云南省昆明市第一中学2027届高三第一次月考数学试卷

昆明市第一中学2027届高三第一次月考 参考答案 一、选择题 题号 2 4 5 6 1 P 答案 D B A D A C C A 1.【解析】A∩B={0,1}.选D. 2.【解折】复数2-2124=1+1，所以H==5选B 1+i1-i12 A.2 B.√2 C.2√2 D.4 3.【解析】a-=1,-1=V2.选A 4.【解析】由题意可知所得几何体为圆柱体，底面半径=6，高h=6,侧面积S-2uh=72π 选D 5.【解析】因为simx+cosa= 51,所以6ma+e05=1+m2a=15 ,所以in2x=- 2 2 因为骨<世华，所以好<2经，又因为血2<0，得<2< 2 所以em2a1一an2a-片适A 6.【解析】因为f(x),g(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得f(0)=8(O)=1, 所以a=1,选C. 7.【解析】因为点P是圆(x-12+0y-2)24上的任意点 当直线P8与此圆相切时，tan∠PBC的值最大.又BC=V32+62=3√5，PC=2 则PB=VBc2-P2=VA5-4=,则tm∠PBC-S-22面.选C PB√441 8【解析】因为对任意的，，(O,+四)，均有)-/>1成立， X1-X2 不妨设x>x>0,则x-x2<0,所以f(x)-f(x2)<x-x3→f(:)-x1<f(:3)x2, 令8(x)=∫(x)-x,则8(x)=f(x)-x在(0O,+o)上递增，因为f(x)是定义在R上的奇 函数，所以g(x)=f(x)-x是定义在R上的奇函数，所以g(x)=f(x)-x在(-o,O)上 递增，不等式f(x-1)+1>x化为f(x-1)-(x-1)>0→g(-1)>0, 因为f(1)=1,所以f(1)-1=0,即8(1)=0，所以8(-1)=-8(1)=0， 则8->8四，即：-11 →x>2,所以x>2, x-1>0 x-1>0 或8-）>8少，： x-1>-1 x-1<0 x-1<0 →0<x<1,所以0<x<1, 所以不等式f(x-1)+1>x的解集为(0,1)U(2,+∞)，选A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD CD ACD 9.【解析】因为D(X)=36,30=1<42=34, P(X≤36)=P(X≤H+o1)=P(Y≤5+o2)=P(Y≤36)， P(X≤38)<P(X≤A+2o)=P(Y≤5+2o)=P(Y≤38)，所以选BCD. 10.解折：由图可知，)-co0x+1,A不正确：因为f-cox-到1-mx+1, 图象不关于原点对称，不是奇函数，B错误：因为f'(x)=-sinx,g(x)=ae，所以 -sin Xo ae% S十1e。,解得3.a。，C正确：所以了四的图象与=ae*的图象 2 在x=n处的公切线方程为y=x-3亚+1，D正确，选CD. 2 11.【解析】由题意知，设点P的坐标为（化，），，B∈o, 所以女上=1， 2 26 所以tana:tanB=_y y y2y2 +55-23,所以A对： 3 因为tm(a+p)）=tana+tamB-2tana+an6）-2anx+3 所以无最小值，所 1-tan a.tan B tana 以B错，tam∠APB=tam(0-=,tanB-tame-1(3 -tana)，又因为P横坐标逐渐变 1+tan a.tan B 4 tan a 大时，a也跟若变大，(3tam在变小，所以∠APB逐渐变小，所以C对，又当 4 tana 2tana+tanB≥2√2tana.tanB=2v6,当且仅当2tana=tanB取得等号，即2tana=tanB, 即ma=咨m0=6:5,万6，所以y-4,质以当积为 号25.45=46.所以选ACD 三、填空题 12.【解析】因为点A(1,4)在抛物线C:y=2x上，所以16=2p,即p=8,所以A到C的 焦点的距离为x+2-1+4=5. 2 13.【解析】因为f(x)=x3+2+x+b,所以f(x)=3x2+2m+1,所以f"(x)=6x+2a, 又f(x)的对称中心为(-1,2)，所以f"(1)=-6+2a=0,解得a=3, 由f(-1)=-1+3-1+b=2,解得b=1. 14.解析：已知从1,2,3,4,5这5个数中随机抽一个数记为X,每个数出现的概率相同，则 Px=0-=12345 当X=i时，Y是从1,2，，X中随机抽取的一个数，则Y服从离散均匀分布， 对于离散均匀分布，其期望公式为)=a十也（其中a是最小值，b为最大值）， 2 当X=1时，Y只能取1，所以(X=1)=1, 当X=2时，Y从1,2中抽取，所以X=2》=1+2_3. 22 当X=3时，Y从1,23中抽取，所以X=)=1+3=2, 2 当X=4时，Y从12,34中抽取，所以Bx=4=1+4=3 22 当X=5时，Y从1,234,5中抽取，所以x=)=1+5=3, 2 所似a立auK00x0122sg2 i=1 四、解答题 15.(1)解：(1)依题意，两人都付0元的概率n=4X。4 -11-1 两人都付50元的概率卫2= 121 2331 11. 两人都付100元的概率P3=1- 12、1 43x0-。-3= 63-241 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为 PAAR动点高 …6分 (2)由题意知，X的所有可能取值为0,50,100,150,200， p0x=064x00+子号nx=1o0=台片号品 4×6241 4646+2×312 11.211 P(X=150)=二×+2× 111 ，,P(X=200)=二× 26344 4624 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 200 1 5 1 1 24 4 12 4 24 x的数学期望E(0=0x24 +50×+100× 5 12 +150x-+200x4=100 (元). …13分 16.解：(1)取AB的中点O,连接OF,OC.因为△ABC为等边三角形，所以CO1AB.又因 为BD⊥面ABC,得面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,COc面ABC,所以CO⊥ 平面ABD.又因为CEBD,点F为AD中点，所以OF∥BD且OP=BD,又CE=BD,所以 OF∥EC,OF=EC,所以四边形OFEC是平行四边形.所以CO∥EF,所以EF⊥平面 ABD.…7分 (2)由（1)可知CO⊥平面ABD,OFc平面ABD,所以CO⊥OF 又因为AB⊥BD,OF∥BD,所以OF⊥BD. 以O为坐标原点，分别以oA,0C,OF所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设正△ABC的边长为2，则O0,0,0),A0,0,0),C(0,√5,0)，E(0,V5,1),D(-1,0,2), AC=(-1,V5,0),AE=(-1,V5,1),AD(-2,0,2),设平面AEC的法向量为n=(xy,) 则十0不妨令=B,则x=3=0,得平面AC的法向量 B AD=-2a+2c=0 为n=3,5,0).设平面AED的法向量m=(a,b,c),则 不 mAE=-a+√3b+c=0 妨令c=1,则a=1,b=0.得平面AEC的法向量为m=1,0,1),所以 cos(m,）= mi。3V6 州园23×√24 所以平面ACE与平面ADB的夹角的余弦值为N …15分 4 17.解：（1)由题意，4-a-1=2(n-1)，4-1-4-2=2(n-2),,4-4=2, 累加得，4-4=20+2++n-)=n-1)，则a=m-n+1,经检验n=1时也成 立. …7分 (2)由题意6.=a+2m-1=7+,1:1=11 b n(n+1)nn+1 1+1 1,11 1 Sn=瓦b 1=1 … =1- Bb-1-万干万-。+…十-一m+11+， 因为neN*, 1>0,所以S<1, …15分 n+1 18解：由f0=e3ux,则r0=1+30, 所以①)=3，所以f(x)=e-1+x2+1. …3分 (2)由(1)得f(x)=e1+x2+1,则F(x)=f(x)-(x2+x+m=e-1-x+1-m, 则F'()=e-1-1,由F(x)=0得x=1, 由F'(x)>0得1<x≤2，由F'(x)<0得-1≤x<1, 所以F(x)在[-1,1]上单调递减，在[1.2]上单调递增， 所以当x=1时，F(x)取得极小值也是最小值， [FI)<0 [1-1+1-m<0 要使F(x)在[-1,2]内有两个零点，只需满足{F(-1)≥0，即e2+1+1-m≥0， F(2)≥0 e-2+1-m≥0 解得1<m≤e-1,所以实数m的取值范围为(1，e-1]. …9分 (3)对任意的x∈R,不等式f(x)-≥0恒成立，即：e-1+x2+1≥x恒成立， ①当x=0时，2≥0，显然成立： ②当x>0时，k≤++1恒成立， 令w)-el++1,则gw)-在-De+x+D 因为x>0,所以e-1+x+1>0恒成立， 由8'(x)=0得x=1,由g'(x)>0得x>1,由8'(x)<0得0<x<1, 所以8(x)在(0,1)上单调递减，在1，+o)上单调递增， 所以当x=1时，8(x)取得极小值也是最小值，且8)=3，所以k≤3： ③当x<0时，≥e+x+1恒成立，令mW=c++1,此时m)<0, 由@得m6=-e+x+D（x<0),令的=e1+x+1, l(x)=e-1+1>0,所以n(x)在(-n,0)上单调递增，又(-2)=e3-1<0,n(-1)=e2>0, 所以，存在x∈(2，-1)，使得()=0，即e0-1+x+1=0, 即m()=0,由m'(x)>0得x<,由m'(x)<0得<x<0, 所以(x)在(x,0)上单调递减，在(-n,x)上单调递增， 所以当x=光时，m)取得极大值也是最大值，且m)=++1_七，+金-6-1， 所以k≥x。-1,所以k的取值范围为[x-1,3],又因为∈(-2，-1)，所以-3<x-1<-2, 所以整数k的取值集合为{-2，-1,0,1,2,3}. …17分 19解：(1)由题意知，设曲线M上任意一点的坐标为(x,y),所以k-4=2V-1)+y2, 即+上=1，所以曲线M的轨迹方程为+二 =1, …4分 43 43 回0限©6小则产2+名产曾 x+1' 设Ak,),B,y）,4x=y-1,1。=y+1其中4=东店 1 1 3x2+4r=12消去，得(34+42-6y-9=0,则 x=y-1 由 -9 -9 -9y2 =42+1+43+4奶+6+36+152+5片=15从而 2x+5 书=4以-1=513%。-1=-4+8 .2x+5 2x+5 同理可得 -3yo 3yo 3% 呢255；图kE”2玉t525 x1-x3_5x+85)-8 2x+52x-5 3(2x0-5+2+5) 3xo.Vo (5x+8)(2x-5)+(5.x-82x+5)5(2-4) 由所点，店成等差数列，得k+后=2，即2%=23%6 2-1 5(2-4) 解得飞=0，或%=0（会，或=号1《会。相商的以=， 所以点C的坐标为(0，±√3)： …10分 (iⅱ)设C(x,)，A(,),B(2,y2), 当直线AB的斜率不存在时，易得C(2,0),直线AB的方程是x=-1,或C(-2,0),直线AB 的方程为x=1,将x=山代入椭圆方程，可得以行 所以△ABC的面积S=x3x3= 9 当直线松的斜车有在时的点如各空》如装 4v 所以直线AB的方程为y+为=-3x+ 2 4%2 即= 3x-3+ 3 42%,43 令x0,可得直线出在y轴的截距为，则S迪，k3 …13分 2vo 22% 4% x 将y=-3站x-3代入椭圆方程可得12+966+ 4%2% +9-12=0 +好疗40，则名+5=6：5 即32+3西x 3 y02 3-42,14分 3 所以-=VG+)广-5=9+48%-3636-1252+483-36 J 2h 所以&地32号设坐标原点为0，因为0是△4BC的重心，所以 2 2 SBc=3Sae-子，所以△ABC的面积是 、9 2 …17分昆明市第一中学2027届高三第一次月考 数学试题 命题：张远雄王在方蔺书琴李露 何鉴贤 杨思盈 审题：杨昆华彭力李文清孙思应张远雄 杨思盈 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={-1,0l,2},B={x|-1<x<2),则A∩B= A.{-1,0,1,2} B.01,23 C.{-1,0,1 D.{0,1} 2复数：品则4= A.2B. C.2W2 D.4 3.已知向量a=(2,1),b=(1,2),则a-= A.5B.5 C.2 D.5 4.以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为 A.18元 B.36π C.54π D.72π 5.设<a< ，sina+6osa=VB, 3π 则c0s2a 2 A.-2 1 B. 2 C. 2 D.-3 2 6.设函数f(x)=a(x2+1),g(x)=eH,当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a= A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.在平面直角坐标系x0y中，点P是圆C:(x-12+(y-2)2=4上的动点，8(-2,4)，则tan∠PBC的最大 值为 A.221 B.4V29 C.241 21 29 41 D. 2 8.已知f()是定义在R上的奇函数，且了)=1，若对任意的x,∈(0，四)，均有)）-f),1成 X1一X2 立，则不等式f(x-1)+1>x的解集为 数学试卷·第1页（共4页） A.(0,1)U(2,+∞)B.（-2,0)U(2,+o）C.(-o,-2)U(0,1)D.（-2,-1)U(0,) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析 得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~N4,62),Y~Nh,22).X和Y的分布 密度曲线如图所示.则下列结果正确的是 A.D(X)=6 B.4<内 X的盗度曲或 Y的密度曲线 C.P(X≤38)<P(Y≤38) D.P(X≤36)=P(Y≤36) 10.函数f(x)=Acos @x+b(A>0,ω>0)的图象如图所示，若f(x)的图象 2301 与g(x)=ae的图象在x=处有公切线，其中x∈（π，2π），则 A.A=1,b=2 B. -引为函数 C.a=e登 D.f(x)的图象与g(x)=ae*的图象在x=o处的公切线为y=x 3死1 2 11.已知双曲线号-上-1的左、右顶点分别为4，B,点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA,PB的 26 倾斜角分别为，B,则 A.tan a.tan B=3 B.tan(a+)的最小值为√3 C.点P横坐标逐渐变大时，∠APB逐渐变小 D.2tana+tanB取得最小值时，△APB的面积为4v√6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知点A(1,4)在抛物线C:y2=2px上，则A到C的焦点的距离为 13.经研究发现：任意一个三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都只有一个对称中心点 (,f(x)》(其中x是∫(x)=0的根)，f'(x)是f(x)的导数，f"(x)是f'(x)的导数.若函数 f(x)=x+ax2+x+b图象的对称中心为(-l,2),则b= 14.从1,2,3,4,5这5个数中随机抽一个数记为X,再从1,2，X中随机抽-个数记为Y,则E(Y) 为 数学试卷·第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间x(小时) x≤1 1<x≤2 2<x≤3 收费标准 免费 50元/人 100元/人 不足1小时的部分按1小时计算.现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时 离开的概率分别为，1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为上，2 乞’了：两人健身的时间都不会 超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率： (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 16.(15分) 如图，已知△ABC是等边三角形，AB=BD=2CE,CE∥BD,BD⊥面ABC,点F为AD的中点. (I)求证：EF⊥平面ABD: (2)求平面ACE与平面ADE的夹角的余弦值， D 17.(15分) 已知数列{an}中，a1=1,a1=an+2n, (1)求an: (2)若bn=a。+2n-1 的前n项和为Sn,证明：Sn< 数学试卷·第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f)=e+/02+1. (1)求y=f(x)的解析式： (2)若F(x)=f(x)-(x2+x+m)在[-1,2]内有两个零点，求m的取值范围： (3)若对任意的x∈R，不等式f(x)-c之0恒成立，求整数k的值组成的集合. 19.(17分) 已知曲线M上任意一点到直线l:x=4的距离是该点到点(1,0)的距离的两倍， (1)求曲线M的轨迹方程： (2)已知A,B,C三点均在M上， (i)若直线AC过点(-1,0)，直线BC过点(1，O),记直线AC,AB,BC的斜率分别为k,k2,k,且满足 k,k2,飞成等差数列，求点C的坐标； (i)若△ABC的重心是坐标原点，求△ABC的面积. 数学试卷·第4页（共4页）