湖南衡阳市成章实验中学2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题

2026.9月.初三.成章.开学考 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知函数，则自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．萍乡市芦溪县是全国知名的“中国电瓷之都”，是萍乡市重要的电瓷材料产业基地，某本土企业生产的高性能的电瓷产品，绝缘层超薄涂层的厚度约为微米．数据用科学记数法记作（ ） A． B． C． D． 3．若点在第三象限，到横轴的距离为，到纵轴的距离为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） … … … … A．随的增大而减小 B．一次函数的图象经过第一、二、四象限 C．是方程的解 D．一次函数的图象与轴交于点 5．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．某商店按批发价购进一批新疆薄皮核桃，第一次用元购进若干斤，第二次进价上浮，已知用元购进的核桃比第一次多斤．设第一次进价为元/斤，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④ 10．如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，，下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ） A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简的结果等于________． 12．如果一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是________． 13．已知，则分式的值为________． 14．一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是________． 15．如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，从→→→→→→…，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，，求菱形的面积． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）连结，，求的面积． 21．某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：，，，，，，，，，，， 八年级：，，，，，，，，，，， 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 和 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；________； （2）八年级成绩箱线图的下四分位是________； （3）该校八年级共人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为多少人？ 22．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲，乙两种农机具，已知件乙种农机具比件甲种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买件甲种农机具和件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲，乙两种农机具共件，且乙的件数不低于甲件数的一半．设购买甲种农机具件，购买的总费用为万元，求与的关系式及购买这批农机具最少要用多少万元？ 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，以为边作正方形，反比例函数的图象在第一象限经过点． （1）直接写出点、、的坐标及的值； （2）如图②，将直线向下平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交的图象于点，若，求直线的解析式； （3）如图③，将直线绕点顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点，求点的横坐标． 24．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． （1）如图，若点在线段上，连接，求证； （2）如图，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； （3）若，为直角三角形，以的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题） 1．【答案】A 【考点】函数自变量的取值范围 【解答】解：由函数有意义，得， 解得， 故选：A． 2．【答案】A． 【考点】科学记数法—表示较小的数 【解答】解：． 故选：A． 3．【答案】B 【考点】点的坐标 【解答】解：根据第三象限点的坐标特征及点到坐标轴的距离确定坐标符号和数值可知： 到横轴（x轴）的距离为3，即纵坐标绝对值， ， 到纵轴（y轴）的距离为4，即横坐标绝对值， ， 点P的坐标为， 故选：B． 4．【答案】D 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【解答】解：由表格可知，当时，；当时，， ， 解得， 一次函数解析式为， A、， y随x的增大而减小， 故此选项不符合题意； B、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故此选项不符合题意； C、由表格可知当时，， 是方程的解， 故此选项不符合题意； D、令，则， 解得， 一次函数的图象与x轴交于点， 故此选项符合题意； 故选：D． 5．【答案】D 【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象 【解答】解：由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故不可能是选项A、B； 由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故不可能是选项C，可能是选项D； 故选：D． 6．【答案】D 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为， 所以反比例函数的图象位于第二、四象限且在每个象限内y随x的增大而增大． 因为点，，都在该反比例函数的图象上且， 所以， 即． 故选：D． 7．【答案】D 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【解答】解：根据题意得． 故选：D． 8．【答案】D 【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【解答】解：过B作轴于E，轴于F， ， 四边形ABCD是正方形， ，，， 四边形OEBF是矩形， ，则， ， ， ，， 四边形OEBF是正方形， 点，点， ，， 设正方形OEBF的边长为m，则，， ， 解得， 点的坐标为，又反比例函数的图象经过点B， ， ， 故选：D． 9．【答案】B 【考点】一次函数的应用 【解答】解：设货车、小汽车之间的距离为S（千米），货车行驶的时间为t（小时），S与t之间的函数关系如图所示，则： 设货车速度为千米/小时，小汽车速度为千米/小时． 两车在小时相遇， ． ， 小汽车从B到A用时2小时， 千米/小时， 千米/小时． 两车相遇时，货车行驶路程：千米， 货车离B地距离：千米，故①正确． 相遇前相距80千米：， 解得； 相遇后相距80千米：， 解得，故②正确． 货车到达A地用时：小时， 小汽车到达用时2小时， 小时，即小汽车比货车提前1小时到达，故③错误． 小汽车到达目的地时，货车行驶路程：千米， 货车离A地100千米，故④错误． 综上，①②正确． 故选：B． 10．【答案】C 【考点】全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质 【解答】解：，， ， 又，， 在和中，， ；故①正确； 由得，，从而， 所以， 过B作，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离， 在中，由勾股定理得， 在中，，，由勾股定理得：， ，， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 故②是错误的； 因为，所以，而对顶角相等，所以③是正确的； 连接BD，则， 所以， 所以所以④是正确的； 综上可知，正确的有①③④， 故选：C． 二、填空题（共6小题） 11．【答案】5． 【考点】二次根式的性质与化简 【解答】解：原式 ． 故答案为：5． 12．【答案】． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题 【解答】解：设直线解析式是． 它与直线平行， ． 一次函数的图象经过点， ． 这个一次函数的解析式是． 故答案为：． 13．【答案】． 【考点】分式的值；分式的加减法 【解答】解：， ， 原式 ． 故答案为：． 14．【答案】． 【考点】一次函数的图象；一次函数与一元一次不等式 【解答】解：由图可知关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 15．【答案】 【考点】勾股定理；菱形的性质 【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示： 四边形ABCD是菱形， ，，，， ， ， ， 菱形的面积， 即， 解得：， 故答案为：． 16．【答案】． 【考点】规律型：点的坐标 【解答】解：观察题图发现，第一列有1个点，第二列有2个点，，第n列有n个点， n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下排列的，在偶数列点的顺序是由下到上排列的． ， 第2025个点在第64列，由下到上的第9个点． 第2025个点的坐标是． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．【答案】6． 【考点】负整数指数幂；零指数幂；实数的运算 【解答】解：原式 ． 18．【答案】，原式． 【考点】分式的化简求值 【解答】解： ， 当时，原式． 19．【答案】（1）见解答； （2）240． 【考点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质 【解答】（1）证明：， ∴， MN是对角线BD的垂直平分线， ，， 在和中， ， ，， ，四边形BNDM是平行四边形， 又 平行四边形BNDM是菱形； （2）解：由（1）可知，，， 四边形BNDM是菱形，周长为52， ， ，， ， ， ． 20．【答案】（1），； （2）或； （3）8． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解答】解：（1）由题意可得：， ， 则， 把代入， 得，， 把和分别代入， 得， 解得， ； （2）根据图象，不等式的解集为或； （3）记AB与x轴的交点为N，如图所示： 由（1）得直线AB的解析式为 令，则， 解得，则， 由（1）得， 的面积 ． 21．【答案】（1）6.5，4.5，7； （2）5.5； （3）80人． 【考点】中位数；方差 【解答】解：（1）七年级的中位数，方差； 八年级的众数为：； 故答案为：6.5，4.5，7； （2）结合统计表和箱线图，下四分位数； 故答案为：5.5； （3）（人）， 答：估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 22．【答案】（1）购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2．5万元； （2）购买这批农机具最少要用65万元。 【考点】列代数式；分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【解答】解：（1）设购买1件甲种农机具需要x万元，则购买1件乙种农机具需要万元， 由题意列分式方程得，， 整理得，， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意； ， 答：购买1件甲种农机具需要2万元，购买1件乙种农机具需要2.5万元； （2）设购买甲种农机具m件，则购买乙种农机具件， 由题意列一元一次不等式得，， 整理得，， 解得， ， 随着m的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值； 答：购买这批农机具最少要用65万元． 23．【答案】（1），，，； （2）； （3）． 【考点】反比例函数综合题 【解答】解：（1），，，；理由如下： 一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点C、D， 当时，得：； 当时，得：， 解得：， ，， ，， 以CD为边作正方形ABCD， ，， 如图①，过点A作轴于点L，则， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ， ，，，； （2）如图②，连接AE， 将直线OA向下平移得到直线EF，则， 点E到AB的距离等于点G到AB的距离，且，同底， ， 又，， ，，， 设直线OA的解析式为，将点A的坐标代入得：， 解得：， 直线OA的解析式为， 又，， 设， 又过点， ，， ； （3）过A作交OP的延长线于点M，作x轴的平行线，交y轴于点G，过M作y轴的平行线，交AG于点H，如图③， ， 又，， 又，， ，， 又，， ， 在与中，， ， ，， ，， 设OM的解析式为，将点M的坐标代入得：， 解得：， 的解析式为， 联立得：，， 又，， 点P的横坐标是． 24．【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）或． 【考点】三角形综合题 【解答】（1）证明：四边形ABCD为菱形， ，， ，， ， 由旋转的性质可知，， 在和中，， ，； （2）解：如图： ，四边形ABCD为菱形， ，，， 又，，， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，，， ，，， ，， ，， ，， ，， ，，； ②当时，如图： 同理可得，， ，， 延长EC交BF于G，， 为等边三角形，， ，， E在线段BD上，， 不存在， 故不符合题意； ③当时，连接AC延长交FG于N，如图： 设， ， ， ， 在BF上截取， ，， ，， ， ，， ，， ，， 四边形ABCD为菱形， ，， 四边形为矩形， ，， 四边形为矩形， ，，， ，， ，； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $