形面积为∶， ∴图中5个正方形的面积总和是∶． 5．C 解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 6．C 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得． 7．C 解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 8．解：直角三角形的两条直角边为和，斜边， ， ， ， 的面积为． 故答案为：． 9．解：在中，，，，由勾股定理得：； 在中，，，，由勾股定理得：； 当为锐角三角形时，点D在上，， 当为钝角三角形时，且为钝角，点D在BC的延长线上，． 故答案为：或． 10．解：由题意得，第⑥组第一个数为，设第二个数为x，则第三个数为， 由勾股定理得， 解得，则， 故第⑥组勾股数为13,84,85． 故答案为：13，84，85． 11．解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为13． 故答案为： 12．解：作A关于的对称点，交于点M，连接，，，如图所示：    根据轴对称可知：，，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴、、三点共线时，最小，即最小， ∴此时最小， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵，河岸的长度为， ∴，， ∴（米）， ∴牧童从处把牛牵到河边饮水再回家的最短距离是． 故答案为：． 13．解：将圆柱侧面沿高展开，得到一个长为底面周长、宽为圆柱高的长方形． 装饰带的最短长度为底面周长的一半即长为、宽为圆柱高的长方形的对角线长度，可由勾股定理计算： 装饰带最短距离为， 故答案为：5． 14．解：如图所示： 设，则， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∵， 由勾股定理得：． 15．（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 16．（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； (2)解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（1）解：根据勾股定理： ∴梯子距离地面的高度为：； （2）解：梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于，理由如下： ∵梯子的顶端A下滑到点C， ∴，， ∴， 根据勾股定理得到， ∴， ∴梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于． 18．（1）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 19．（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C会受到台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响． 20．（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∵ ∴； （2）如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴，即： 在中， ∵ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $