专题07 直线中的对称问题七类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以点线对称变换为核心，通过“通法+题型+挑战”三阶体系，系统构建直线对称问题的解题逻辑，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法提炼|三大核心（点线对称/变换/最值）+两条底线原则（中点在轴/连线垂直）|概念生成：对称本质→原则确立→检验规范| |题型归纳|7题型（各含1典例+3变式）|题型模版（特征+方法）：如点对称用方程组法、直线对称用交点+对称点法|原理推导：基础对称（点/线）→应用拓展（反射/最值）| |压轴挑战|9选择+3填空+6解答|对称转化与几何模型：将军饮马、代数式几何化|应用拓展：综合问题→思维突破→跨情境迁移|

专题07 直线中的对称问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求点关于直线的对称点 题型五、将军饮马中的最值问题 题型二、求直线关于点的对称直线 题型六、代数式中隐藏的最值问题 题型三、求直线关于直线的对称直线 题型七、与直线对称有关的应用 题型四、与反射有关的直线对称问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线对称与最值问题是解析几何经典重难点，所有题型均围绕点关于直线对称、直线对称变换、几何最值模型三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是中点在对称轴上，二是两点连线与对称轴垂直；所有对称计算结果最终均需代入检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求点关于直线的对称点 典例1 （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 题型模版 1.特征：已知定点与对称轴直线，求该点的对称点坐标 2.方法：①设对称点坐标 ②列方程组：两点中点落在对称轴上；两点连线与对称轴斜率乘积为（斜率存在时） ③求解方程组得到对称点坐标 ④特殊情形：对称轴平行坐标轴时可直接口算 变式1-1（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 变式1-2（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 变式1-3（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 类型二、求直线关于点的对称直线 典例2 已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 题型模版 1.特征：已知定直线与定点，求直线关于该点中心对称的直线 2.方法：①方法1：在原直线上任取两个点，分别求出两点关于定点的对称点，两点确定对称直线 ②方法2：对称直线与原直线互相平行，求出直线上一点的对称点，用点斜式写方程 ③核心性质：对称直线与原直线到对称中心距离相等 变式2-1（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-2（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 变式2-3设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 题型三、求直线关于直线的对称直线 典例3 （2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 题型模版 1.特征：已知原直线与对称轴，求原直线关于对称轴的对称直线 2.方法：①先求原直线与对称轴交点，交点一定在对称直线上 ②在原直线取异于交点的一点，求该点关于对称轴的对称点 ③交点+对称点，两点式写出对称直线 ④分类讨论：两直线平行、两直线相交两种情形 变式3-1（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式3-2（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 变式3-3（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 题型四、与反射有关的直线对称问题 典例4 （25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 题型模版 1.特征：光线入射、反射路径问题，本质为点关于直线对称模型 2.方法：①反射问题等价对称转化：入射光线、反射光线关于反射面对称 ②求光源的对称点，对称点与接收点连线即为反射光线 ③求接收点对称点，对称点与光源连线即为入射光线 变式4-1在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 变式4-2（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式4-3（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五、将军饮马中的最值问题 典例5 （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 题型模版 1.特征：直线上寻找动点，使到两定点距离之和最小、距离之差最大 2.方法：①和最小：作其中一个定点关于直线对称点，对称点与另一点连线和直线交点即为动点 ②差最大：两定点在直线同侧，连线延长与直线相交得到动点 ③利用三角形三边不等式验证等号成立条件 变式5-1（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 变式5-2（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式5-3（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 题型六、代数式中隐藏的最值问题 典例6 （24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型模版 1.特征：分式、根式代数式可转化为距离、斜率几何模型求最值 2.方法：①理解为动点到定点距离 ②理解为动点与定点连线斜率 ③结合直线与定点距离、圆与直线位置关系求解范围 变式6-1（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知实数、满足，则的最小值为_________. 变式6-2（25-26高二上·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 变式6-3（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为__________ 题型七、与直线对称有关的应用 典例7 （25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 题型模版 1.特征：综合对称变换解决路径、轨迹、参数范围综合题 2.方法：①优先使用对称转化，将折线段转化为直线段简化运算 ②理清对称对象：分清是点对称还是直线对称 ③求出坐标后代回原题条件验证取值能否取等 变式7-1（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率． 变式7-2（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． (1)当时，求点的轨迹方程； (2)若点的“距离坐标”为，求点的坐标； (3)已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 变式7-3（23-24高二上·宁夏银川·阶段检测）最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．    (1)求两个军事基地的长； (2)若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 11．（25-26高二上·新疆·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 12．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 三、解答题 13．已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 14．（25-26高二上·山东·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点边上的中线所在的直线方程为. (1)求经过顶点且平行于的直线方程； (2)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (3)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 15．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 16．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 17．（23-24高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 18．（25-26高二上·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直线中的对称问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求点关于直线的对称点 题型五、将军饮马中的最值问题 题型二、求直线关于点的对称直线 题型六、代数式中隐藏的最值问题 题型三、求直线关于直线的对称直线 题型七、与直线对称有关的应用 题型四、与反射有关的直线对称问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线对称与最值问题是解析几何经典重难点，所有题型均围绕点关于直线对称、直线对称变换、几何最值模型三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是中点在对称轴上，二是两点连线与对称轴垂直；所有对称计算结果最终均需代入检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求点关于直线的对称点 典例1 （25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 题型模版 1.特征：已知定点与对称轴直线，求该点的对称点坐标 2.方法：①设对称点坐标 ②列方程组：两点中点落在对称轴上；两点连线与对称轴斜率乘积为（斜率存在时） ③求解方程组得到对称点坐标 ④特殊情形：对称轴平行坐标轴时可直接口算 变式1-1（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 变式1-2（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解. 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 变式1-3（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 【答案】 【分析】设出对称点为，根据对称点求解的方法得到方程组，解出即可. 【详解】设对称点为，由题意可知， 解得，所以对称点为. 故答案为：. 类型二、求直线关于点的对称直线 典例2 已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 题型模版 1.特征：已知定直线与定点，求直线关于该点中心对称的直线 2.方法：①方法1：在原直线上任取两个点，分别求出两点关于定点的对称点，两点确定对称直线 ②方法2：对称直线与原直线互相平行，求出直线上一点的对称点，用点斜式写方程 ③核心性质：对称直线与原直线到对称中心距离相等 变式2-1（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 变式2-2（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 变式2-3设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 题型三、求直线关于直线的对称直线 典例3 （2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 题型模版 1.特征：已知原直线与对称轴，求原直线关于对称轴的对称直线 2.方法：①先求原直线与对称轴交点，交点一定在对称直线上 ②在原直线取异于交点的一点，求该点关于对称轴的对称点 ③交点+对称点，两点式写出对称直线 ④分类讨论：两直线平行、两直线相交两种情形 变式3-1（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 变式3-2（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，试求： (1)点关于的对称坐标； (2)直线关于直线的对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】解析  ①设点关于对称的点，则有，解得：，故关于直线对称的坐标为． ②在直线上任取一点，关于对称的点，则有解得：，由于在直线上，故，要求的直线为，化简得：，即． 变式3-3（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 题型四、与反射有关的直线对称问题 典例4 （25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 题型模版 1.特征：光线入射、反射路径问题，本质为点关于直线对称模型 2.方法：①反射问题等价对称转化：入射光线、反射光线关于反射面对称 ②求光源的对称点，对称点与接收点连线即为反射光线 ③求接收点对称点，对称点与光源连线即为入射光线 变式4-1在等腰直角中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则____________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出点关于轴和直线的对称点，结合光的反射定律列方程求解即得. 【详解】在等腰直角中，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，的重心，直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 由光的反射定律知，三点共线，则，即，而， 所以，即. 故答案为： 变式4-2（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【详解】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 变式4-3（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. 题型五、将军饮马中的最值问题 典例5 （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    题型模版 1.特征：直线上寻找动点，使到两定点距离之和最小、距离之差最大 2.方法：①和最小：作其中一个定点关于直线对称点，对称点与另一点连线和直线交点即为动点 ②差最大：两定点在直线同侧，连线延长与直线相交得到动点 ③利用三角形三边不等式验证等号成立条件 变式5-1（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 变式5-2（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    变式5-3（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 题型六、代数式中隐藏的最值问题 典例6 （24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B 题型模版 1.特征：分式、根式代数式可转化为距离、斜率几何模型求最值 2.方法：①理解为动点到定点距离 ②理解为动点与定点连线斜率 ③结合直线与定点距离、圆与直线位置关系求解范围 变式6-1（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知实数、满足，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】设点，记点、，可得出，结合将军饮马问题可得出所求代数式的最小值. 【详解】设点，记点、， 则，如下图所示： 点关于直线的对称点为，由对称性可知， 所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 变式6-2（25-26高二上·福建福州·期中）已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 变式6-3（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为__________ 【答案】4 【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 题型七、与直线对称有关的应用 典例7 （25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 题型模版 1.特征：综合对称变换解决路径、轨迹、参数范围综合题 2.方法：①优先使用对称转化，将折线段转化为直线段简化运算 ②理清对称对象：分清是点对称还是直线对称 ③求出坐标后代回原题条件验证取值能否取等 变式7-1（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3)①7；② 【分析】（1）根据折射率定义以及二倍角公式直接计算可得结果； （2）利用倾斜角与斜率的关系以及折射率为2化简表达式可求得是定值为； （3）①求出关于和的对称点，结合角度关系以及点共线可得路程长度为； ②由题意得折射光线所在直线的倾斜角为，再由角度关系和两角差的正弦公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得该介质的折射率为． 由，得， 得， 所以该介质的折射率的取值范围为． （2）是定值，且定值为． 理由如下： 由题意得的倾斜角为，则的倾斜角为， 得． 设折射角为，则的倾斜角为，则． 因为甲介质的折射率为2，所以，得． 故 （3）①如图，设该光线与的交点为，与的交点为． 设关于的对称点为． 由得，即． 设关于的对称点为． 由得，即． 易得的倾斜角为，则，得， 由光的反射性质得． 因为，所以三点共线． 同理可得三点共线，得四点共线． 易得，所以该光线经过的路程长度为 ． ②由题意得折射光线所在直线的倾斜角为． 由①得直线平行于轴，则． 由，得，得， 所以乙介质的折射率为． 变式7-2（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． (1)当时，求点的轨迹方程； (2)若点的“距离坐标”为，求点的坐标； (3)已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）由，利用点M“距离坐标”的定义，结合点到直线距离公式列式求出轨迹方程. （2）设出点M的坐标，利用点M“距离坐标”的定义列出方程组求解即得. （3）设点，再求出点关于直线对称点的坐标，由光的反射定律结合向量共线的坐标表示求出，进而求出点的坐标即可得解. 【详解】（1）由，得点M到直线，的距离相等，设点， 则，即，整理得或， 所以点的轨迹方程为或． （2）设点，依题意，，解得或或或， 所以点的坐标为. （3）设点，点关于直线对称点，关于直线对称点， 当时，，解得， 点，当时，满足上式，因此点， 当时，，解得，点， 当时，满足上式，因此点，    由光的反射定律知，点共线，由点在线段上，得， 而， 因此，解得，， 直线，由，得点， 则点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以点的“距离坐标”为. 变式7-3（23-24高二上·宁夏银川·阶段检测）最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．    (1)求两个军事基地的长； (2)若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 【答案】(1) (2)当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行 【分析】（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解 （2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）则由题设得：，直线的方程为，， 由，且，解得，所以． 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，即， 所以， 即基地的长为． （2）设爆炸产生的爆炸波圆， 由题意可得，爆炸波生成小时后，飞行在线段上的点处， 则，，所以， 爆炸波不会波及飞行器的通行，即对恒成立． 所以，即， 当时，上式恒成立； 当时，整理得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在时，恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行． 当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解. 【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：    设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称点为，则 由图知：的最小值为， 故选：D 2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 3．（23-24高二上·重庆·期末）如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果. 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为，即. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点P关于直线AB对称的点为， 点P关于y轴对称的点为，则直线MN即直线， 则直线MN的方程为， 故选：D 4．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，得出各顶点以及重心的坐标，设，.求出直线的方程，根据光的反射原理得出点关于以及轴的对称点的坐标，表示出的方程，代入重心坐标，求出的值，得出的方程.进而求出的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案. 【详解】    如图，建立平面直角坐标系，则，，，的重心坐标为，方程为，设，. 根据光的反射原理以及已知可知，点关于的对称点在的反向延长线上，点关于轴的对称点在的延长线上，即四点共线. 由已知可得点满足，解得， 所以. 易知. 因为四点共线， 所以有直线的斜率为， 所以，直线的方程为. 由于直线过重心， 所以有，整理可得， 解得或（舍去）， 所以直线的方程为，整理可得. 所以，点坐标为. 联立与的方程，解得，即， 所以，. 故选：B. 5．（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .    反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 6．（25-26高二上·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得点关于轴的对称点为和点关于轴的对称点为，以及关于轴的对称点为，得到的方程，进而求得的坐标， 【详解】由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 7．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【详解】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 8．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于轴的对称点，则反射光线所在的直线即为直线，求出直线的方程即可. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 9．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 二、填空题 10．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知直线：和，若直线上存在点P使得最小，则最小值为___________. 【答案】 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离. 【详解】因为在直线同侧， 点关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，得最小值为. 答案为： 11．（25-26高二上·新疆·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______________. 【答案】 【分析】由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于轴对称，可知反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，由此求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点关于轴对称的点， 由和确定反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 12．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【分析】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 三、解答题 13．已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【详解】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 14．（25-26高二上·山东·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点边上的中线所在的直线方程为. (1)求经过顶点且平行于的直线方程； (2)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (3)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据平行关系设出所求直线，再结合所过的点求参数，即可得； （2）根据的中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得； （3）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（2）中方程求解. 【详解】（1）由题意，设平行于的直线方程为，该直线过， 所以，故所求直线为； （2）设，又边上的中线所在的直线方程为. 则, 即①，②， 又直线与直线垂直， 所以，即③， 联立②③解得，    又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. （3）因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则， 又点在直线上，    由角平分线性质可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以， 整理得，解得或， 所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为， 即，满足题意. 所以直线的方程为. 15．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【详解】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 16．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 17．（23-24高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 18．（25-26高二上·湖北·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $