专题13.1 三角形的概念 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形的概念这一核心知识点，系统梳理三角形的定义及基本元素（顶点、边、内角、表示方法、对边对角关系），按边（三边不等、等腰、等边）和按角（锐角、直角、钝角）的分类标准，以及复杂图形计数的定点法、定边法，构建从基础概念到分类再到应用的学习支架。 资料亮点在于分层题型设计，基础题型通过定义辨析、元素识别培养几何直观，培优题型借助分类辨析、动态问题提升推理意识，压轴题型以复杂计数、动点探究发展创新意识。易错点与重点总结助力课中教学高效开展，课后学生可通过练习查漏补缺，强化数学思维与应用能力。

专题13.1 三角形的概念 知识点1：三角形的定义及其基本元素 　　1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，三个条件缺一不可。 　　2、三角形基本元素：包含3个顶点、3条边、3个内角。顶点为相邻两边的公共端点；边是组成三角形的三条线段；内角是相邻两边组成的角。 　　3、表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作，读作“三角形ABC”；顶点字母顺序可以调换。 　　4、对边与对角对应关系：的对边是BC，也可用小写字母a表示；的对边是AC，用b表示；的对边是AB，用c表示。 知识点2：三角形的分类 　　1、按边的长短关系分类 类别 定义 补充说明 图例 三边都不相等的三角形 三条边长度全部互不相等 无相等边 等腰三角形 有两条边相等的三角形 相等两边叫腰，剩余边叫底边；两腰夹角是顶角，腰和底边夹角是底角 等边三角形 三条边全部相等的三角形 等边三角形属于特殊的等腰三角形，不是独立类别 　　2、按内角大小分类 类别 判定依据 特征说明 图例 锐角三角形 三个内角全部是锐角 最大内角小于 直角三角形 有一个内角是直角 两个锐角互余 钝角三角形 有一个内角是钝角 最大内角大于小于 　　3、分类注意事项：分类必须选定单一分类标准；同一个三角形可以同时符合两种分类，例如等腰直角三角形，按边属于等腰三角形，按角属于直角三角形。 知识点3：复杂图形中识别三角形的计数方法 　　1、定点法：固定一个顶点，依次变换另外两个顶点，按顺序枚举，避免重复、漏数。 　　2、定边法：选定一条公共边，再寻找第三个顶点，统计能够组成三角形的组合。 　　3、图形形成顺序法：顺着线段添加的先后顺序逐个查找。 【基础必考题型】 【题型1】三角形定义辨析 1.核心知识点 　　三角形的定义三个必要条件：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接。 　　能够识别不符合定义的错误图形。 2.解题方法技巧 　　1.逐项核对定义三要素，任意一条不满足就不是三角形。 2.重点排查三点共线、线段没有首尾相接两类典型错误。 【例题1】.（2026八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 【变式题1-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【详解】解：A项：选项中是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，不符合题意； B项：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，不符合题意； C项：3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，符合题意； D项：有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，不符合题意． 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 【题型2】识别三角形的边、角、顶点 1.核心知识点 　　三角形顶点、边、内角、对边、对角的概念。 　　三角形符号的规范使用。 2.解题方法技巧 　　1.读题看清指定三角形，限定在该图形内部找边与角。 2.区分“对边”和“邻边”，明确角的对边不经过该角顶点。 【例题2】.（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·云南曲靖·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·全国·课前预习）如图，图中有________个三角形，以为边的三角形有________；在中，的对边是________；在中，的对边是________；在中，边的对角是________． 【答案】 3 【分析】利用三角形的定义以及三角形有关的角和边分别得出即可． 【详解】解：图中有3个三角形，以为边的三角形有；在中，的对边是；在中，的对边是；在中，边的对角是． 【题型3】简单图形中三角形计数 1.核心知识点 　　三角形的概念，定点法、定边法基础计数思路。 2.解题方法技巧 　　1.优先使用定边或者定点法，按照一定顺序列举。 2.数完之后标记，杜绝重复计数、遗漏。 【例题3】.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的定义．解题关键在于准确识别图中由三条线段首尾顺次连接所构成的封闭图形．按照一定的顺序（例如从小到大或从左到右等）去找出图中所有符合三角形定义的图形，然后统计其数量即可． 【详解】解：图中的三角形有、、，共个， 故选：C． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点为顶点的三角形有，，共2个． 故选：B． 【培优高频题型】 【题型4】按边对三角形分类辨析 1.核心知识点 　　按边分类体系，理解等边三角形是特殊等腰三角形的包含关系。 　　等腰三角形腰、底边、顶角、底角概念。 2.解题方法技巧 　　1.判断概念正误，重点看分类是否为并列还是包含关系。 2.有两条边相等即可判定等腰，不需要关注底边长短。 【例题4】.（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，这个三角形是（    ）    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三边都不相等的三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据已知三角形判断即可． 【详解】解：由图可知，这个三角形是三边都不相等的三角形． 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在练习本上画出： (1)等腰锐角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰钝角三角形． 【答案】(1)解：满足“有两条边相等，三个内角均为锐角”的三角形即可， 如图：中，，都为锐角． (2)满足“有两条边相等，有一个内角为直角”的三角形即可， 如图：中，，． (3)满足“有两条边相等，有一个内角为钝角”的三角形即可， 如图：中，，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键． 将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 【详解】解：将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选：A． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·宁夏固原·开学考试）一个三角形的三条边长度和为，三条边长度之比是，这个三角形最长边是___________．按边分类，它是___________三角形． 【答案】 等腰 【分析】已知三角形三边总长为，三边长度比为，根据比例求出最长边长度，再根据边的相等关系判断三角形类型． 【详解】解：三边长度比为，总份数为，最长边占总长的比例为，因此最长边长度为，观察边长比可知，该三角形有两条边长度相等，因此按边分类，它是等腰三角形． 【题型5】按角对三角形分类辨析 1.核心知识点 　　锐角、直角、钝角三角形定义；判断类型看最大内角。 2.解题方法技巧 　　1.找最大内角，最大角是锐角即为锐角三角形，直角对应直角三角形，钝角对应钝角三角形。 2.只看到一个锐角，无法判定整体三角形类型。 【例题5】.（25-26七年级下·上海·期末）在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）若一个三角形中有一个角为，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形角的大小即可得到结论． 【详解】解：∵一个三角形中有一个角为， ∴这个三角形一定是钝角三角形． 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）已知的三个内角之比，求三个内角的度数，并判断的形状． 【答案】，，，是钝角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意设，，，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，得到三个内角的度数，由即可得出的形状． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∵， ∴是钝角三角形． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，两个含角的三角尺拼成的三角形是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【分析】本题考查了三角尺和三角形按角分类，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出拼成的三角形的三个内角度数，再判断即可． 【详解】解：如图，两个含角的三角尺拼成的三角形的三个内角分别为， ∴该三角形为锐角三角形， 故答案为：锐角． 【题型6】残缺条件判断三角形类型 1.核心知识点 　　结合露出部分角度、边长片段，推理完整三角形可能的类别。 　　分类讨论推理思想。 2.解题方法技巧 　　1.仅露出一个锐角：三种三角形都有可能；露出直角则必为直角三角形；露出钝角必为钝角三角形。 2.把所有可能性全部列举，不能只写一种情况。 【例题6】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键．根据三角形的内角和定理和三角形的分类逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为锐角三角形，该项正确，不符合题意； B． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为钝角三角形，该项正确，不符合题意； C．等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，该项错误，符合题意． D． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为等腰直角三角形，该项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式题6-1】.（25-26六年级上·山东淄博·开学考试）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、可以判断是直角三角形，故A不符合题意； B、可以判断是锐角三角形，故B不符合题意； C、不能判断出三角形的类型，故C符合题意； D、可以判断是钝角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河北保定·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形的类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形按角分类的定义（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），结合图形中露出的角的特征进行判断即可． 【详解】解：A、图中漏出的两个角均为锐角，且两角的度数之和大于90度，则该三角形是锐角三角形，故此选项不符合题意； B、漏出的那个角是钝角，则该三角形是钝角三角形，故此选项不符合题意； C、漏出的那个角是直角，则该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、漏出的那个角是锐角，无法确定其他两个角的度数，则无法判断该三角形的类型，故此选项符合题意． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 【压轴素养题型】 【题型7】复杂几何图形三角形计数 1.核心知识点 　　熟练定点法、定边法，在多线段交错的复杂图形中完成计数。 　　公共边、公共顶点的识别。 2.解题方法技巧 　　1.优先固定一条边，遍历全部第三个顶点；再更换下一条边。 2.列举出所有三角形符号，通过列举核对个数，不要单纯凭肉眼估算。 【例题7】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）下图中有_________个三角形． 【答案】 【分析】先确定公共顶点三角形的个数，然后再确定线段交叉的三角形个数，二者相加即可求出． 【详解】解：以最上方顶点为公共顶点的三角形，分为两层，如下： 上层：， 下层：． 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 图中三角形的个数为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个； 所以一共可以组成三角形的个数为个， 故选：B． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查了三角形的定义； （1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再、、、中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【详解】（1）解：其中以为一边可以画出3个三角形为： 故答案为：． （2）其中以为顶点可以画出6个三角形为：， 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了图形的规律探究，通过图形变化归纳总结规律是解决问题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可； （3）总结图形规律，由图形个数与三角形端点个数相关即可求解． 【详解】（1）解：根据图像中可得三角形有：，共有三个． 故答案为：3． （2）解：根据图像中可得三角形有：，共有六个． 故答案为：6． （3）解：由（1）得，当上有一个点时，三角形的个数为：； 由（2）得，当上有两个点时，三角形的个数为：； ∴当上有个点时，三角形的个数为：． 故答案为：． 【题型8】动态动点探究三角形类别变化 1.核心知识点 　　点在射线上移动，观察三角形内角动态改变，三角形类型随之改变。 　　动态几何、分类讨论。 2.解题方法技巧 　　1.想象或者画出动点移动过程的若干关键位置。 2.抓住什么时候出现直角、什么时候出现钝角，依次判断三角形类别切换顺序。 【例题8】.（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可； 【详解】解：设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． ∵， ∴当第一次能形成等腰三角形时，． 由题意，，； ∴， 当时，，解得秒． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度； (2)当时，求的面积； (3)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3)时，为等腰直角三角形 【分析】（1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段； （2）由为直角三角形，再利用面积公式求解； （3）根据题意，再列式求解． 【详解】（1）解：∵点P速度为，运动t秒，，， ∴， 点Q速度为，运动t秒， ∴； （2）解：当时，， 为直角三角形，面积= （cm²）； （3）解：∵长方形中，， ∴为等腰直角三角形时，，即 解得：； 验证：时，，符合题意． 【变式题8-2】.（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)0.9或2.4或3.6 【分析】（1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知，进而可知，根据列方程求解即可； （4）分为点P在上、点P在上当点P在上时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是_____________． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设运动的时间为x秒，由题意可得，，，从而可得一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设运动的时间为x秒， 由题意可得：，，， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 易错点 1、忽略三角形定义的前提条件，忘记“不在同一条直线上”，误认为任意三条线段都可以组成三角形。 2、混淆等边三角形与等腰三角形关系，错误把二者处理成并列关系，不理解等边是特殊的等腰三角形。 3、三角形计数容易重复或者漏数，复杂图形不使用定点/定边有序枚举，仅凭肉眼直接数。 4、三角形分类标准混用，同时使用边、角两套标准做同一套分类；只看到一个锐角就直接判定是锐角三角形。 5、混淆对边、邻边概念，在复杂图形找某一个角的对边时出现识别错误。 重点 1、掌握三角形的定义、符号表示、顶点边角等基础元素，可以在图形中准确识别对边、对角。 2、掌握两套独立的三角形分类标准：按边分类、按角分类，分清等边三角形和等腰三角形的包含关系。 3、掌握三角形有序计数的两种方法：定点法、定边法，完成简单、中等复杂图形三角形计数。 4、会根据角度信息正确判断三角形类型，抓住看最大内角这一判断核心。 难点 1、复杂交错图形中三角形计数，容易发生重复、遗漏，需要养成有序枚举的习惯。 2、残缺条件、动态动点题目，需要分类讨论，完整写出所有可能性，容易思考不全。 3、区分两套分类标准，理解同一个三角形可以同时满足按边、按角的不同类别，处理概念辨析判断题。 4、网格、新定义探究题型，需要把陌生情境转化为课本基础概念，对几何直观、推理能力要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 2．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据题意可得B区域是至少有两条边相等的三角形，再结合等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：等边三角形一定是锐角三角形，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，等边三角形一定是等腰三角形， 根据题意可得，B区域包含A区域，且B区域是至少有两条边相等的三角形， ∴A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形， 故选：D． 3．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 二、填空题 4．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 5．已知的一个角的度数为另外两个角度数的和，这个三角形为_____________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据三角形内角和等于列出等量关系．根据三角形内角和定理，设一个角等于另外两个角的和，代入内角和公式，得出该角为，从而确定三角形类型． 【详解】解：设的三个内角分别为，，，且， 由三角形内角和定理，得， 将代入，得， 即， 所以， 因此， 故为直角三角形， 故答案为：直角． 6．如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 【答案】5 【分析】的面积底高，所以确定的点，只要满足的面积为即可，这样的点有个． 【详解】解：满足条件的点有个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 三、解答题 7．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 【答案】(1)6；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到锐角三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形，然后可以找到边所对的角； 【详解】（1）解：由图可知， 图中三角形有，，，，，， ∴图中有6个三角形， ∵，， ∴， ∴图中直角三角形有，，，，共4个， 故答案为：6；4； （2）解：观察图形可得：为钝角三角形，，，，为直角三角形， ∴锐角三角形是， 故答案为：； （3）解：由图可知，线段所在的三角形是， ∴边所对的角是； 故答案为：． 8．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 【答案】等腰三角形三边长分别为，， 【分析】设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个等腰三角形三边长分别为，，． 9．如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【答案】(1) 解：所画三角形如图所示， ，，，，，，，，， (2)，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． （1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可； （2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可． 【详解】（1）图略 三角形有：，，，，，，，，， （2）解：属于等腰三角形的是，，， 故答案为：，，． 10．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 【答案】(1)腰长为； (2)底边长为或． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； （2）设腰长为，分①当时，②当时，两种情况讨论，然后得出底边长度． 【详解】（1）解：设底边为，则腰为， 由题意得， 解得， 腰长为； （2）解：设腰长为， ①当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； ②当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； 综上所述：底边长为或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 三角形的概念 知识点1：三角形的定义及其基本元素 　　1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，三个条件缺一不可。 　　2、三角形基本元素：包含3个顶点、3条边、3个内角。顶点为相邻两边的公共端点；边是组成三角形的三条线段；内角是相邻两边组成的角。 　　3、表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作，读作“三角形ABC”；顶点字母顺序可以调换。 　　4、对边与对角对应关系：的对边是BC，也可用小写字母a表示；的对边是AC，用b表示；的对边是AB，用c表示。 知识点2：三角形的分类 　　1、按边的长短关系分类 类别 定义 补充说明 图例 三边都不相等的三角形 三条边长度全部互不相等 无相等边 等腰三角形 有两条边相等的三角形 相等两边叫腰，剩余边叫底边；两腰夹角是顶角，腰和底边夹角是底角 等边三角形 三条边全部相等的三角形 等边三角形属于特殊的等腰三角形，不是独立类别 　　2、按内角大小分类 类别 判定依据 特征说明 图例 锐角三角形 三个内角全部是锐角 最大内角小于 直角三角形 有一个内角是直角 两个锐角互余 钝角三角形 有一个内角是钝角 最大内角大于小于 　　3、分类注意事项：分类必须选定单一分类标准；同一个三角形可以同时符合两种分类，例如等腰直角三角形，按边属于等腰三角形，按角属于直角三角形。 知识点3：复杂图形中识别三角形的计数方法 　　1、定点法：固定一个顶点，依次变换另外两个顶点，按顺序枚举，避免重复、漏数。 　　2、定边法：选定一条公共边，再寻找第三个顶点，统计能够组成三角形的组合。 　　3、图形形成顺序法：顺着线段添加的先后顺序逐个查找。 【基础必考题型】 【题型1】三角形定义辨析 1.核心知识点 　　三角形的定义三个必要条件：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接。 　　能够识别不符合定义的错误图形。 2.解题方法技巧 　　1.逐项核对定义三要素，任意一条不满足就不是三角形。 2.重点排查三点共线、线段没有首尾相接两类典型错误。 【例题1】.（2026八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【题型2】识别三角形的边、角、顶点 1.核心知识点 　　三角形顶点、边、内角、对边、对角的概念。 　　三角形符号的规范使用。 2.解题方法技巧 　　1.读题看清指定三角形，限定在该图形内部找边与角。 2.区分“对边”和“邻边”，明确角的对边不经过该角顶点。 【例题2】.（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式题2-2】.（25-26八年级上·云南曲靖·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·全国·课前预习）如图，图中有________个三角形，以为边的三角形有________；在中，的对边是________；在中，的对边是________；在中，边的对角是________． 【题型3】简单图形中三角形计数 1.核心知识点 　　三角形的概念，定点法、定边法基础计数思路。 2.解题方法技巧 　　1.优先使用定边或者定点法，按照一定顺序列举。 2.数完之后标记，杜绝重复计数、遗漏。 【例题3】.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【变式题3-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-3】.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【培优高频题型】 【题型4】按边对三角形分类辨析 1.核心知识点 　　按边分类体系，理解等边三角形是特殊等腰三角形的包含关系。 　　等腰三角形腰、底边、顶角、底角概念。 2.解题方法技巧 　　1.判断概念正误，重点看分类是否为并列还是包含关系。 2.有两条边相等即可判定等腰，不需要关注底边长短。 【例题4】.（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，这个三角形是（    ）    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三边都不相等的三角形 D．直角三角形 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在练习本上画出： (1)等腰锐角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰钝角三角形． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·宁夏固原·开学考试）一个三角形的三条边长度和为，三条边长度之比是，这个三角形最长边是___________．按边分类，它是___________三角形． 【题型5】按角对三角形分类辨析 1.核心知识点 　　锐角、直角、钝角三角形定义；判断类型看最大内角。 2.解题方法技巧 　　1.找最大内角，最大角是锐角即为锐角三角形，直角对应直角三角形，钝角对应钝角三角形。 2.只看到一个锐角，无法判定整体三角形类型。 【例题5】.（25-26七年级下·上海·期末）在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）若一个三角形中有一个角为，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式题5-2】.（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）已知的三个内角之比，求三个内角的度数，并判断的形状． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，两个含角的三角尺拼成的三角形是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【题型6】残缺条件判断三角形类型 1.核心知识点 　　结合露出部分角度、边长片段，推理完整三角形可能的类别。 　　分类讨论推理思想。 2.解题方法技巧 　　1.仅露出一个锐角：三种三角形都有可能；露出直角则必为直角三角形；露出钝角必为钝角三角形。 2.把所有可能性全部列举，不能只写一种情况。 【例题6】.（25-26八年级上·河北廊坊·期中）将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式题6-1】.（25-26六年级上·山东淄博·开学考试）下面给出的四个三角形都有一部分被长方形纸片遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·河北保定·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形的类型的是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【压轴素养题型】 【题型7】复杂几何图形三角形计数 1.核心知识点 　　熟练定点法、定边法，在多线段交错的复杂图形中完成计数。 　　公共边、公共顶点的识别。 2.解题方法技巧 　　1.优先固定一条边，遍历全部第三个顶点；再更换下一条边。 2.列举出所有三角形符号，通过列举核对个数，不要单纯凭肉眼估算。 【例题7】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）下图中有_________个三角形． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【变式题7-2】.（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 【题型8】动态动点探究三角形类别变化 1.核心知识点 　　点在射线上移动，观察三角形内角动态改变，三角形类型随之改变。 　　动态几何、分类讨论。 2.解题方法技巧 　　1.想象或者画出动点移动过程的若干关键位置。 2.抓住什么时候出现直角、什么时候出现钝角，依次判断三角形类别切换顺序。 【例题8】.（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【变式题8-1】.（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度； (2)当时，求的面积； (3)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【变式题8-2】.（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，点M从点A出发以每秒的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是_____________． 易错点 1、忽略三角形定义的前提条件，忘记“不在同一条直线上”，误认为任意三条线段都可以组成三角形。 2、混淆等边三角形与等腰三角形关系，错误把二者处理成并列关系，不理解等边是特殊的等腰三角形。 3、三角形计数容易重复或者漏数，复杂图形不使用定点/定边有序枚举，仅凭肉眼直接数。 4、三角形分类标准混用，同时使用边、角两套标准做同一套分类；只看到一个锐角就直接判定是锐角三角形。 5、混淆对边、邻边概念，在复杂图形找某一个角的对边时出现识别错误。 重点 1、掌握三角形的定义、符号表示、顶点边角等基础元素，可以在图形中准确识别对边、对角。 2、掌握两套独立的三角形分类标准：按边分类、按角分类，分清等边三角形和等腰三角形的包含关系。 3、掌握三角形有序计数的两种方法：定点法、定边法，完成简单、中等复杂图形三角形计数。 4、会根据角度信息正确判断三角形类型，抓住看最大内角这一判断核心。 难点 1、复杂交错图形中三角形计数，容易发生重复、遗漏，需要养成有序枚举的习惯。 2、残缺条件、动态动点题目，需要分类讨论，完整写出所有可能性，容易思考不全。 3、区分两套分类标准，理解同一个三角形可以同时满足按边、按角的不同类别，处理概念辨析判断题。 4、网格、新定义探究题型，需要把陌生情境转化为课本基础概念，对几何直观、推理能力要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 2．如图表示三角形的分类，关于A，B两个区域的说法，正确的是（   ） A．A区域是等边三角形，B区域是锐角三角形 B．A区域是锐角三角形，B区域是钝角三角形 C．A区域是等腰三角形，B区域是等边三角形 D．A区域是等边三角形，B区域是等腰三角形 3．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 4．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 5．已知的一个角的度数为另外两个角度数的和，这个三角形为_____________三角形． 6．如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 三、解答题 7．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 8．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 9．如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 10．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $