第二章 导数 第3节 利用导数研究函数的极值与最值 讲义-2026-2027学年度高三数学一轮总复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数应用核心考点，涵盖极值概念与求法、一元三次函数图象性质、最值问题及应用，按“概念定义-方法步骤-典例解析-针对练习”逻辑架构知识体系，通过考点梳理构建知识网络，典例精讲提炼解题方法，分层练习（含2024年甲卷真题）强化应用，助力学生系统突破导数难点。 讲义突出“数学思维”与“几何直观”培养，如通过三次函数导数图象分析极值点符号规律，引导学生抽象函数单调性与极值关系，设计“基础判断-综合计算-实际应用”三级练习，配合即时方法总结，帮助学生在有限时间内提升逻辑推理与问题解决能力，为教师把控复习节奏、实现高效备考提供有力支持。

第二章 导数 第3节 利用导数研究函数的极值与最值 一、极值的概念与基本的处理方法 1．定义：当函数在点处连续，且在区间内可导， （1）如果在附近的左侧，且右侧，则是的极大值； （2）如果在附近的左侧，且右侧，则是的极小值． 若为的极值点，若存在，则． 2．求极值（点）的步骤：（1）求；（2）令，得（可能为极值点）；（3）判断在附近左右两侧的符号，①若左正右负，则在处取得极大值；②若为左负右正，则在处取得极小值． 注：可导函数的极值（或极值点）存在的条件： （1）在附近左右两侧异号；（2）存在，使． 【典例1】下列命题中正确的是（ ） A．函数有两个极值点 B．函数有两个极值点 C．函数有且只有个极值点 D．函数无极值点 【针对练习1-1】设函数，则（ ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【针对练习1-2】已知函数，则（ ） A．为的极小值点 B．为的极大值点 C．为的极小值点 D．为的极大值点 【针对练习1-3】已知函数，则（ ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极小值 D．有极大值 【典例2】求函数的极小值． 【针对练习2-1】求函数的极值点，并指明是极大值点还是极小值点． 【针对练习2-2】已知函数，则的极大值是________． 【针对练习2-3】函数的极值点为 ． 【针对练习2-4】求函数的极小值和极大值． 【针对练习2-5】函数的极小值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【针对练习2-6】已知函数，且，求的值及的极 小值． 【针对练习2-7】求函数的极小值． 【针对练习2-8】已知函数，求的极大值. 【针对练习2-9】（2024年甲卷）已知函数． 当时，求的极值． 【典例3】已知函数在处有极大值，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【针对练习3-1】若函数在处取得极大值，求实数的值． 【针对练习3-2】已知函数(，且)． （1）求函数的单调递增区间；（2）当时，的极大值为，求的值． 【针对练习3-3】已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-4】已知函数有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对练习3-6】若函数在处取得极大值，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【典例4】设三次函数的导函数为，函数的部分图象如下图所示，则（ ） A．的极大值为，极小值为 B．的极大值为，极小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极大值为，极小值为 【针对练习4】已知函数()的图象如下图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、一元三次函数的图象与性质 由三次函数，得． （1）当时，①若，则方程有两不等实根，设为，此时在上为减函数，在和上都是增函数，方程可能有根或根或根． ②若，则方程有两个相等实根，设为，有，此时在上为增函数，方程只有根． ③若，则方程有无实根，此时在上为增函数， 方程只有根． (2)当时， ①若，则方程有两个不等实根，设为，此时在上为增函数，在和上都是减函数，方程可能有根或根或根． ②若，则方程有两个相等实根，设为，有，此时在上为减函数，方程只有根． ③若，则方程有无实根，此时在上为减函数， 方程只有根． 规律：（1）函数的图象为中心对称图形； （2）必有实根（1－3个）． 【典例5】已知和是函数的两个极值点，求和的值． 【针对练习5-1】已知函数恰有三个单调区间，求实数的取值范围. 【针对练习5-2】如图，某飞行器在千米高空水平飞行， 从距着陆点水平距离千米的处开始下降，已知下降飞 行轨迹为某三次函数图象的部分，则该函数的解析式为 . 【针对练习5-3】如图是函数的大致图象，则 ． 【针对练习5-4】已知，下列命题中错误的是（ ） （A）， （B）的图象是中心对称图形 （C）若是的极小值点，则在上单调递减 （D）若是的极值点，则 【针对练习5-5】已知函数，则下列情况不可能出现的是（ ） A．有两个极值点，且极大值点大于极小值点 B．有两个极值点，且极大值点小于极小值点 C．有且只有一个极值点 D．无极值点 【针对练习5-6】设和是函数的两个极值点，则________． 【针对练习5-7】已知函数，若时，有极大值，求实数的值． 【针对练习5-8】若函数有极大值和极小值，则的取值范围为（ ） A． B． C．或 D．或 【针对练习5-9】设的导数满足，，其中常数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求函数的极值． 三、最值问题 【典例6】已知函数在处取得极值为. （1）求的值；（2）若有极大值，求在上的最小值. 【针对练习6-1】函数在区间上的最大值为 ． 【针对练习6-2】函数的最大值为 ． 【针对练习6-3】已知函数，求在区间上的最大值与最小值. 【针对练习6-4】已知函数．如果是的一个极值点，求：（1）实数的值；（2）的最大值． 【针对练习6-5】已知函数，求在上的最大值和最小值． 【针对练习6-6】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-7】若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 四、极值与最值的应用 【典例7】若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【针对练习7-1】若在上递减，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【针对练习7-2】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若在上为增函数，求实数的取值范围． 【针对练习7-3】已知函数，． （1）若，证明没有零点；（2）若恒成立，求的取值范围． 【针对练习7-4】若对任意正实数，恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 导数 第3节 利用导数研究函数的极值与最值 一、极值的概念与基本的处理方法 1．定义：当函数在点处连续，且在区间内可导， （1）如果在附近的左侧，且右侧，则是的极大值； （2）如果在附近的左侧，且右侧，则是的极小值． 若为的极值点，若存在，则． 2．求极值（点）的步骤：（1）求；（2）令，得（可能为极值点）；（3）判断在附近左右两侧的符号，①若左正右负，则在处取得极大值；②若为左负右正，则在处取得极小值． 注：可导函数的极值（或极值点）存在的条件： （1）在附近左右两侧异号；（2）存在，使． 【典例1】下列命题中正确的是（ ） A．函数有两个极值点 B．函数有两个极值点 C．函数有且只有个极值点 D．函数无极值点 【答案】A 【解析】对于A，由，得，或时，，递减，得时，，递增，所以原函数在有极大值，在处有极小值，故A正确； 对于B，由，得，令，则，所以，所以无极值，故B错误； 对于C，，所以无极值，故C错误； 对于D，，当时，，当时，，所以在处有极小值，故D错误． 故选A． 【针对练习1-1】设函数，则（ ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】D 【解析】，当时，，当时，，所以为的极小值点．故选D． 【针对练习1-2】已知函数，则（ ） A．为的极小值点 B．为的极大值点 C．为的极小值点 D．为的极大值点 【答案】C 【解析】由，得．当时，，所以为增函数；当时，，所以为减函数，所以在处取得极小值，即为的极小值点．故选C． 【针对练习1-3】已知函数，则（ ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极小值 D．有极大值 【答案】D 【解析】，当时，，递增；当时，，递减；当时，，递减；当时，，递增，所以在处有极小值，在处有极大值． 故选D． 【典例2】求函数的极小值． 【答案】 【解析】，当时，，递增；当时，，递减，所以的极小值为． 【针对练习2-1】求函数的极值点，并指明是极大值点还是极小值点． 【解析】，当时，，递增；当时，，递减，所以的极大值点为． 【针对练习2-2】已知函数，则的极大值是________． 【答案】 【解析】，当时，，递减；当时，，递增，所以的极大值是． 【针对练习2-3】函数的极值点为 ． 【答案】极小值点为 【解析】，令，得，递增；令，得，递减，所以的极小值点为． 【针对练习2-4】求函数的极小值和极大值． 【解析】由，得．当时，，所以递减；当时，，所以递增；当时，，所以递减，所以当时，的极大值为，极小值为． 【针对练习2-5】函数的极小值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【解析】由，得， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以的极小值为．故选B． 【针对练习2-6】已知函数，且，求的值及的极 小值． 【解析】，由，得，所以，从而，由的符号知，的极小值为． 【针对练习2-7】求函数的极小值． 【解析】．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极小值． 【针对练习2-8】已知函数，求的极大值. 【解析】，令，则，或．当时，得，单调递增；当时，得，单调递减；当时，得，单调递增．故在处有极大值． 【针对练习2-9】（2024年甲卷）已知函数． （1）当时，求的极值；（2）略． 【解析】（1）当 时，，，， 当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，无极大值． 【典例3】已知函数在处有极大值，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，由题意知，，得或． 当时，，得或，当，得或，，得，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，所以是极小值，故， 当时，，得或，当，得或，，得，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，所以是极大值，故． 故选C． 【针对练习3-1】若函数在处取得极大值，求实数的值． 【解析】，由，得所以，当时，，递减；当时，，递增，所以在处取得极大值． 【针对练习3-2】已知函数(，且)． （1）求函数的单调递增区间；（2）当时，的极大值为，求的值． 【解析】（1），当时，令，得，所以，的递增区间为；当时，令，得，所以，或，所以的递增区间为和． （2）当时，的极大值为，解得． 【针对练习3-3】已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以当时，则有，因为在区间内有极大值，但无极小值，结合正弦函数的图象， 得，解得．故选D． 【针对练习3-4】已知函数有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得有变号零点，有两个不同的实数根，所以 或，所以满足题意的的取值范围是．故选C． 【针对练习3-6】若函数在处取得极大值，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】将原函数求导得，因函数在处取得极大值，则，解得或．当时，． 令，得或；令，得．所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，满足题意． 当时，．令，得或；令，得．所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，不满足题意，故．故选B． 【典例4】设三次函数的导函数为，函数的部分图象如下图所示，则（ ） A．的极大值为，极小值为 B．的极大值为，极小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极大值为，极小值为 【答案】C 【解析】由的图象知：当时，，得，所以递减；当时，，得，所以递增；当时，，得，所以递增；当时，，得，所以递减． 综上知，有极大值，极小值．故选C． 【针对练习4】已知函数()的图象如下图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，递减，所以，所以，故； 当时，递增，所以，所以，故； 当时，递减，所以，所以，无实数解． 故选A． 二、一元三次函数的图象与性质 由三次函数，得． （1）当时，①若，则方程有两不等实根，设为，此时在上为减函数，在和上都是增函数，方程可能有根或根或根． ②若，则方程有两个相等实根，设为，有，此时在上为增函数，方程只有根． ③若，则方程有无实根，此时在上为增函数， 方程只有根． (2)当时， ①若，则方程有两个不等实根，设为，此时在上为增函数，在和上都是减函数，方程可能有根或根或根． ②若，则方程有两个相等实根，设为，有，此时在上为减函数，方程只有根． ③若，则方程有无实根，此时在上为减函数， 方程只有根． 规律：（1）函数的图象为中心对称图形； （2）必有实根（1－3个）． 【典例5】已知和是函数的两个极值点，求和的值． 【解析】，令，由韦达定理，得故，． 【针对练习5-1】已知函数恰有三个单调区间，求实数的取值范围. 【解析】，令，因为函数恰有三个单调区间，所以即解得． 【针对练习5-2】如图，某飞行器在千米高空水平飞行， 从距着陆点水平距离千米的处开始下降，已知下降飞 行轨迹为某三次函数图象的部分，则该函数的解析式为 . 【解析】由图象过原点和知，解得由，得，则，由韦达定理，得得，联立与，得故函数的解析式为． 【针对练习5-3】如图是函数的大致图象，则 ． 【答案】 【解析】由图知即解得 所以，因为，是的两个极值点，所以，是方程的两个实根，由根与系数的关系，得，，所以． 【针对练习5-4】已知，下列命题中错误的是（ ） （A）， （B）的图象是中心对称图形 （C）若是的极小值点，则在上单调递减 （D）若是的极值点，则 【答案】C 【解析】对于A，由于的图象与轴必有公共点，故，，故A正确． 对于B，易知，三次函数的图象是中心对称图形，故B正确． 对于C，，因为是的极小值点，所以必有极大值点，设为，则在上单调递增，在上单调递减，所以在上无单调性，故C错误． 对于D，由极值的定义知，若是的极值点，则．故选C． 【针对练习5-5】已知函数，则下列情况不可能出现的是（ ） A．有两个极值点，且极大值点大于极小值点 B．有两个极值点，且极大值点小于极小值点 C．有且只有一个极值点 D．无极值点 【答案】C 【解析】由，得，令． ①当时，设该方程的两根分别为，，且． 若，由的符号知，在上递增，在上递减，在上递增，则为极大值点，为极小值点，则极大值点小于极小值点，故B可能出现； 若，由的符号知，在上递减，在上递增，在上递减，则为极小值点，为极大值点，则极大值点大于极小值点，故A可能出现． ②当时，若，，当且仅当时，，所以递增，无极值点；若，，当且仅当时，，所以递减，无极值点．故D可能出现．故选C． 【针对练习5-6】设和是函数的两个极值点，则________． 【答案】 【解析】，由得所以． 【针对练习5-7】已知函数，若时，有极大值，求实数的值． 【解析】由得解得 【针对练习5-8】若函数有极大值和极小值，则的取值范围为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】令，由，得或．故选D． 【针对练习5-9】设的导数满足，，其中常数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求函数的极值． 【解析】（1），，， ，，，，， ，即． （2），，由的符号知，的极大值为，极小值为． 三、最值问题 【典例6】已知函数在处取得极值为. （1）求的值；（2）若有极大值，求在上的最小值. 【解析】（1），由得 （2），，，，，，，，所以在上的最小值为． 【针对练习6-1】函数在区间上的最大值为 ． 【答案】 【解析】，，． 【针对练习6-2】函数的最大值为 ． 【答案】【解析】，由的符号知，． 【针对练习6-3】已知函数，求在区间上的最大值与最小值. 【解析】，，又，，所以． 【针对练习6-4】已知函数．如果是的一个极值点，求：（1）实数的值；（2）的最大值． 【解析】（1），． （2），，的最大值为． 【针对练习6-5】已知函数，求在上的最大值和最小值． 【解析】，，又，，所以． 【针对练习6-6】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】，令，解得： 或，令，解得： ，∴函数在和上递增，在上递减，∴的极大值为 ，的极小值为，又，，故所求最大值为．故选B． 【针对练习6-7】若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得或，易知在处取得极小值，在处取得极大值．令，得或，令，得或，由题意知在内的最大、最小值只能在和处取得．结合的图象得解得，故的取值范围是．故选A． 四、极值与最值的应用 【典例7】若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【解析】，，，所以． 【针对练习7-1】若在上递减，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】，令，则，．故选C． 【针对练习7-2】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若在上为增函数，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，得， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得，，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）因为函数在上为增函数，所以在上恒成立．即在上恒成立．令，当时，，所以在上单调递增，．所以，解得，所以实数的取值范围为． 【针对练习7-3】已知函数，． （1）若，证明没有零点；（2）若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1），，，所以没有零点． （2），令，则， ，所以，即的取值范围是． 【针对练习7-4】若对任意正实数，恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】令，，则，令．若时，若时，，可知函数在递减，在递增，所以，由对任意实数恒成立，所以．故选A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $