专题1.2 空间向量的数量积运算与基本定理重难点题型专训讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册(

本讲义聚焦空间向量的数量积运算与基本定理核心知识点，系统梳理空间向量夹角与数量积（含定义、性质、运算律）、空间向量基本定理（基底概念及向量表示步骤）、基本定理应用（证明平行垂直、求夹角距离）的递进脉络，搭建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以6大基础题型（如数量积概念辨析、基底表示向量）和2大提高题型分层设计，结合即时训练与例题解析，培养学生数学思维的推理与运算能力。通过几何问题中向量工具的应用，发展数学眼光的空间观念，课中辅助教师教学，课后助力学生自我检测、查漏补缺。

专题1.2 空间向量的数量积运算与基本定理重难点题型专训 （3个知识点+6大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、空间向量数量积的概念辨析 题型二、求空间向量的数量积 题型三、空间向量数量积的应用 题型四、空间向量基底概念及辨析 题型五、用空间基底表示向量应用 题型六、空间向量基本定理及其应用 第二部分·练提高题型 题型一、空间向量数量积的相关求解 题型二、空间向量基本定理相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 空间向量的夹角与数量积 1.空间向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. （2）范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R.②a·b＝b·a（交换律）. ③a·（b＋c）＝a·b＋a·c（分配律）. 3.空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定. 4.空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： （1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. （3）代入求解. 5.空间向量数量积的应用 （1）利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； （2）利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【即时训练】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，若，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D．2 【答案】A 【分析】由空间向量的数量积的坐标运算计算即可. 【详解】由于，则， 即， 解得. 故选：A 2．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【分析】利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 知识点02 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 2.用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. （3）下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量. 【即时训练】 1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】选项A：因为， 所以，，共面，不能构成基底； 选项B：因为， 所以，，共面，不能构成基底； 选项C：设存在，，使得， 所以，故方程组无解，故不存在实数的值使得， 所以，，不共面， 故可作为空间的一个基底； 选项D：，所以，，共面，不能构成基底． 故选：C． 2．（25-26高二上·江西·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________． 【答案】1 【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为E是棱PC上一点，且，即E是棱PC的中点， 所以， 则. 故答案为：1 知识点03 空间向量基本定理的应用 1.证明平行、共线、共面问题 （1）对于空间任意两个向量a，b（b≠0），ab的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. （2）如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb. 2.求夹角、证明垂直问题 （1）θ为a，b的夹角，则. （2）若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3.求距离（长度）问题 （）. 4.利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： （1）平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； （2）几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； （3）几何中求距离（长度）都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得. 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： （1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. （2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. （3）在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【即时训练】 1．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据列出方程组即可求解． 【详解】设， 则 ， 又，则，解得，，， 所以． 故选：A． 2．（24-25高二上·北京·阶段检测）三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则__________. 【答案】 【分析】由条件，结合空间向量基本定理可求，由此可求结论. 【详解】因为，，，不共面， 所以，，， 所以. 故答案为：. 【基础题型一 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（2025·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点. （1）求，的大小； （2）求向量在向量方向上的投影的数量. 【答案】（1），；（2）1 【分析】（1）由，可得，由，可得； （2）由空间向量投影的定义找出在向量方向上的投影即可求解 【详解】（1）在正方体中， 因为， 所以， 因为， 所以； （2）连接， 因为平面， 所以， 又因为， 所以在向量方向上的投影为， 因为， 所以向量在向量方向上的投影的数量为1 【基础题型二 求空间向量的数量积】 【例2】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 1．（25-26高二下·河南开封·开学考试）若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）（多选）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为计算即可； （2）直接计算即可； （3）将转化为，将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 【基础题型三 空间向量数量积的应用】 【例3】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 2．（24-25高二上·河北唐山·期末）（多选）已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设出点的坐标，根据，求出横纵竖坐标的关系式，代入检验即可. 【详解】设，则 又因为，所以，即 选项BCD都满足题意. 故选：BCD 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 4．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又， ． 【基础题型四 空间向量基底概念及辨析】 【例4】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次判断各选项的向量，与，不共面即可. 【详解】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足. 对于B，由于，，，共面，不满足； 对于C，由于，，，共面，不满足； 对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足； 故能与，构成空间的一个基底的只有． 故选：A 1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B 2．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基底的性质，判断正确结果； 【详解】由题意得向量不共面， 则向量不共面，向量不共面，向量不共面；所以A，C，D正确； 因为与共面，所以B错误； 故选：ACD. 3．（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）已知，，，若不能构成空间的一个基底，则_________. 【答案】1 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 则共面，存在，使得， 即，解得. 故答案为：1. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？ 【答案】 因为，， 故、、共面，、、共面， 假设、、共面，则存在实数、，使得， 所以，，则、、共面，与题设条件矛盾， 故假设不成立，即、、可构成空间向量的一组基底 【分析】利用共面向量的基本定理可判断出、、共面，、、共面，然后利用反证法与共面向量的基本定理可证得、、不共面，即可得出结论. 【详解】略 【基础题型五 用空间基底表示向量应用】 【例5】（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， 1．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 2．（25-26高三上·安徽·期中）（多选）在长方体中，是的中点，（，），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由空间向量加法法则即可求解. 【详解】因为，故，． 故选：BD 3．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 【答案】 【详解】， ，，． 4．（25-26高二上·河北张家口·期中）如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 （2）由题意得， 故 ． 【基础题型六 空间向量基本定理及其应用】 【例6】（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合向量坐标的意义求解即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为， 得， 所以在基底下的坐标为. 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】在正方体中，由于点是侧面的中心， 所以， 所以，，即． 故选：AD. 3．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理用表示后即得. 【详解】由题意， ， 又， 所以. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知是空间的一个基底，且，，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能，理由见解析 【分析】（1）确定，，，得到，得到证明. （2）计算得到，故不能作为基底，得到答案. 【详解】（1）； ； ； 设，即 故，解得，故， 故A，B，C，D四点共面. （2）假设，则， 故，无解； 故能作为基底. 【提高题型一 空间向量数量积的相关求解】 【例1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 2．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知平行六面体的各个面均为菱形，设，，且，两两之间的夹角都是，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先根据题意得到，且两两之间的夹角均为.对选项A，计算即可判断A正确；对选项B，计算，即可判断B错误；对选项C，计算，即可判断C正确；对选项D，分别计算和，即可判断D正确. 【详解】由已知得，且两两之间的夹角均为， 所以， 对选项A，，故A正确； 对选项B， . 故B错误； 对选项C， ，即，故C正确； 对选项D， ， 又因为，所以， 又因为余弦函数在单调递减， 故，故D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 4．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【详解】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 【提高题型二 空间向量基本定理相关求解】 【例2】（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 1．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 所以 . 2．（24-25高二上·四川泸州·期中）（多选）已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．存在不全为零的实数x，y，z，使得 B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得 C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有 D．不存在另一个基底，使得 【答案】BC 【分析】若成立则不能构成空间的基底，A错误，根据基底的定义知B正确，排除，，再确定能够得到C正确，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：若存在不全为零的实数x，y，z，使得， 则不能构成空间的基底，错误； 对选项B：是空间的一个基底，故对空间任一向量， 存在唯一的有序实数组，使得，正确； 对选项C：，， 和不能与，构成空间另一个基底， 设，则，则， 故能与，构成空间另一个基底，正确； 对选项D：表示以为顶点，以为相邻三边的长方体对角线向量， 绕此对角线长方体旋转，基底变成了另一基底， 满足，错误； 故选：BC 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 4．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 5．（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 6．（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 7．（25-26高二上·陕西渭南·期中）（多选）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 【答案】BD 【分析】A：根据直线可能平行或重合作出判断；B：由单位向量的模长均为作出判断；C：根据数量积小于，向量夹角为钝角或作出判断；D：根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A：若空间向量共线，则向量所在直线平行或重合，故A错误； B：若与是空间单位向量，则，故B正确； C：若，则与的夹角为钝角或，故C错误； D：由空间中任意两个向量共面，可知D正确； 故选：BD. 8．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据基底的概念分别判断各选项. 【详解】A选项：设，即， 解得，即， 所以，，不能作为空间向量的基底，A选项正确； B选项：设，即，方程无解， 所以向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，B选项错误； C选项：设，即， 解得，即， 所以向量，，不能作为空间向量的基底，C选项正确； D选项：设，即，方程无解， 即向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，D选项错误； 故选：AC. 9．（25-26高二上·广西百色·期末）（多选）在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以本选项正确； B：，所以本选项不正确； C：，所以本选项不正确； D： ，所以本选项正确. 故选：AD 10．（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）（多选）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可. 【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确； 对B，设，其中， 则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确； 对C，显然不存在实数使得成立， 则能构成空间向量的一组基，故C正确； 对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 12．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 【答案】 【分析】由空间向量数量积的定义和运算性质即可求解. 【详解】设，因为， 所以， 则． 所以，即． 故答案为： 13．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 【答案】 【分析】设，然后解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 14．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 15．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 【答案】/ 【分析】将用、、表示，结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出的值. 【详解】在三棱柱中，、分别是、的中点， 则， 又因为，且、、不共面， 所以，，故. 故答案为：. 16．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 17．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算法则计算求解； （2）先利用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，再通过向量数量积运算求解． 【详解】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 18．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 19．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【详解】（1）因为 ，又， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以，. 20．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2) ， 所以． 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 空间向量的数量积运算与基本定理重难点题型专训 （3个知识点+6大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、空间向量数量积的概念辨析 题型二、求空间向量的数量积 题型三、空间向量数量积的应用 题型四、空间向量基底概念及辨析 题型五、用空间基底表示向量应用 题型六、空间向量基本定理及其应用 第二部分·练提高题型 题型一、空间向量数量积的相关求解 题型二、空间向量基本定理相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 空间向量的夹角与数量积 1.空间向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. （2）范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R.②a·b＝b·a（交换律）. ③a·（b＋c）＝a·b＋a·c（分配律）. 3.空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定. 4.空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： （1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. （3）代入求解. 5.空间向量数量积的应用 （1）利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； （2）利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【即时训练】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，若，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D．2 2．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 知识点02 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 2.用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. （3）下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量. 【即时训练】 1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________． 知识点03 空间向量基本定理的应用 1.证明平行、共线、共面问题 （1）对于空间任意两个向量a，b（b≠0），ab的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. （2）如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb. 2.求夹角、证明垂直问题 （1）θ为a，b的夹角，则. （2）若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3.求距离（长度）问题 （）. 4.利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： （1）平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； （2）几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； （3）几何中求距离（长度）都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得. 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： （1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. （2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. （3）在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【即时训练】 1．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·阶段检测）三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则__________. 【基础题型一 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（2025·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点. （1）求，的大小； （2）求向量在向量方向上的投影的数量. 【基础题型二 求空间向量的数量积】 【例2】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 1．（25-26高二下·河南开封·开学考试）若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）（多选）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 3．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【基础题型三 空间向量数量积的应用】 【例3】（25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 2．（24-25高二上·河北唐山·期末）（多选）已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 4．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【基础题型四 空间向量基底概念及辨析】 【例4】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）已知，，，若不能构成空间的一个基底，则_________. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？ 【基础题型五 用空间基底表示向量应用】 【例5】（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·期中）（多选）在长方体中，是的中点，（，），则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 4．（25-26高二上·河北张家口·期中）如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【基础题型六 空间向量基本定理及其应用】 【例6】（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海松江·期中）在三棱柱中，D为棱的中点．若存在，满足，则______． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知是空间的一个基底，且，，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 【提高题型一 空间向量数量积的相关求解】 【例1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知平行六面体的各个面均为菱形，设，，且，两两之间的夹角都是，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 4．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【提高题型二 空间向量基本定理相关求解】 【例2】（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川泸州·期中）（多选）已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．存在不全为零的实数x，y，z，使得 B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得 C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有 D．不存在另一个基底，使得 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 4．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·陕西渭南·期中）（多选）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 8．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（25-26高二上·广西百色·期末）（多选）在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）（多选）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 12．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 13．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 14．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 15．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 16．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 17．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 18．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 19．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 20．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $