专题13.1 三角形的概念【导图+知识卡片+知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题】-2026-2027学年人教版数学八年级上册同步讲义

本讲义聚焦三角形的概念这一核心知识点，系统梳理三角形的定义、基本元素（边、顶点、角）及表示方法，深入讲解按边分类（含等腰三角形与等边三角形的关系），构建从知识梳理到题型讲练再到中考真题及分层训练的完整学习支架。 资料以思维导图直观呈现知识结构培养几何直观（数学眼光），通过4个题型的典例精讲与变式训练发展推理意识（数学思维），结合中考真题和难度分层练帮助学生用数学语言解决实际问题（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后学生可分层练习查漏补缺，强化知识应用。

专题13.1 三角形的概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【人教版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 三角形的概念 2 知识点二 三角形的分类 3 题型讲练 3 题型一 三角形的识别与有关概念 3 题型二 三角形的个数问题 5 题型三 三角形的分类 7 题型四 等腰三角形的定义 9 中考真题演练 10 难度分层训练 15 【基础夯实】 15 【培优拔高】 24 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 题型一 三角形的识别与有关概念 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 【变式训练3】（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 题型二 三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西百色·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 【变式训练3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角. 题型三 三角形的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式训练3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 题型四 等腰三角形的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【答案】等腰 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【变式训练3】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 【真题演练1】（2025·吉林长春·中考真题）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点B，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当时，以点A为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当时，以点O为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个， ， 故选：D． 【真题演练2】（2025·湖南邵阳·中考真题）在下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则 C．两个锐角的和是钝角 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的真假熟知对顶角、等式的性质、锐角和钝角、等腰三角形的定义是，解题的关键． 根据对顶角、等式的性质、锐角和钝角、等腰三角形的定义依次判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意； B、若且，则，若,则原命题错误，不符合题意； C、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，原命题错误，不符合题意； D、有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意． 故选D． 【真题演练3】（2025·云南昆明·中考真题）如图，钝角中，，，，过三角形一个顶点的一条直线可将分成两个三角形，若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有______条． 【答案】7 【分析】分别以A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得答案． 【详解】解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个， ∴满足条件的直线有4条； 分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个， ∴满足条件的直线有3条， 综上可知满足条件的直线共有7条， 故选：C． 【真题演练4】（2025·江苏南京·中考真题）在中，，，，在边上有一点P，且是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，进行分类讨论，画出符合实际条件的图形即可． 【详解】解：当时，点P在上； 当时，点P在上或点P在上； 当时，点P在上； 综上：满足条件的点P的个数为4， 故答案为：4．    【真题演练5】（2025·广东东莞·中考真题）如图，在中，， ， ， ，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1，点开始从点沿方向运动，且速度为每秒2，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)__________；__________（用t的代数式表示）； (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)点在边上运动，连接，出发几秒后，能使形成以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) ， (2)当时，是等腰三角形 (3)或秒 【分析】（1）根据动点问题的速度乘以时间得到 ， ，由此得到； （2）当满足时，解一元一次方程即可； （3）分两种情况进行讨论，即或，分别求出的长，再求出t的值． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 解得， ∴当时，是等腰三角形； （3）依题意，是以或为底边的等腰三角形，即或， ①当时，， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴（秒）； ②当时，， ∴（秒）； 综上，当点在边上运动，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，的长为半径画圆，以B为圆心，的长为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与x轴的交点即为C点的位置． 【详解】解：∵， ∴； 如图所示，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 以点B为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 作线段的垂直平分线与x轴交于点（与原点重合），可构成等腰， 综上所述，一共有4个点C满足题意， 故选：C． 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【详解】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【详解】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 4．（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·吉林通化·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【答案】 或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 【答案】 8 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 7．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分和根据路程=速度×时间可求出的长即可得出的长； （2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论； （3）分和列方程求解即可； （4）根据题意得，结合的情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，，则； 当时，点P在上，， 综上， （2）解：∵在长方形中，，， ∴设， ∵点在上运动，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点在上运动，则， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得； （3）解：①时，当点P在上时，， 解得； ②当时，， 解得； 综上，可取或； （4）解：∵是点关于点的中心对称点， ∴点是的中点， ∴， 又 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，点P在上，， ， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 8．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键． （1）根据点，判断轴经过点，且右侧的点就是原点，建立坐标系即可； （2）先求出，分三种情况：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图的直角坐标系即为所求； （2） ，， ， 当时， 点的坐标为，即； 当时，， 点的坐标为，即； 当时，取格点，则，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或或． 9．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【答案】(1)图形见解析，，，，，，，，，， (2)，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． （1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可； （2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可． 【详解】（1）解：所画三角形如图所示， 三角形有：，，，，，，，，， （2）解：属于等腰三角形的是，，， 故答案为：，，． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江台州·期末）定义：平面直角坐标系中不重合两点，，把称为，的“垂直距”，记为，把称为，的“水平距”，记为，例如，，，此时，．现有两个命题：①；②对于三角形，若，，则不可能是锐角；以上命题中（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】本题考查新定义、两点之间，线段最短、三角形形状的判定， ①如图，设，，过点作轴，轴，过点作轴，轴，交于点，交于点，得到，，根据“两点之间，线段最短”得，即可得出结论； ②根据题意得出点在长方形内（含边界），分情况讨论即可， 理解和掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，过点作轴，轴，过点作轴，轴，交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴； 当点、重合时，， 综上所述，，故命题①是真命题； ∵，， ∴点在长方形内（含边界）， 当点与点或点重合时，； 当点与点或点重合时，三角形不存在； 当点在长方形内或边上时（顶点除外），； 综上所述，若，，则不可能是锐角，故命题②是真命题． 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为且，在x轴上确定一点P，使为等腰三角形．则符合题意的点P共（   ）有个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，分类画图解答即可． 本题考查了等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握定义和分类思想是解题的关键． 【详解】解：在x轴上使为等腰三角形的点P，如图即为所求； 时，有2个； 时，有1个； 时，有1个； 符合题意的点P共有4个， 故选：A 4．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，三角形的个数问题，是分层有序计数，归纳规律是解题的关键． 根据图形结构灵活选择分层，通过已知数据验证规律的合理性，最终得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了图形的规律探究，通过图形变化归纳总结规律是解决问题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可； （3）总结图形规律，由图形个数与三角形端点个数相关即可求解． 【详解】（1）解：根据图像中可得三角形有：，共有三个． 故答案为：3． （2）解：根据图像中可得三角形有：，共有六个． 故答案为：6． （3）解：由（1）得，当上有一个点时，三角形的个数为：； 由（2）得，当上有两个点时，三角形的个数为：； ∴当上有个点时，三角形的个数为：． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，图中共有_____个三角形． 【答案】116 【分析】本题考查组合图形的计数问题，分别找出最小三角形的个数，4个小三角形组成的三角形的个数，9个小三角形组成的三角形的个数，以及16个小三角形组成的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：图中1个小三角形个数为：． 4个小三角形组成的三角形的个数为：， 9个小三角形组成的三角形的个数为：， 16个小三角形组成的三角形的个数为：， 所以图中三角形的个数为：， 故答案为：116． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的两边长a，b满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】16或17 【分析】利用绝对值与平方的非负性求得、的值，再根据等腰三角形的性质讨论可能的边长组合，最后计算周长． 【详解】解：由题意，得解得 ①当腰长为5时， 所以能构成三角形，周长为； ②腰长为6时， 所以能构成三角形，周长为． 故该等腰三角形的周长为或． 故答案为：或． 8．（23-24八年级上·重庆万州·阶段检测）如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或 【分析】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想考虑问题． （1）先得出点运动的距离为:, 由,判断点在上，问题随之得解； （2） 先求出 ，分当点在上，和当点在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点运动的距离为: , 即有, 解得: ； 当是以为底边的等腰三角形时，过点作于点，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有,进而可得方程, 解方程即可求解． 【详解】（1）解：在中, ，, 根据运动的特点可知：点运动的距离为， ∵, ∴, 即点在上, ∴, ∴, 故答案为: ； （2）解：∵在中， , ， 当点在上, 如图， 的面积等于15 ， ， ， 解得：(秒)； 当点在上, 如图, 此时：点P运动的距离为： 的面积等于15 ， ， ， ， ， ， 解得：(秒)； 综上：经过 秒或秒, 的面积等于； （3） 解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有 ， ， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ， 解得： (秒)； 当 是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， ∵在等腰中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得：； 综上所述： 或． 9．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 【答案】(1)腰长为； (2)底边长为或． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； （2）设腰长为，分①当时，②当时，两种情况讨论，然后得出底边长度． 【详解】（1）解：设底边为，则腰为， 由题意得， 解得， 腰长为； （2）解：设腰长为， ①当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； ②当时，得， 腰长， 底边长为， 能构成三角形； 综上所述：底边长为或． 10．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，即可证明结论． 【详解】证明：， ，， 平分外角， ， ， ， 是等腰三角形． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题13.1 三角形的概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【人教版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 三角形的概念 2 知识点二 三角形的分类 3 题型讲练 3 题型一 三角形的识别与有关概念 3 题型二 三角形的个数问题 4 题型三 三角形的分类 5 题型四 等腰三角形的定义 6 中考真题演练 6 难度分层训练 7 【基础夯实】 7 【培优拔高】 10 知识点一 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点二 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 题型一 三角形的识别与有关概念 【典例精讲】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中， ，若的周长为，则______． 【变式训练2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，顶点F的对边是______． 题型二 三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南安阳·期末）图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【变式训练2】（25-26八年级上·广西百色·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 【变式训练3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 题型三 三角形的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式训练2】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【变式训练3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型四 等腰三角形的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【变式训练1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【变式训练3】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【真题演练1】（2025·吉林长春·中考真题）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【真题演练2】（2025·湖南邵阳·中考真题）在下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则 C．两个锐角的和是钝角 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形 【真题演练3】（2025·云南昆明·中考真题）如图，钝角中，，，，过三角形一个顶点的一条直线可将分成两个三角形，若分成的两个三角形中有一个三角形为等腰三角形，则这样的直线有______条． 【真题演练4】（2025·江苏南京·中考真题）在中，，，，在边上有一点P，且是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______． 【真题演练5】（2025·广东东莞·中考真题）如图，在中，， ， ， ，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1，点开始从点沿方向运动，且速度为每秒2，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)__________；__________（用t的代数式表示）； (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)点在边上运动，连接，出发几秒后，能使形成以为腰的等腰三角形？ 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 5．（25-26八年级上·吉林通化·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中有______个三角形；其中以为边的三角形有______；以为内角的三角形有______；在中，的对角是______，的对边是______． 7．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 8．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 9．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·浙江台州·期末）定义：平面直角坐标系中不重合两点，，把称为，的“垂直距”，记为，把称为，的“水平距”，记为，例如，，，此时，．现有两个命题：①；②对于三角形，若，，则不可能是锐角；以上命题中（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为且，在x轴上确定一点P，使为等腰三角形．则符合题意的点P共（   ）有个． A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 6．（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，图中共有_____个三角形． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的两边长a，b满足，求该等腰三角形的周长． 8．（23-24八年级上·重庆万州·阶段检测）如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 9．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 10．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $