第三讲 圆的方程同步复习讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以“圆的方程”为核心，通过分点框架系统梳理知识体系，涵盖基本概念、四种方程、位置关系等内容，并用对比表格呈现两圆位置关系的几何特征、代数特征及公切线条数，清晰展现知识内在联系与重难点。 讲义亮点在于“考点-例题-变式”分层练习设计，如已知圆过点求标准方程、点与圆位置关系求参数范围等题型，结合转化思想培养数学思维，课后巩固含高考真题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第三讲 圆的方程 知识梳理 知识点一：基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 知识点二：基本性质、定理与公式 1、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 2、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点三：直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 1．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 2．两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点四：关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 知识点五：圆的最值与范围问题 1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题. 考点精讲 考点一 圆的方程 【【例1-1】 已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】 已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【例1-3】 “关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变1-1】 已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变1-2】 （2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【变1-3】 “”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 点与圆的位置关系 【例2-1】 点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】 若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【变2-1】 已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【变2-2】 若点在圆的外部，则实数的取值范围是 . 考点三 圆与圆的位置关系 【例3-1】 圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【例3-2】 若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变3-1】 已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变3-2】 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 考点四 直线与圆的位置关系 【例4-1】 直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【例4-2】 过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变4-1】 “”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【变4-2】 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【例4-3】 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【变4-3】 已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【例4-4】 直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4-5】 已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【变4-4】 过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【变4-5】 已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（       ） A．0 B．2 C．4 D．6 考点五 圆的综合 【例5-1】 已知为圆上任意一点，且． (1)求的最大值和最小值； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，求的最大值和最小值． 【例5-2】 已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变5-1】 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【变5-2】 已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 课后巩固 1.（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 3．已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 6.圆和圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 7.已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 8.已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 9.已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 圆的方程 知识梳理 知识点一：基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 知识点二：基本性质、定理与公式 1、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 2、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点三：直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 1．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 2．两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点四：关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 知识点五：圆的最值与范围问题 1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题. 考点精讲 考点一 圆的方程 【【例1-1】 已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即，化简得, 解得，代入方程得,则圆的标准方程为. 故选：A. 【例1-2】 已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由，得，可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 【例1-3】 “关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 【变1-1】 已知圆的圆心为，且直线与圆相切，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r即可得解. 【详解】因为直线与圆相切，设圆的半径为r， 则，所以圆的标准方程为. 故选：A. 【变1-2】 （2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得，则所求圆的方程为. 【变1-3】 “”是“方程表示圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，化为圆的方程为标准方程，结合圆的方程，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程，可得， 若时，可得，此时方程表示圆，即充分性成立； 反之：方程表示圆时， 例如：当时，方程可化为也可以表示圆，所以必要性不成立， 所以“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 故选：A 考点二 点与圆的位置关系 【例2-1】 点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆，可得：，解得， 又在圆外，所以，得，所以k的取值范围为. 故选：C 【例2-2】 若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 【变2-1】 已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得，所以. 故选：B 【变2-2】 若点在圆的外部，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由于点在圆的外部，圆的半径需大于0，将点代入圆的方程列出不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】解：圆的标准方程为，则， 若点在圆的外部，则， 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为：. 考点三 圆与圆的位置关系 【例3-1】 圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B 【例3-2】 若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设，将两圆方程作差即可得公共线方程. 【解答过程】由题设，将两圆作差，有， 整理可得，即公共弦所在直线为. 故选：B. 【变3-1】 已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 故选：A. 【变3-2】 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两圆方程相减可得答案. 【解答过程】，① ，② ①②得. 故选：B. 考点四 直线与圆的位置关系 【例4-1】 直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径.由可知，直线与圆相离. 故选：A. 【例4-2】 过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 【变4-1】 “”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【解题思路】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【解答过程】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 【变4-2】 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 【例4-3】 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为，， 当时，. 故选:B． 【变4-3】 已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 【例4-4】 直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可得圆心到直线的距离，结合弦长可得，代入求解即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得：，解得， 即，整理可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【例4-5】 已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 【变4-4】 过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 【变4-5】 已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（       ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由题知，弦所在直线方程为，且在弦所在直线上，进而得. 【详解】解：因为圆与圆交于A、B两点， 所以弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，平分圆的周长， 所以，在弦所在直线上，即， 所以.故选：C 考点五 圆的综合 【例5-1】 已知为圆上任意一点，且． (1)求的最大值和最小值； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，求的最大值和最小值． 【解析】（1）因为，即在圆外， 圆的圆心，半径， ， 因为，即， 所以的最大值为，最小值为； （2）圆的圆心，半径， 令可得，即圆和直线总有公共点求的最大值和最小值， 即，解得， 所以的最大值为，最小值为； （3）， 令， 当即时， 此时点在圆外，所以，求的最大值和最小值转化为求 圆与圆总有公共点求的最大值和最小值，而 两圆心的距离为， 当两圆外切时，解得，此时， 当两圆内切时，两圆心的距离，所以只能圆在圆的内部， 所以，解得，此时， 所以的最大值为，最小值为． 【例5-2】 已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将直线方程变形求出直线所过的定点，再结合点与圆的位置关系，分析点到直线距离的最值情况，进而确定距离的取值范围. 【详解】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为． 故选：B． 【变5-1】 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式求出点的轨迹可得. 【详解】设点，因为，所以，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以点到直线的最大距离． 故选：B． 【变5-2】 已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离可得，由于，所以与互补，从而得弦长AB最小得情况，即可得所求. 【详解】圆心到直线的距离为， 在直角三角形OAP中，，所以，由于， 所以可得，则，因为，所以与互补， 所以当时，弦长AB最小，此时，弦长. 故选：C. 课后巩固 1.（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2.（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为，，解得． 故答案为： 3．已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【解答过程】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 4．设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用方程表示圆的充要条件列式，结合圆心在直线上求解即得. 【解答过程】由方程表示圆，得， 圆的圆心为，又此圆关于直线对称，则，即， 因此，解得或， 所以的取值范围为. 故选：B. 5．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解答过程】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 6.圆和圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】A 【解题思路】根据圆心距和半径的关系判断两圆的位置关系. 【解答过程】圆，可化为，所以圆心，半径为2， 圆 ，可化为，所以圆心，半径为7， 则，故圆和圆内切． 故选：A. 7.已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 8.已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【解答过程】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 9.已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $