专题02 与直线有关的最值问题7种常见考法归类（题型专练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题02 与直线有关的最值问题7种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 倾斜角与斜率的最值范围 题型 02 含参双动直线的最值范围 题型 03 两点间的距离最值 题型 04 点到直线的距离最值 题型 05 平行线间的距离最值 题型 06 线段和与差的最值 题型 07 线段积的最值 ▌题型01 倾斜角与斜率的最值范围 1.核心逻辑 斜率，；正切函数在、分别单调递增，在斜率不存在。常见考法：过定点直线与线段相交求斜率范围；已知斜率求倾斜角范围。 2.解题步骤 ①找到直线所过定点，计算定点到线段两个端点的斜率； ②画图观察直线旋转变化，分清斜率是连续变化还是被竖直直线隔断； ③已知范围，利用图像反解倾斜角； ④注意：竖直直线，倾斜角，斜率不存在。 3.易错提醒 忽略斜率不存在的情况；直接当成正切在整体单调递增，混淆两段单调区间；线段相交，漏掉边界斜率。 【例1】（2026高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 【变式1-1】（2026高二·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 【变式1-2】（2026高一·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 【变式1-3】（2026高二·河南·阶段检测）已知实数满足，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】为线段上的点与点的连线的斜率，画出相应图形，易得即为的最小值，计算即可得. 【详解】为线段（如图中的）上的点与点的连线的斜率， 如图，当点在点时，取最小，此时， 则，即的最小值为.    故答案为：. ▌题型02 含参双动直线的最值范围 1.核心逻辑 两条带参数的动直线，各自过固定定点；经常满足两直线恒垂直，交点轨迹是圆（以两定点连线为直径），再用圆上点的几何性质、勾股定理、基本不等式求线段长、面积最值。 2.解题步骤 ①分别求出两条动直线恒过的定点； ②验证两条动直线是否恒垂直（斜率乘积，或者一条斜率为0一条不存在）； ③若垂直，则交点的轨迹是以为直径的圆（去掉）； ④结合圆的几何性质，或者勾股定理； ⑤使用基本不等式求线段、三角形面积的最值。 3.易错提醒 忘记剔除轨迹上两点；基本不等式忽略等号成立条件；不会求动直线的定点。 【例2】（2026高二·广东深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求出A，B的坐标，并判断两直线垂直，推出点M在以为直径的圆上，求得，即，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知过定点, 动直线即过定点， 对于直线和动直线满足， 故两直线垂直， 因此点M在以为直径的圆上，， 则， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：C 【变式2-1】（2026高一·江苏盐城·期末）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定点A和点B的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形ABM，利用三角函数求最值即可． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， ， 动直线和动直线满足， 两条直线始终垂直， 又因为是两条直线的交点，所以. 所以. 设，则， 由，可得， ， 令， 所以， 故的最大值为． 故选: C 【变式2-2】（2026高二·吉林长春·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则____________． 【答案】5 【分析】由已知求出A，B的坐标，由两直线垂直的条件知两直线垂直，然后结合勾股定理即可求解． 【详解】由已知， 直线的方程可以写成， 由得， 即， 又， 所以两直线垂直． 所以． 故答案为:5． 【变式2-3】（2026高二·广东汕头·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是　　 A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】动直线，令，解得，因此此直线过定点．动直线，即，令，，可得此直线过定点．分类讨论：时，两条直线分别为，，交点，可得．时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直．设，，当且仅当时，的面积取得最大值．即可得出． 【详解】解：动直线，令，解得，因此此直线过定点． 动直线，即，令，，解得，，因此此直线过定点． 时，两条直线分别为，，交点，． 时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直． 设， 又 当且仅当时等号成立 ． 综上可得：的面积最大值是． 故选：． 【点睛】本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ▌题型03 两点间的距离最值 1.核心逻辑 几何意义：动点到定点的距离； 两类题型：①参数表示动点，距离平方化为二次函数求最值；②根式代数式，转化为平面上两点距离，数形结合求解。 >技巧：带根号，优先计算距离的平方，求出最值后再开根号。 2.解题步骤 ①识别式子几何含义，把代数式翻译成“动点到定点距离”； ②若动点受直线约束，则问题转化：定点到直线上动点距离，垂线段最短； ③代数方法：写出距离平方表达式，二次函数，结合参数范围求最值； ④若是两个距离相加，可配合对称点，两点之间线段最短求最小值。 3.易错提醒 直接对根号函数求最值，运算复杂；忘记开根号，把距离平方当做距离；分不清动点是自由动点还是在定直线上。 【例3】（2026高三·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 【变式3-1】（2026高二·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 【变式3-2】（2026高一·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 【变式3-3】（2026高二·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. ▌题型04 点到直线的距离最值 1.核心逻辑 模型：定点，动直线恒过某一定点；定点到动直线距离： 最小值（动直线经过该定点）；最大值等于定点到动直线定点之间线段长；取最大值条件：两点连线与动直线互相垂直。 另外一类：动点在定直线上，求定点到该动点距离，最小值就是点到直线垂距。 2.解题步骤 ①若是动直线：整理直线方程，求出动直线恒过的定点； ②定点到动直线最大距离：两点之间距离，条件连线垂直动直线； ③若是定直线：直接用点到直线距离公式得到最小距离； ④联立垂直斜率关系，求解参数，写出对应直线方程。 3.易错提醒 搞反最大、最小距离；忘记验证垂直条件；不会求动直线过的定点。 【例4】（2026高二·重庆·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 【变式4-1】（2026高二·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 【变式4-2】（2026高一·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 【变式4-3】（2026高二·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D ▌题型05 平行线间的距离最值 1.核心逻辑 两平行直线上任意两点距离的最小值，就是平行线之间的距离；若一组平行线，其中一条绕定点转动，则两平行线距离最大值等于两个定点之间距离。 平行线距离公式：两条直线，，系数必须完全相同。 2.解题步骤 ①先判断两直线平行，保证系数一致，整理成相同； ②直接套公式，求两平行线固定距离； ③动平行线模型：找出两条直线各自的定点，最大距离为两点连线长度； ④注意检验两直线不能重合。 3.易错提醒 直接代入距离公式，没有统一系数；把重合直线当成平行直线；混淆两点距离和平行线距离。 【例5】（2026高二·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 【变式5-1】（2026高二·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【答案】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（2026高二·云南临沧·阶段检测）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 【变式5-3】【多选】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知直线：，：，则（    ） A．恒过定点 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．若，则与间的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】求出直线、过定点坐标，从而求出两定点间的距离，即可判断A、D，利用特殊值判断B，求出直线与坐标轴的交点坐标，由面积公式，即可判断C. 【详解】对于A：直线：，令，解得， 所以直线：恒过定点，故A正确； 对于B：若，则，即， 但是得不到，如时：，：也满足，故B错误； 对于C：依题意，对于， 令，解得，令，解得，直线与轴交于点，与轴交于点， 则与坐标轴围成的三角形面积，解得，故C错误； 对于D：直线：，令，解得， 则直线恒过点， 令、，则， 又， 当直线、与垂直，则，，解得、， 此时两平行直线与间的距离的最大，最大值为，故D正确； 故选：AD ▌题型06 线段和与差的最值 1.核心逻辑 动点在定直线上，为定点，利用对称变换+三角形三边关系。 1）距离之和最小：两点在直线同侧，作其中一点对称点，对称点与另一点连线和直线交点为取最值点，；两点异侧直接连线。 2）距离之差绝对值最大：两点在直线同侧，直接连线与直线相交；两点异侧，先做对称再连线。 本质：三点共线的时候取到最值。 2.解题步骤 ①判断两个定点在定直线的同侧还是异侧； ②求定点关于直线的对称点； ③连接对称点与另外一个定点，和定直线得到交点； ④利用两点距离公式算出最值； ⑤写出取到最值时动点坐标。 3.易错提醒 搞反和最小、差最大对应的同侧异侧；对称点计算出错；不验证交点是否在题目给定直线上。 【例6】（2026高二·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 【答案】5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 【变式6-1】（2026高二·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，再求出线段长即可. 【详解】点，都在直线的下方， 点关于直线的对称点， 于是， 当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5. 故选：C 【变式6-2】（2026高二·重庆九龙坡·阶段检测）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是__________． 【答案】. 【分析】根据题意，得到，求得关于直线的对称点为，结合，结合当且仅当三点共线时，等号成立，即可求解. 【详解】由直线分别交轴和于点，可得， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，即，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最大值为，即的最大值为. 故答案为：.    【变式6-3】（2026高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为__________ 【答案】4 【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 ▌题型07 线段积的最值 1.核心逻辑 求两条线段长度乘积的最值；常用工具：勾股定理结合基本不等式、直线截距设参+基本不等式；垂直条件下。常见模型：直线过定点，与坐标轴相交，求坐标轴截线段乘积最值；两条垂直动直线交点模型。 >基本不等式口诀：一正、二定、三相等。 2.解题步骤 ①根据条件，写出两条线段的表达式； ②若存在垂直关系，利用勾股得到平方和为定值，用基本不等式； ③直线截距题型：设截距或者设斜率，写出线段表达式； ④利用基本不等式求乘积最值，检验等号条件是否满足； ⑤求出取等号时参数，回代写出直线方程。 3.易错提醒 忽略“一正二定三相等”，直接套用基本不等式；等号成立条件不在取值范围内；坐标轴截距符号正负搞错。 【例7】（2026高一·河北石家庄·期末）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】易知动点的坐标，由已知直线化为点斜式可得动点B的坐标，由两条直线垂直公式可得两条动直线互相垂直，结合勾股定理和重要不等式可求得结果. 【详解】容易知道动直线过定点为， 由可得，所过定点为， 由可知两条动直线互相垂直，即，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 【变式7-1】（2026高二·安徽淮南·阶段检测）已知直线过定点，且交轴正半轴于点､交轴正半轴于点.点为坐标原点. (1)若的面积为，求直线的方程； (2)求的最小值，并求此时直线的方程； (3)求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线过定点可得，由 得，联立方程组，解得值，即可求解； （2）展开后利用基本不等式，即可求解； （3）由三点共线，可得，然后利用向量的数量积的坐标表示及基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设，，， 则直线的方程为， 由直线过定点可得 ， 由 得， 由解得， 所以直线的方程为，即. （2）      ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为，即. （3）因为三点共线， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为，即. 【变式7-2】（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交轴正半轴于点，点为坐标原点．    (1)求的最小值，并求此时直线的方程． (2)的面积为S（为坐标原点），求S的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1),; (2), 【分析】（1）利用解析法求交点坐标，再利用两点间距离公式，结合基本不等式即可求出最小值及此时的直线方程； （2）利用交点坐标，再利用面积公式，结合基本不等式即可求出最小值及此时的直线方程； 【详解】（1）由变形可得， 令，则； 故直线过定点， 把代入可得：， 即交点，由交轴正半轴于点，得 把代入可得：， 即交点，交轴负半轴于点，结合可得， 所以 ， 因为，所以当且仅当时取等号，即的最小值为， 此时直线方程为； （2）由（1）得交点，， 所以的面积为， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，即S的最小值为， 此时直线方程为. 【变式7-3】（2026高一·四川成都·期末）已知直线，直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点. （1）记的面积为，求的最小值并求此时直线的方程； （2）直线过定点，求的最小值. 【答案】（1）最小值为4，直线方程为（2）4 【详解】试题分析：（1）分别求出直线与坐标轴的交点，根据直角三角形面积公式可得，再根据基本不等式求最值，并确定的值，即得直线的方程；（2）利用向量数量积得，再根据基本不等式求最值 试题解析：解：由题意，分别令，解得 且. （1）时，当且仅当时取等.所以的最小值为4，此时直线的方程为. （2）易得，∴，， 当且仅当时取到，的最小值为4. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与直线有关的最值问题7种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 倾斜角与斜率的最值范围 题型 02 含参双动直线的最值范围 题型 03 两点间的距离最值 题型 04 点到直线的距离最值 题型 05 平行线间的距离最值 题型 06 线段和与差的最值 题型 07 线段积的最值 ▌题型01 倾斜角与斜率的最值范围 1.核心逻辑 斜率，；正切函数在、分别单调递增，在斜率不存在。常见考法：过定点直线与线段相交求斜率范围；已知斜率求倾斜角范围。 2.解题步骤 ①找到直线所过定点，计算定点到线段两个端点的斜率； ②画图观察直线旋转变化，分清斜率是连续变化还是被竖直直线隔断； ③已知范围，利用图像反解倾斜角； ④注意：竖直直线，倾斜角，斜率不存在。 3.易错提醒 忽略斜率不存在的情况；直接当成正切在整体单调递增，混淆两段单调区间；线段相交，漏掉边界斜率。 【例1】（2026高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．D．或 【变式1-1】（2026高二·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高一·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【变式1-3】（2026高二·河南·阶段检测）已知实数满足，且，则的最小值为__________. ▌题型02 含参双动直线的最值范围 1.核心逻辑 两条带参数的动直线，各自过固定定点；经常满足两直线恒垂直，交点轨迹是圆（以两定点连线为直径），再用圆上点的几何性质、勾股定理、基本不等式求线段长、面积最值。 2.解题步骤 ①分别求出两条动直线恒过的定点； ②验证两条动直线是否恒垂直（斜率乘积，或者一条斜率为0一条不存在）； ③若垂直，则交点的轨迹是以为直径的圆（去掉）； ④结合圆的几何性质，或者勾股定理； ⑤使用基本不等式求线段、三角形面积的最值。 3.易错提醒 忘记剔除轨迹上两点；基本不等式忽略等号成立条件；不会求动直线的定点。 【例2】（2026高二·广东深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【变式2-1】（2026高一·江苏盐城·期末）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【变式2-2】（2026高二·吉林长春·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则____________． 【变式2-3】（2026高二·广东汕头·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是　　 A． B．5 C． D． ▌题型03 两点间的距离最值 1.核心逻辑 几何意义：动点到定点的距离； 两类题型：①参数表示动点，距离平方化为二次函数求最值；②根式代数式，转化为平面上两点距离，数形结合求解。 >技巧：带根号，优先计算距离的平方，求出最值后再开根号。 2.解题步骤 ①识别式子几何含义，把代数式翻译成“动点到定点距离”； ②若动点受直线约束，则问题转化：定点到直线上动点距离，垂线段最短； ③代数方法：写出距离平方表达式，二次函数，结合参数范围求最值； ④若是两个距离相加，可配合对称点，两点之间线段最短求最小值。 3.易错提醒 直接对根号函数求最值，运算复杂；忘记开根号，把距离平方当做距离；分不清动点是自由动点还是在定直线上。 【例3】（2026高三·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】（2026高二·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 【变式3-2】（2026高一·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【变式3-3】（2026高二·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 ▌题型04 点到直线的距离最值 1.核心逻辑 模型：定点，动直线恒过某一定点；定点到动直线距离： 最小值（动直线经过该定点）；最大值等于定点到动直线定点之间线段长；取最大值条件：两点连线与动直线互相垂直。 另外一类：动点在定直线上，求定点到该动点距离，最小值就是点到直线垂距。 2.解题步骤 ①若是动直线：整理直线方程，求出动直线恒过的定点； ②定点到动直线最大距离：两点之间距离，条件连线垂直动直线； ③若是定直线：直接用点到直线距离公式得到最小距离； ④联立垂直斜率关系，求解参数，写出对应直线方程。 3.易错提醒 搞反最大、最小距离；忘记验证垂直条件；不会求动直线过的定点。 【例4】（2026高二·重庆·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式4-1】（2026高二·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高一·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【变式4-3】（2026高二·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． ▌题型05 平行线间的距离最值 1.核心逻辑 两平行直线上任意两点距离的最小值，就是平行线之间的距离；若一组平行线，其中一条绕定点转动，则两平行线距离最大值等于两个定点之间距离。 平行线距离公式：两条直线，，系数必须完全相同。 2.解题步骤 ①先判断两直线平行，保证系数一致，整理成相同； ②直接套公式，求两平行线固定距离； ③动平行线模型：找出两条直线各自的定点，最大距离为两点连线长度； ④注意检验两直线不能重合。 3.易错提醒 直接代入距离公式，没有统一系数；把重合直线当成平行直线；混淆两点距离和平行线距离。 【例5】（2026高二·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【变式5-1】（2026高二·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【变式5-2】（2026高二·云南临沧·阶段检测）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 【变式5-3】【多选】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知直线：，：，则（    ） A．恒过定点 B．若，则 C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．若，则与间的距离的最大值为 ▌题型06 线段和与差的最值 1.核心逻辑 动点在定直线上，为定点，利用对称变换+三角形三边关系。 1）距离之和最小：两点在直线同侧，作其中一点对称点，对称点与另一点连线和直线交点为取最值点，；两点异侧直接连线。 2）距离之差绝对值最大：两点在直线同侧，直接连线与直线相交；两点异侧，先做对称再连线。 本质：三点共线的时候取到最值。 2.解题步骤 ①判断两个定点在定直线的同侧还是异侧； ②求定点关于直线的对称点； ③连接对称点与另外一个定点，和定直线得到交点； ④利用两点距离公式算出最值； ⑤写出取到最值时动点坐标。 3.易错提醒 搞反和最小、差最大对应的同侧异侧；对称点计算出错；不验证交点是否在题目给定直线上。 【例6】（2026高二·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 【变式6-1】（2026高二·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】（2026高二·重庆九龙坡·阶段检测）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是__________． 【变式6-3】（2026高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为__________ ▌题型07 线段积的最值 1.核心逻辑 求两条线段长度乘积的最值；常用工具：勾股定理结合基本不等式、直线截距设参+基本不等式；垂直条件下。常见模型：直线过定点，与坐标轴相交，求坐标轴截线段乘积最值；两条垂直动直线交点模型。 >基本不等式口诀：一正、二定、三相等。 2.解题步骤 ①根据条件，写出两条线段的表达式； ②若存在垂直关系，利用勾股得到平方和为定值，用基本不等式； ③直线截距题型：设截距或者设斜率，写出线段表达式； ④利用基本不等式求乘积最值，检验等号条件是否满足； ⑤求出取等号时参数，回代写出直线方程。 3.易错提醒 忽略“一正二定三相等”，直接套用基本不等式；等号成立条件不在取值范围内；坐标轴截距符号正负搞错。 【例7】（2026高一·河北石家庄·期末）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【变式7-1】（2026高二·安徽淮南·阶段检测）已知直线过定点，且交轴正半轴于点､交轴正半轴于点.点为坐标原点. (1)若的面积为，求直线的方程； (2)求的最小值，并求此时直线的方程； (3)求的最小值，并求此时直线的方程. 【变式7-2】（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交轴正半轴于点，点为坐标原点．    (1)求的最小值，并求此时直线的方程． (2)的面积为S（为坐标原点），求S的最小值并求此时直线的方程． 【变式7-3】（2026高一·四川成都·期末）已知直线，直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点. （1）记的面积为，求的最小值并求此时直线的方程； （2）直线过定点，求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与直线有关的最值问题7种常见考法归类 ▌题型01 倾斜角与斜率的最值范围 【例1】【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 【变式1-1】【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 【变式1-2】【答案】或 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 【变式1-3】【答案】 【分析】为线段上的点与点的连线的斜率，画出相应图形，易得即为的最小值，计算即可得. 【详解】为线段（如图中的）上的点与点的连线的斜率， 如图，当点在点时，取最小，此时， 则，即的最小值为.    故答案为：. ▌题型02 含参双动直线的最值范围 【例2】【答案】C 【分析】求出A，B的坐标，并判断两直线垂直，推出点M在以为直径的圆上，求得，即，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知过定点, 动直线即过定点， 对于直线和动直线满足， 故两直线垂直， 因此点M在以为直径的圆上，， 则， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：C 【变式2-1】【答案】C 【分析】首先确定点A和点B的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形ABM，利用三角函数求最值即可． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， ， 动直线和动直线满足， 两条直线始终垂直， 又因为是两条直线的交点，所以. 所以. 设，则， 由，可得， ， 令， 所以， 故的最大值为． 故选: C 【变式2-2】【答案】5 【分析】由已知求出A，B的坐标，由两直线垂直的条件知两直线垂直，然后结合勾股定理即可求解． 【详解】由已知， 直线的方程可以写成， 由得， 即， 又， 所以两直线垂直． 所以． 故答案为:5． 【变式2-3】【答案】C 【解析】动直线，令，解得，因此此直线过定点．动直线，即，令，，可得此直线过定点．分类讨论：时，两条直线分别为，，交点，可得．时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直．设，，当且仅当时，的面积取得最大值．即可得出． 【详解】解：动直线，令，解得，因此此直线过定点． 动直线，即，令，，解得，，因此此直线过定点． 时，两条直线分别为，，交点，． 时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直． 设， 又 当且仅当时等号成立 ． 综上可得：的面积最大值是． 故选：． 【点睛】本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ▌题型03 两点间的距离最值 【例3】【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 【变式3-1】【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 【变式3-2】【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 【变式3-3】【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. ▌题型04 点到直线的距离最值 【例4】【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 【变式4-1】【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 【变式4-2】【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 【变式4-3】【答案】D 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D ▌题型05 平行线间的距离最值 【例5】【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 【变式5-1】【答案】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 【变式5-2】【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 【变式5-3】【答案】AD 【分析】求出直线、过定点坐标，从而求出两定点间的距离，即可判断A、D，利用特殊值判断B，求出直线与坐标轴的交点坐标，由面积公式，即可判断C. 【详解】对于A：直线：，令，解得， 所以直线：恒过定点，故A正确； 对于B：若，则，即， 但是得不到，如时：，：也满足，故B错误； 对于C：依题意，对于， 令，解得，令，解得，直线与轴交于点，与轴交于点， 则与坐标轴围成的三角形面积，解得，故C错误； 对于D：直线：，令，解得， 则直线恒过点， 令、，则， 又， 当直线、与垂直，则，，解得、， 此时两平行直线与间的距离的最大，最大值为，故D正确； 故选：AD ▌题型06 线段和与差的最值 【例6】【答案】5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 【变式6-1】【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，再求出线段长即可. 【详解】点，都在直线的下方， 点关于直线的对称点， 于是， 当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5. 故选：C 【变式6-2】【答案】. 【分析】根据题意，得到，求得关于直线的对称点为，结合，结合当且仅当三点共线时，等号成立，即可求解. 【详解】由直线分别交轴和于点，可得， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，即，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最大值为，即的最大值为. 故答案为：.    【变式6-3】【答案】4 【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 ▌题型07 线段积的最值 【例7】【答案】A 【分析】易知动点的坐标，由已知直线化为点斜式可得动点B的坐标，由两条直线垂直公式可得两条动直线互相垂直，结合勾股定理和重要不等式可求得结果. 【详解】容易知道动直线过定点为， 由可得，所过定点为， 由可知两条动直线互相垂直，即，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 【变式7-1】【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线过定点可得，由 得，联立方程组，解得值，即可求解； （2）展开后利用基本不等式，即可求解； （3）由三点共线，可得，然后利用向量的数量积的坐标表示及基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设，，， 则直线的方程为， 由直线过定点可得 ， 由 得， 由解得， 所以直线的方程为，即. （2）      ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为，即. （3）因为三点共线， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为，即. 【变式7-2】【答案】(1),; (2), 【分析】（1）利用解析法求交点坐标，再利用两点间距离公式，结合基本不等式即可求出最小值及此时的直线方程； （2）利用交点坐标，再利用面积公式，结合基本不等式即可求出最小值及此时的直线方程； 【详解】（1）由变形可得， 令，则； 故直线过定点， 把代入可得：， 即交点，由交轴正半轴于点，得 把代入可得：， 即交点，交轴负半轴于点，结合可得， 所以 ， 因为，所以当且仅当时取等号，即的最小值为， 此时直线方程为； （2）由（1）得交点，， 所以的面积为， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，即S的最小值为， 此时直线方程为. 【变式7-3】【答案】（1）最小值为4，直线方程为（2）4 【详解】试题分析：（1）分别求出直线与坐标轴的交点，根据直角三角形面积公式可得，再根据基本不等式求最值，并确定的值，即得直线的方程；（2）利用向量数量积得，再根据基本不等式求最值 试题解析：解：由题意，分别令，解得 且. （1）时，当且仅当时取等.所以的最小值为4，此时直线的方程为. （2）易得，∴，， 当且仅当时取到，的最小值为4. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $