精品解析：陕西宝鸡市第一中学2026-2027学年度第一学期开学学情调研测试九年级数学

2026-2027学年度第一学期开学学情调研测试（卷） 九年级数学 （时间：120分钟 试题分值：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，点E在线段上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列哪个条件，不能使四边形成为平行四边形（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 7. 如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，在正方形中，，，三点分别在边，，上，且为等边三角形，若，，则正方形边长为（） A. 8 B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 当_________时，分式的值为0． 10. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧交、于点、，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线．为上一点，交于点，若，则的度数为________． 11. 如图是一个五边形，图形中的值为______． 12. 某校七年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校七年级共有____________个班级． 13. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，当，转动到，时，点E在的延长线上，若，则__________． 14. 如图，矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是______． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 如图，已知，在三角形外部找到一点，使得点到和的距离相等，且点到点和点的距离也相等． 18. 先化简，再求值：，从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 19. 2026年5月18日，富平县文庙博物馆正式向公众开放．为庆祝开馆，某文创商店用200元购进了一批A款纪念徽章，又用300元购进了一批B款纪念徽章，且B款纪念徽章的单价（单位：元/枚）是A款纪念徽章单价的2倍，已知购进A款纪念徽章的数量比B款纪念徽章多10枚，求A款纪念徽章的单价． 20. 在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的 (顶点都在格点上)． （1）先画出该三角形关于直线l成轴对称的； （2）再画将 绕点逆时针方向旋转后的； （3）求的面积． 21. 如图，在等边三角形中，点三点在同一条直线上，且，． 判断是什么形状，并说明理由． 22. 如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． （1）求证：； （2）连接，，若°，求的度数． 23. 如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 24. 正值郴州文化旅游节，某特产专营店热销本地两大王牌产品：“东江湖银鱼干”与“桂阳坛子肉”．已知：购进2箱银鱼干和3箱坛子肉，共需280元；购进3箱银鱼干和2箱坛子肉，共需320元． （1）求一箱东江湖银鱼干和一箱桂阳坛子肉的进价分别是多少元？ （2）该店计划一次性购进这两种特产共100箱，其中银鱼干进货量不得低于坛子肉进货量的3倍．设购进银鱼干箱，总进货费用为元，请问该店如何进货才能使总费用最少？ 25. 如图，已知：一次函数经过点和点． （1）求一次函数的解析式； （2）点在轴正半轴上，点在直线上，，，求的面积． （3）在（2）的条件下，在轴上取点，满足为等腰三角形，直接写出点的坐标，不必写理由． 26. 华罗庚小组在研究八下教材页中数学活动时，发现在身边没有量角器、三角板的情况下，可以通过折叠矩形纸片的方式得到，等特殊度数的角，于是受到启发，进行如下操作，尝试得到的角． （1）【操作发现】如图1，将正方形纸片的和沿过点的直线向内部折叠至处，折痕分别为和，折叠后的和在处重合，请找出图中哪个角为，并说明理由； （2）【拓展探究】如图2，陈景润小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点，若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图3，在矩形中，点在边上，点在边上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期开学学情调研测试（卷） 九年级数学 （时间：120分钟 试题分值：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．根据不等式性质直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴，，， 当时，， 故选：C． 3. 如图，，点E在线段上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解； B、，是因式分解； C、是整式的乘法，不是因式分解； D、，等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解. 5. 在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列哪个条件，不能使四边形成为平行四边形（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，已知，逐一分析各选项，判断哪个条件无法判定四边形为平行四边形即可． 【详解】解：A选项，∵，，即两组对边分别平行，∴四边形是平行四边形，A不符合要求； B选项，当，时，四边形可以是等腰梯形，不能推出四边形一定是平行四边形，B符合要求； C选项，∵，∴，又，，∴，∴，对角线，互相平分，∴四边形是平行四边形，C不符合要求； D选项，∵，∴，又，，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，D不符合要求； 6. 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，，，从而根据勾股定理求出，进而可得，再由即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 7. 如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象法解不等式组即可． 【详解】解：由图象可知，过原点， ∴不等式的解集为． 8. 如图，在正方形中，，，三点分别在边，，上，且为等边三角形，若，，则正方形边长为（） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长至，延长至，使，连接，，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，证明，利用线段和差求解即可 【详解】解：如图，延长至，延长至，使，连接，， 四边形是正方形， ， 在中，，， ， ∴， ∵， ∴ ，， 同理，在中，，， ，， ∵为等边三角形， ， ， 又，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 当_________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0的条件：①分子；②分母．结合题目所给分式分别满足这两个条件列出相关方程和不等式，求解即可． 【详解】解： 分式的值为0， ，由可得： ；由可得：， 综上可知，， 故答案为． 【点睛】本题考查分式值为0的条件，该题型比较容易漏掉分母不为0的条件．根据分式值为0的条件，准确求解相关方程与不等式是解决问题的关键． 10. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧交、于点、，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线．为上一点，交于点，若，则的度数为________． 【答案】##31度 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可得是的角平分线，根据平行线的性质可得，，结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图可得是的角平分线， ∴， ∴． 11. 如图是一个五边形，图形中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角的计算，根据五边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 12. 某校七年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校七年级共有____________个班级． 【答案】 【解析】 【分析】设学校七年级共有x个班级，根据题意，得，求不等式组的正整数解即可． 【详解】解：设学校七年级共有x个班级， 根据题意，得， 解得， 是正整数， 故， ∴学校七年级共有6个班级． 13. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，当，转动到，时，点E在的延长线上，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，垂足为F，根据垂直定义可得：，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，， ∴且． 当点F在上除点C、E的位置处时，有． 由中位线定理可知：且． ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值． ∵矩形中，，为的中点， ∴、、为等腰直角三角形，． ∴，． ∴． ∴． ∴，即， ∴的最小值为的长． 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最值问题，中位线定理，勾股定理以及矩形的性质等知识，解题的关键是找出点P的运动轨迹． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，熟知解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定整数解即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对原式变形得到公因式，提公因式后用平方差公式分解； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知，在三角形外部找到一点，使得点到和的距离相等，且点到点和点的距离也相等． 【答案】如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】作的平分线，线段的垂直平分线，两线相交于点D即可. 【详解】略 18. 先化简，再求值：，从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，取时，原式的值为（答案不唯一，取时值为） 【解析】 【详解】解： ， ， 整数的值为，，， 又 ， 取时，原式 （答案不唯一，取时值为）． 19. 2026年5月18日，富平县文庙博物馆正式向公众开放．为庆祝开馆，某文创商店用200元购进了一批A款纪念徽章，又用300元购进了一批B款纪念徽章，且B款纪念徽章的单价（单位：元/枚）是A款纪念徽章单价的2倍，已知购进A款纪念徽章的数量比B款纪念徽章多10枚，求A款纪念徽章的单价． 【答案】A款纪念徽章的单价为5元． 【解析】 【分析】设A款纪念徽章单价为未知数，根据B款单价与A款的关系表示出B款单价，再结合A款数量比B款多10枚的等量关系列分式方程求解，解后检验即可得到结果． 【详解】解：设A款纪念徽章的单价为元，则B款纪念徽章的单价为元． 根据题意可得：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合实际意义． 答：A款纪念徽章的单价为5元． 20. 在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的 (顶点都在格点上)． （1）先画出该三角形关于直线l成轴对称的； （2）再画将 绕点逆时针方向旋转后的； （3）求的面积． 【答案】（1） 由轴对称的性质作图，如图1； （2） 由旋转的性质作图，如图2， （3）3 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，作旋转图形，利用网格求三角形面积等知识，熟练掌握作轴对称图形，作旋转图形是解题的关键． （1）利用轴对称的性质作图即可； （2）利用旋转的性质作图即可； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，， ∴的面积为3． 21. 如图，在等边三角形中，点三点在同一条直线上，且，． 判断是什么形状，并说明理由． 【答案】 解：是等边三角形，理由如下： 是等边三角形， ， 在与中， ， ， ， ，即， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，利用证明得到，再证明即可证明是等边三角形． 【详解】略 22. 如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． （1）求证：； （2）连接，，若°，求的度数． 【答案】（1）证明：连接和，如图， ∵、分别是边，上的高， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵是线段的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接和，由题意知，结合直角三角形斜边中线的性质得，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，由（1）知，，结合中点得，即，根据等腰三角形的性质得和，利用三角形内角和定理和平角的定义即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵°， ∴， 由（1）知，， ∵线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵ ． ∴的度数是． 23. 如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 24. 正值郴州文化旅游节，某特产专营店热销本地两大王牌产品：“东江湖银鱼干”与“桂阳坛子肉”．已知：购进2箱银鱼干和3箱坛子肉，共需280元；购进3箱银鱼干和2箱坛子肉，共需320元． （1）求一箱东江湖银鱼干和一箱桂阳坛子肉的进价分别是多少元？ （2）该店计划一次性购进这两种特产共100箱，其中银鱼干进货量不得低于坛子肉进货量的3倍．设购进银鱼干箱，总进货费用为元，请问该店如何进货才能使总费用最少？ 【答案】（1） 一箱东江湖银鱼干的进价为80元，一箱桂阳坛子肉的进价为40元 （2） 购进银鱼干75箱，桂阳坛子肉25箱时，总进货费用最少 【解析】 【分析】（1）设出两种产品的进价，根据题干给出的总费用条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）根据进货量的限制条件求出自变量的取值范围，再列出总费用的一次函数解析式，根据一次函数的增减性即可求出总费用最少的进货方案． 【小问1详解】 解：设一箱东江湖银鱼干的进价为元，一箱桂阳坛子肉的进价为元， 根据题意得： ， 解得  ． 答：一箱东江湖银鱼干的进价为80元，一箱桂阳坛子肉的进价为40元． 【小问2详解】 解：已知购进银鱼干箱，则购进坛子肉箱， 根据题意得： ， 解得， 结合实际可知：，且为整数， 总进货费用，  化简得，  ，  随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 此时（箱） ． 答：当购进银鱼干75箱，桂阳坛子肉25箱时，总进货费用最少． 25. 如图，已知：一次函数经过点和点． （1）求一次函数的解析式； （2）点在轴正半轴上，点在直线上，，，求的面积． （3）在（2）的条件下，在轴上取点，满足为等腰三角形，直接写出点的坐标，不必写理由． 【答案】（1） （2） （3）点E坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）过点作，可证，即可知点的位置，根据勾股定理可知的长度，由面积公式即可求解； （3）分类讨论，当，，时，即可求解坐标． 【小问1详解】 解：将点和点代入一次函数， 得 解得：， 则一次函数的解析式为：， 【小问2详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ 设， 则点 将点代入一次函数得：， 解得：， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：第一种情况，当时， 由（2）可知， 则点或点 第二种情况，当时， 设点， ∴，， ∴ ∴， 解得：， 则点， 第三种情况，当时， ， ∴， 所以点， 综上所述：点E坐标为或或或． 26. 华罗庚小组在研究八下教材页中数学活动时，发现在身边没有量角器、三角板的情况下，可以通过折叠矩形纸片的方式得到，等特殊度数的角，于是受到启发，进行如下操作，尝试得到的角． （1）【操作发现】如图1，将正方形纸片的和沿过点的直线向内部折叠至处，折痕分别为和，折叠后的和在处重合，请找出图中哪个角为，并说明理由； （2）【拓展探究】如图2，陈景润小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点，若，求线段的长； （3）【迁移应用】如图3，在矩形中，点在边上，点在边上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，求的面积． 【答案】（1），理由如下： 如图1，由翻折的性质可知，，， 四边形是正方形， ， ； （2） （3）的面积为或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可知，，，根据正方形的性质可知，，根据角之间的关系可知； （2）由折叠的性质可知，根据直角三角形的性质和折叠的性质可知，，设，则，，利用锐角三角函数可得：，，可证，根据全等三角形的性质可以求出，根据直角三角形的性质可以求出，根据线段之间的关系可以求出结果． （3）根据点为的三等分点，或，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由折叠可知，， 四边形是正方形， ，， ，， 由折叠可知，，， 在中，，， ，， 在中，， 设，则，， 由（1）可知， 是等腰直角三角形，， 又，， ， ， ， 解得：， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长交于点，过点作于点，交于点H ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 由折叠可知，，，， 又∵ ∴ ∴，， 四边形是正方形， ， 点为的三等分点， 或， 当时，如下图所示， ， ， 可得：， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得 即， 解得：， ， 的面积； 当时，如下图所示， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得 即， 解得：， ， 的面积； 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $