2.1.2两条直线的平行和垂直的判定（2知识点+6题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.2 两条直线的平行和垂直的判定 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 两条直线平行的判定 知识梳理 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1=k2. 注意点： (1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线. (2)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (3)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (4)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 知识点2 两条直线垂直的判定 知识梳理 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1=-. 思路方法总结 1.判断两条不重合的直线是否平行的方法 2.判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 3.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 典例·举一反三 题型一 直线平行的判定 1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 2．设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 3．（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 4．下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 5．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 题型二 已知直线平行求参数 6．已知直线经过点，，直线经过点，，且∥，则（    ） A．2 B． C．4 D．1 7．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 8．已知，若，则（    ） A． B．4 C． D． 9．已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 10．已知直线l经过两点，，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线与轴平行？ 题型三 直线垂直的判定 11．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 12．过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 14．【多选】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 15．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 题型四 已知直线垂直求参数 16．已知点，且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 17．若点与关于直线对称，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 18．已知直线的斜率为，直线经过，若，则（    ） A． B． C．1 D．5 19．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 20．直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 题型五 直线平行垂直的综合应用 21．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若三点共线，则 23．下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 24．已知A（m，4），B（－2，m），C（1，1），D（m＋2，3）四点． (1)若直线AB与直线CD平行，求m的值； (2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90°． 25．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 题型六 平行垂直在几何中的应用 26．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 27．设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 29．已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 30．已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 两条直线的平行和垂直的判定 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 两条直线平行的判定 知识梳理 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1=k2. 注意点： (1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线. (2)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (3)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (4)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 知识点2 两条直线垂直的判定 知识梳理 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1=-. 思路方法总结 1.判断两条不重合的直线是否平行的方法 2.判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 3.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 典例·举一反三 题型一 直线平行的判定 1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 2．设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 3．（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】CD 【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系； 【详解】对于选项A，因为直线经过点，， 所以直线的斜率， 又直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故直线与直线平行或重合，故A错误； 对于选项B，直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与不平行，故B错误； 对于选项C，，，则有，故C正确； 又，则，，不共线，故． 对于选项D，由已知点的坐标，得与均与轴垂直且不重合，故有，故D正确． 故选：CD． 4．下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 【答案】①③④ 【分析】利用斜率定义及坐标公式计算判断①②③；求出直线倾斜角判断④. 【详解】对于①，直线的斜率，直线的斜率，，所以； ②直线的斜率，所以不平行于； ③直线的斜率，直线的斜率，，所以； ④轴，轴，即直线与直线的倾斜角都为，所以. 故答案为：①③④ 5．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 题型二 已知直线平行求参数 6．已知直线经过点，，直线经过点，，且∥，则（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】A 【分析】平面直角坐标系内两直线平行，其中一条斜率不存在，则另一条直线斜率也不存在. 【详解】由两点的坐标知的斜率不存在，又∥，所以的斜率也不存在，所以. 故选：A. 7．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】首先根据两条直线平行转化为其方向向量平行，进而根据向量平行的条件求解参数即可 【详解】设直线的方向向量，直线的方向向量， 由于，所以，因此可得：，解得：. 故选：A 8．已知，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据平行列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，， 又，则，即，解得． 故选：B 9．已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】因为两条直线互相平行，所以，所以， 当且仅当时取等号，故实数a的最大值为． 故答案为：． 10．已知直线l经过两点，，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线与轴平行？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线与轴平行，则直线的斜率，据此可以求的值； （2）直线与轴平行，则直线的斜率不存在，据此可以得出的值. 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率， 所以. （2）若直线与轴平行，则直线的斜率不存在， 所以. 题型三 直线垂直的判定 11．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 12．过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】D 【分析】根据坐标可知直线斜率不存在，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意点和点， 所以直线斜率不存在，且直线的方程为， 所以直线与直线垂直. 故选：D. 13．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标求得斜率，从而确定正确答案. 【详解】， ， 直线的斜率不存在，所以只有，所以． B选项正确，其它选项错误. 故选：B 14．【多选】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 15．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【答案】(1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （2）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （3）根据法向量关系判断两直线是否垂直. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． （3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直． 题型四 已知直线垂直求参数 16．已知点，且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 【答案】B 【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解． 【详解】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为 此时直线的方程为，直线的方程为，故; 当时， 则 解得， 综上，或. 故选：B. 17．若点与关于直线对称，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，则，根据斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解． 【详解】由题意知，则， ∴，得， 设的倾斜角为，， ∴，则． 故选：B． 18．已知直线的斜率为，直线经过，若，则（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，直线的斜率为，，所以直线的斜率存在， 所以，解得． 故选：D 19．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可. 【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 20．直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 题型五 直线平行垂直的综合应用 21．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 22．在平面直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若三点共线，则 【答案】ACD 【分析】利用平行直线的斜率相等可判断；利用垂直直线的斜率乘积为可判断；利用向量夹角的余弦值公式可判断；由三点共线可得，及向量共线的坐标表示，结合二次函数的最值可判断D. 【详解】对于：当时，， ，，且与不重合可知，故正确； 对于：， 因为，所以， 可得，故错误； 对于：当时，，，，， 于是，， 故，故正确； 对于：由三点共线可知， 而，， 所以， 即， 可得， 即，故正确. 故选：ACD. 23．下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确； 【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误； 对于C，的斜率为，由，所以不成立，故C错误； 对于D，过点且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.     故选：AD. 24．已知A（m，4），B（－2，m），C（1，1），D（m＋2，3）四点． (1)若直线AB与直线CD平行，求m的值； (2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90°． 【答案】(1)m＝0或m＝1 (2)证明见解析 【分析】（1）由直线的位置关系列式求解 （2）转化为向量垂直，由数量积运算列式证明 【详解】（1）①当直线AB的斜率不存在时，m＝－2，此时C（1，1），D（0，3），则直线CD的斜率存在，故直线AB与直线CD不平行，故； 同理可得，所以直线AB与直线CD的斜率都存在． ②直线AB的斜率为，直线CD的斜率为． 因为直线AB与直线CD平行，所以，即， 整理可得，解得m＝0或m＝1， 检验可知，当m＝0或m＝1时，直线AB与直线CD平行，故m＝0或m＝1． （2），，则， 所以无论m取何值，总有∠ACB＝90°． 25．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 【答案】(1)m＝－或1 (2)m＝或－3 (3)m＝或－1 【分析】（1）倾斜角是，斜率为，由两点坐标计算出斜率，等于－1可得值； （2）求出过两点(3,2)，(0，－7)的直线的斜率，由斜率互为负倒数可得； （3）求出过两点(2，－3)，(－4,9)的直线的斜率，由斜率相等可得． 【详解】（1）由kAB＝＝－1，解得m＝－或1. （2）由kAB＝，且＝3，∴＝－，解得m＝或－3. （3）令＝＝－2，解得m＝或－1. 题型六 平行垂直在几何中的应用 26．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平行、垂直关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 27．设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，，， 因为，可知，故A正确； 因为，可知，故B正确； 因为，可知PS与QS不平行，故C错误； 因为，可知，故D正确； 故选：ABD. 28．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 29．已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【分析】（1）依题意可得，则，利用斜率公式计算可得； （2）分或为直角顶点两种情况讨论，分别计算可得； （3）结合（1）（2）得解. 【详解】（1）因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． （2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． （3）若为直角顶点，由（1）知； 若为直角顶点，由（2）知； 若为直角顶点，由（2）知． 综上可知，或或． 30．已知，，． (1)求点的坐标，满足，； (2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【详解】（1）设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． （2）设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $