精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三上学期第一次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第一次学科体验 考试时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集运算求解. 【详解】， 因为，所以. 故选:B. 2. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部. 【详解】因为，所以. 所以的虚部为. 3. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（ ） A. 7 B. 7或5 C. 10 D. 10或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中，，的关系求解即可. 【详解】因为焦距为2，所以. 当焦点在轴上，此时，且，解得； 当焦点在轴上，此时，且，解得. 综上，的值为7或5. 故选：B 4. 某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由运动路程与时间的关系为，可得， 当时，，即质点在时的瞬时速度为. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断每个数与0、1的大小关系，最后根据三个数的范围比较大小. 【详解】，对数函数是增函数，且，因此：，即； ，对数函数是减函数，且，因此：，即； ，指数函数是增函数，因此：，即； 综上，大小关系为. 6. 若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为2， 设圆心到直线ax﹣by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得， 解得d=0，即 直线ax﹣by+2=0经过圆心， ∴﹣a﹣2b+2=0， ∴a+b=1， ∴（）（a+b）=+1++≥+2=+，当且仅当a=b时等号成立， 故式子的最小值为+. 故选C． 7. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【详解】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 8. 记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推思想,设 为 为奇数的概率,根据 的取值对 奇偶性的影响建立递推关系,再通过构造等比数列求出 的通项,代入 即可得概率. 【详解】记事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为． 当为奇数时，若，则仍然为奇数. 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，整理可得． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，故是奇数的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ） A. 这组数据的众数是56 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的60%分位数是55 D. 去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，即可得众数与极差，对于C，由百分位数计算方法即可求解，对于D，先求出这组数据的平均数为54，且第5年的数据为54，由方差的计算公式可知，去掉第5年的数据后方差变大，故D错误. 【详解】将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，众数是52和56，A错误；极差是，B正确； 对于C，，所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确； 对于D，该组数据的平均数为，第5年的数据为54，设原始数据的方差为，去掉第5年的数据后的方差为，则 ， ， 即，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 有4个极值点 C. 在上有零点 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，代入计算即可；对于B，求原函数的极值点即求导函数的变号零点即可；对于C，求函数在某区间是否有零点，利用零点存在性定理判断即可；对于D，判断函数在某区间的单调性即求其导函数在该区间的正负情况即可. 【详解】对于A选项，由，所以选项A正确； 对于B选项，令函数， 则， 所以为偶函数，， 令函数，则， 令函数，则， 当时，，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 则在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 则在上单调递增，即在上单调递增， 在上单调递减，因为， ，， 所以在上有1个极值点，在上有1个极值点， 所以只有2个极值点，所以选项B错误； 对于C选项，由，， 由零点的存在性定理可知在上有零点，所以选项C正确； 对于D选项，， 当时，，， 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以选项D正确. 11. 已知抛物线C:的焦点为F，点为抛物线C上任意不同的三点，则下列结论正确的有（ ） A. 焦点F为，且到准线的距离为 B. 点P到直线距离的最小值为 C. 不存在点P，使得为等边三角形（O为坐标原点） D. 若为等边三角形，且直线的斜率为2，则的边长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的性质得出焦点坐标及焦点到准线距离判断选项A；设抛物线上点，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质求距离最小值，判断选项B；利用等边三角形的性质，结合抛物线方程求出点坐标，结合两点间距离公式求出，判断边长情况进而判断选项C；设直线方程为：，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，结合等边三角形的性质求出的斜率，联立抛物线得出方程①，利用两点间距离公式得出方程②，联立①②求出，进而求出，判断选项D． 【详解】抛物线方程，标准形式为，得， 解得，焦点，准线， 焦点而非，焦点到准线的距离，故A错误； 设抛物线上点，点到直线的距离， 二次函数对称轴为，最小值为， 故，故B正确； 而在轴上，长度为，若为等边三角形，则在中垂线上， 代入抛物线得，记点，则， 故边长不相等，不存在这样的点，故C正确； 设直线方程为：，联立抛物线得， 由韦达定理，中点， 由弦长公式得， 在等边三角形中，，直线斜率为， 直线，联立抛物线得①， 由等边三角形的性质知，设，则， 由两点间距离公式得， ，即②， 联立①②得，展开整理得， 解得（对应点，舍去）或， 则，故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 正方形的边长是是的中点，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】以为基底向量表示，，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】由题意，，， 则，， 所以 . 故答案为：3. 13. 已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 【答案】99 【解析】 【分析】先利用函数的对称性找到等式关系，再用赋值法得到，从而求出. 【详解】因为 关于点 对称，所以, 即， 因为 关于点 对称，所以, 因为 ，所以 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 因此， 在，令，得， 因此. 14. 已知菱形，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的性质求出，建立空间直角坐标系，结合外接球的性质求出，再利用基本不等式求出的最小值． 【详解】已知菱形，则均为边长为2的等边三角形， 连接，则，且， 设二面角的平面角为，则平面， 为的中点，在等腰中，， 由平面，得， ， ， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， 是中点， ， 设三棱锥的外接球球心为，则，解得， ， ， 设外接球半径为，则 ， ， ， 令，则， 当且仅当时取最小值， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得， 故边上的高为． 16. 郑州某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量，随机抽取了高二年级名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于小时”“少于小时”两类，体育锻炼时长分为“不少于小时”“少于小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）： （1）求下面表格中，，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体育锻炼时长是否有关？ 阅读时间\锻炼时长 不少于1小时 少于1小时 总计 不少于1小时 15 少于1小时 10 50 总计 45 55 100 参考数据（独立性检验临界值表）： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）为进一步研究课后阅读时间（单位：小时）与学生每日作业完成质量得分的关系，随机选取其中20名学生的样本数据，经计算得：，，，，求关于的一元线性回归方程，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？ 附：（i），其中. （ii）在线性回归方程中，，； 【答案】（1），，，有关 （2），77.5分 【解析】 【分析】（1）根据列联表的性质填表，计算卡方值，利用独立性检验思想即得结论； （2）利用相关数据代入公式求出的值，即得回归方程，代入即可计算对应的估计值. 【小问1详解】 由表知：，，， 零假设为：学生课后阅读时间与体育锻炼时长无关 则， 依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，因此可以认为学生课后阅读时间与体育锻炼时长有关； 【小问2详解】 因，，则， 又，，则， 则 于是关于的一元线性回归方程为， 当时， 所以若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为77.5分. 17. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，平面平面，点为的中点. （1）求证：； （2）若四棱锥的体积是，求二面角的余弦值. 【答案】（1）因为，，所以， 在中，，，所以，， 因为，所以， 因为，所以是等边三角形， 因为点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先通过底面直角梯形的边角关系，推导出；再利用面面垂直的性质定理，证得平面；最后根据线面垂直的定义证明即可； （2）先由及为中点得到，再结合平面平面证得底面；接着利用四棱锥体积公式求出高，并以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标及相关向量；然后通过解方程组求出平面的法向量，取底面的法向量；最后根据二面角为锐角，用向量夹角公式计算出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为，所以. 如图，以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 在等边中，，， 则，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则 令，解得，，故法向量， 易知是平面的一个法向量， 又点在半平面内，故二面角是锐二面角. 所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设 ，设对于每个正整数，方程 的正数根为. ①证明： ②证明：. 【答案】（1）的单调递减区间 ，单调递增区间 ； （2）①因为 ，所以和的单调性一致，所以在 上单调递增， 构造函数 ，则 ， 当时， ，因为 ，所以单调递增， 所以 ，故 ，则在 上单调递增， 故 ，即 ， ，则 , 又因 在 上单调递增，故得 ， 即 得证； ②由①知，对 ， ，故 ，因此， 先证明不等式 ， 设 ，则 当 时， ， 在 上单调递增， 即当 时，，即 ，即 令 ，得 ，因此, 而 , 所以，所以， 故得证. 【解析】 【分析】(1)利用导数求解函数的单调性； (2) ①构造 得到 ，结合 且 在 单调递增，得 ；②通过证明，，从而得证. 【小问1详解】 因为函数，所以 当 时 ，单调递减； 时 ，单调递增， 故的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 【小问2详解】 略. 19. 已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P. （1）求双曲线C的标准方程； （2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程； （3）在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，. 【答案】（1） （2） （3）设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中， 联立方程，消去可得， 该方程有两个正根，则，解得， 直线的方程为，而，即， 直线的方程为，而，即， 联立方程，解得， 即，，又， 则， ， 所以，设，则直线方程为， 即，则，， 而， ， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题设求出，进而求解即可； （2）由（1）得渐近线为，设直线l的方程为，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得的中点即为的中点，进而得到，即，再表示出，进而求解即可； （3）设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得，设，直线方程为，进而利用两点之间的距离公式求证即可. 【小问1详解】 由题意，得，且， 则，即， 则双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 渐近线为， 显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，， 联立，得，则， 且，则， 所以， 联立，解得， 设直线l与交于点， 联立，解得， 则，即， 而， 因此，，则的中点即为的中点， 所以，则， 而， 点到直线l的距离为， 则 ， 则，即时，与面积之和取得最小值， 此时直线l的方程为，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高三数学第一次学科体验 考试时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（   ） A. B. C. D. 3. 设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（ ） A. 7 B. 7或5 C. 10 D. 10或2 4. 某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为 A. B. C. D. 7. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ） A. 这组数据的众数是56 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的60%分位数是55 D. 去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 10. 已知函数，则（ ） A. B. 有4个极值点 C. 在上有零点 D. 在上单调递增 11. 已知抛物线C:的焦点为F，点为抛物线C上任意不同的三点，则下列结论正确的有（ ） A. 焦点F为，且到准线的距离为 B. 点P到直线距离的最小值为 C. 不存在点P，使得为等边三角形（O为坐标原点） D. 若为等边三角形，且直线的斜率为2，则的边长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 正方形的边长是是的中点，则__________. 13. 已知函数的定义域为R，的图象关于点对称， ，且的图象关于点对称，则______. 14. 已知菱形，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 16. 郑州某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量，随机抽取了高二年级名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于小时”“少于小时”两类，体育锻炼时长分为“不少于小时”“少于小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）： （1）求下面表格中，，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体育锻炼时长是否有关？ 阅读时间\锻炼时长 不少于1小时 少于1小时 总计 不少于1小时 15 少于1小时 10 50 总计 45 55 100 参考数据（独立性检验临界值表）： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）为进一步研究课后阅读时间（单位：小时）与学生每日作业完成质量得分的关系，随机选取其中20名学生的样本数据，经计算得：，，，，求关于的一元线性回归方程，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？ 附：（i），其中. （ii）在线性回归方程中，，； 17. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，平面平面，点为的中点. （1）求证：； （2）若四棱锥的体积是，求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设 ，设对于每个正整数，方程 的正数根为. ①证明： ②证明：. 19. 已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P. （1）求双曲线C的标准方程； （2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程； （3）在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $