专题2.5 直线与圆的位置关系 重难点题型专训讲义（3个知识点+18大基础题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高二上学期数学重难点专训（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理直线与圆的位置关系知识体系，以3个核心知识点为纲，用对比表格呈现位置关系判定方法（代数法与几何法），结合几何图形辅助理解，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，18大基础题型覆盖判定、参数求解、切线方程等基础应用，2大提高题型深化综合求值，搭配自我检测，通过“由位置关系求参数”“切线长计算”等题型培养数学思维与运算能力，助力不同层次学生巩固提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题2.5直线与圆的位置关系重难点题型专训 (3个知识点+18大基础题型+2大提高题型+自我检测) 题型预览 目录 第一部分·练基础题型 题型一、判断直线与圆的位置关系 题型二、由直线与圆的位置关系求参数 题型三、直线与圆的位置关系求距离的最值 题型四、求直线与圆交点的坐标 题型五、直线与圆相交的性质韦达定理及应用 题型六、直线与圆中的定点定值问题 题型七、过圆上一点的圆的切线方程 题型八、过圆外一点的圆的切线方程 题型九、切线长 题型十、切点弦及其方程 题型十一、已知切线求参数 题型十二、圆的弦长与中点弦 题型十三、已知圆的弦长求方程或参数 题型土四、圆内接三角形的面积 题型十五、直线与圆的实际应用 题型十六、坐标法的应用-直线与圆的位置关系 题型土七、过圆内定点的弦长最值（范围） 题型十八、圆上点到定直线（图形酚上的最值（范围） 第二部分·练提高题型 题型一、直线与圆的相关求值 题型二、圆的切线及切线方程的相关求解 第三部分·自我检测 知识梳理 尽知识点01直线与凰的位置关系及判定 1.直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 dr d r d>r 方程组解的情 有两组不同的解 仅有一组解 无解 况 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数 解，即△>0，则直线与圆相交：若有两组相同的实数解，即△0，则直线与圆相切；若无实数解，即 △<0，则直线与圆相离 ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当KT时，直线与圆相交；当T时，直线与 圆相切：当心r时，直线与圆相离 【即时训练】 1.(2026山东聊城模拟预测)已知圆C,(t-2+广=4与直线y=:,则圆C与直线'的位置关系 为() A.相交 B.相离 C.相切 D.相交或相切 【答案】A 【详解1圆C:(x-2+y=4的圆心为20)，半径为2. d 22 圆心(2,0)到1：y=x的距离Vk2+1, 则圆C与相交，故A正确 2.（25-26高二下甘肃定西期末)已知直线4+3y+2m=0与圆C:(6x+3+(0y-=1相交，则实数m 的取值范围为」 (2,7) 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为(：+3)护+0-=1， C(-3,1 可得圆心坐标为 ,圆的半径r=1 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即<r, d= 4×(-3)+3×1+2ml2m-g 2m-g<1 由题意得 V42+3 5,得到5 整理得2m-9<5,解得2<m<7, 因此实数m的取值范围为 27) 国知识点2圆的切线及切线方程 1.自一点引圆的切线的条数： ()若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (②)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点： (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线 2.求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： 1 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率《k0),则由垂直关系可知切线斜率为k,由点斜式方程可求得 切线方程如果0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆+广=广上一点P(,为}的切线方程为+w= ②经过圆（-a+-b=r上一点P,)的切线方程为G-ax-a)+-b0-)=产 ®经过圆r+y+Dx++0上一点P化，为)的切线方程为x+%y+D.x+E"牛业+FD 2 2 【即时训练】 ）向圆C:(++0+=3引切线，则切线长的最小 (m,4-m) 1.(25-26高二上湖南邵阳·期中)从点 值为() A.5 Bi7 C vi9 【答案】A 【分析】利用圆的切线长公式求解. 【详解】由国C6++0+=3,则圆心C,- ,半径为R=5 则切线长为/=VPC-R2=Vm+1旷+5-m-3=2(m-2y}+15】 当m=2 时，切线长取得最小值 5 此时点P22),且2+旷+2+少>3.即点P(22)在圆外，满足题意 故选：A 2.(25-26高二下上海期中)经过圆C:+)广=25上一点4(4，-3 且与圆相切的直线方程为 【答案】3y-4x+25=0 【分折】根职思意，求得=子，由直线C1与切发垂直得出切线的车，结合点斜式方程，即可求解 -3-03 【详解】由题意，圆x+y2=25,可得圆心坐标为C(0,0),因为A(4,-3)在圆上，则k=4-0=-4, ,k-14 则过点A(4,-3)且与圆相切的直线的斜率为c:3 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为y+3-x-4),即3-4红+25=0： 屋知识点03圆的弦长 1.圆的弦长问题 设直线1的方程为h,圆C的方程为x-广+0-，广=广，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长1三者具有关系式： (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为 (x,),B(x2,y2) ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解， y=kx+b ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组(x-}+(y-)}=2消元后得一元二次方程，由一元二次方 程中根与系数的关系可得5+3,5或+%”少的关系式，通常把1B+-或 y-y 叫作弦长公式， 2.解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线 ①如图2-5-14①，当直线1与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD+d.其中r为圆的半径，d为圆 心到直线的距离： ②如图2-5-14②，当直线1与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=21r: ③如图2-5-14③，当直线1与圆C相离时，最小距离为BD=r,最大距离为AD=+r ② ③ 图2-5-1-4 (2)利用直线与圆的位置关系解决最值（取值范围）问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标一一函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参 数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值（取值范围）对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何 性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径 y-b ①形如= -。的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 ②形如+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题 ③形如r-a+(y-b} 的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦， 【即时训练】 AB=() 1.(2026广东佛山二模)设直线：y=2r+4与圆C:r+少-4y=0交于4B两点， 85 45 2√5 A.5 B.5 C.1 D.5 【答案】A 【详解1由园C:+广-4y=0,即+-2=4，则圆心为0,2)，半径r=2。 -2+42 d= 则圆心(0,2)到直线1：2x-y+4=0的距离为V22+(15, 所以=2P-=24 48V5 55 2.(25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测)已知直 3x+y+m=0(m>0)与圆+y-2y-4=0相交于 A,B两点， 若H=0 则的值为. 【答案】4 【分析】求出圆心到直线的距离，利用勾股定理表示弦长，进而求出m即可 【详解】由+少-2y-4=0可得+(0-少=5， ,半径为=5 (0,1) 所以该圆圆心为 d=1+m-+m 所以圆心到直线3x+y+m=0的距离√32+1V10, 反因为2V2-dP=ABL.即25-d=10,解得≈V0 1+m_V10 所以√10 2,即1+m=5,解得m=4或m=-6(由m>0舍去)， 所以m=4, 故答案为：4 ☑ 第一部分 练基础题型 基础题型 【基础题型一判断直线与圆的位置关系】 【例1】(2026陕西商洛三模)直线：x+V5y=0与圆M:(-5+广=4 的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定的 【答案】A 5+5.05 d= 【详解】因为圆心M(5,0)到直线x+V5y=0的距离为 +( 2 又圆M的半径r=2 由d>r可知，直线l与圆M相离， 变式训练 1,(2526高二上江苏南京期末)已知直线：+-户=0与圆C,￥+y=广，若 .A(a,b) 在直线 C 上，则直线与圆的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 【答案】B 【分析】依题意可得a2+b2=r2,再求出圆心到直线的距离，即可判断 【详解】因为点 A(a,b 在直线'上，所以a+b-广2=0，即a+2=r2 圆C:x2+2= 的圆心为0,0)，半径为厂 222 所以圆心到直线，的距离后+衣F问H, 所以直线I与圆C相切 故选：B 2.(2425高二上安徽合肥期中)（多选）判断直线3x+5y-23=0与圆（x-2)°+(0-3)=1 的位置关系， 下列说法错误的有() A.相交且直线过圆心 B.相交但直线不过圆心 C.相切 D.相离 【答案】ACD 【分析】利用点线距离公式求圆心到直线距离，并判断其与半径的大小关系，即可得答案. 【详解】由(x-2少+0-3)=1，其圆心为2,3)，半径为1， d=13x2+5x3-231.2V34 <1 所以圆心到直线3x+5y-23=0的距离 V9+25 V3417 显然直线与圆相交，但不过圆心 故选：ACD a,b,c ax+by+c= x2+y2=1 3.(2425高三上山西晋城期末)已知为锐角三角形的三条边，则直线 与圆 的位置关系是 【答案】相交 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断条件即可得到结果 【详解】由题意可知+-c2>0,则c<v+，+少=l的圆心到直线++c=0 的距离 d- 0+0+c <1 Va2+b2 ax+by+c=0 2+y2=1 所以直线 与圆 相交 故答案为：相交 2+y2-4x+6y-12=0 4.(25-26高二上·甘肃兰州期中)判断圆 与下列直线的位置关系 x+y=5 (1) 4x+3y=24 (2) 【答案】(1)相交 (2)相切 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断 【详解】4)+y-4r+6y-12=0→(-2+0+3}=25 故圆心为 2,-3 ,半径为5， 2-3-5-32<5 则圆心(2，-3)到直线x+y=5的距离为1+1 故直线+y=5与圆 x2+y2-4x+6y-12=0 相交； 2)图心亿，到直线4+3y=24的离为6，-写 4x+3y=24 x2+y2-4x+6y-12=0 故直线 与圆 相切 【基础题型二由直线与圆的位置关系求参数】 【例2】(2526高二下广东广州期中)已知圆M:(-+(0y-a=l与直线y=l恰有2个交点，则a的 取值范围是() A.(0,) B.（1) c.（1,2) D.(0,2) 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不 等式求解即可 【详解】解：由题意得， M(a,),半径r=1,直线为’-1=0 设圆心M到直线的距离为/，侧则由点到直线的距离公式，可得d=a-」-口-。 1 若圆与直线有2个交点，则d<r,即a-<1,解得0<a<2,所以a∈(0,2) 变式训练 1. (2026贵州贵阳模拟预测)已知直线1：x+y-3=0被圆C:(x-+0-a+1旷=l裁得的弦长为2，则 实数a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】D 【详解1由题可得圆x-a+-a+少=l的圆心为a,a-),半径为1， 直线'被圆截得的弦长为2，则直线'过圆心(a,a-), 圆心代入直线I得a+a-1-3=0,解得a=2。 2. (2526高二上甘肃平凉期末)《多选)过点P(5,-)的直线1与圆+y=1有公共点，则直线1的 斜率可以是() A.3 B.2 C.-5 D.3 【答案】AD 【分析】法一：设直线的斜率为k,可得直线I的方程，与圆联立，可得关于x的一元二次方程，由题意， 判别式4≥0 0，计算化简，即可得答案：法二：设直线方程为 +1=k(x+W3) ,根据圆心到直线的距离小于 等于半径即可得到不等式，解出即可 【详解】法一：由题意，直线1的斜率存在，且设为k,则直线I的方程为 y+1=k(x+③) 2+y2=1 因为直线与圆 有公共点， y=kx+3k-1 所以联立x2+y2=1，得(1+k2)x2+(2V3k2-2k)x+3k2-2W3k=0, 判别式△=(25联-2-40+X3-25)≥0，解行0≤k≤5 法：设直线1的方程为+1=+)，即-y+-1=0, x2+y2=1 因为直线与圆” 有公共点， 3-1 ≤1 则V+1,解得0≤k≤V5 故选：AD 3.(25-26高二下广东广州期中)，直线1：x-y-1=0交圆x-旷+0-2=4于4，B两点，则4B的弦 长为 【答案)2V2 【详解1圆-+0-2= 的圆心为，2)，半径为r=2 圆心到直线x-y-1=0的距离为 高后 弦长为B=2P-d=2V2 4,(25-26高二上陕西榆林阶段检测)已知直线：x-y+4=0,圆C:(-2)+(0-a=2 (1)若直线1把圆C分成面积相等的两部分，求实数a的值： (2)若直线与圆C相切，求实数a的值： 【答案】(1)a=6 (2)a=8或a=4 【分析】(1)直线！平分圆C面积，意味着直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求a; (2)直线！与圆C相切，利用圆心到直线距离等于半径来求a. 【详解】(1)，直线把圆C分成面积相等的两部分， ∴圆心 2,a在直线上 即2-a+4=0,解得a=6: (2②由题知，圆C的图心为2），半径为5， :直线：x-y+4=0与圆C相切， d= 2-a+4-2 “.圆心(2，a)到直线l的距离V?+1? 解得a=8或a=4, 【基础题型三直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例3】(24-25高三上北京西城期末)已知点 0.,0), PO=l若点(4.其中eR,则 点P满足 PA 的最小值为() A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【分析】根据直线和圆的位置关系求得正确答案 【详解]由于PO=,所以P是单位圆上的点， 由于4)，其中1∈R,所以A是直线”=4上的点， PA 画出图象如下图所示，由图可知， 的最小值为4-1=3 故选：C y=4 0 变式训练 1,(24-25高二上江苏常州期中)设曲线"=V-+2x上点到直线3x-4y+5=0的距离为m,则实数m 的取值范围为() 「38 A.55 B e 【答案】B 【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案 【详解1曲线y=V+2,其中2+2x≥0,20，即0≤x≤2，y20, x-1)2+y2=1 曲线方程可化为 ,其中0≤x≤2y≥0 ，即曲线的轨迹是一个半圆 、 3+58 因为圆心(1,0)到直线3x-4y+5=0的距离√32+425， 3 故半圆上一点到直线的最小距离mm=d-r 5 16+5_11 半圆上点(2,0)到直线的距离最大 .mmax = V32+425, 「311 则m的取值范围为5’5， 故选：B y 3x-4y+5=0 2.(2425高二上旷东广州期末)《多选)已知点P在厨C:+少-4=0上，直线4B:)=+2,则 () A.直线AB与圆C相交 B.直线AB与圆C相离 C.点P到直线4B距离最大值为 W2+2 D.点P到直线1B距离最小值为 P W2-1 【答案】BC 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断 【详解1解：圆C:r+广-4=0，即x-2+y=4,圆心为C(2,0),半径r=2, d=2+2-0 则圆心C到直线4B的距离VP+(-I =22> ，所以直线4B与圆c相离， 又点P在圆C上，所以点P到直线1B距离最大值为 W2+2P +2,点P到直线1B距离最小值 22-2,故 正确的有B、C 故选：BC 3 3.(2425高二上江西阶段检测)已知直线1：x--20,圆C:x+y尸-2x+4y=0,若直线1与圆 C交于M,N两点，则 MN 的取值范围为」 【答案】 5,2w5 M 【分析】由直线过定点 30 ,可知圆心C到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围 【详解】 圆C的标准方程为x-1++2)=5,所以圆心为C1-2),半径为5】 2 ,所以点M在圆C内， 所以直线与圆C相交， 设圆心C到直线l的距离为d,当CM与直线I垂直的时候d最大，所以 sdsvi7 2, 则MW=25-dF∈[5,2w5 故答案为： √3,25] 4 （2025高三全国专题练习》已知、yGR,-2x+=3时，求州+以的显大位与最小值 【答案】最小值是1，最大值是1+22 【分析】根据-2x+少=3表示圆（x-旷+少=4，设内+小=b表示关于原点、x轴、y轴均对称的正方 形，然后由直线与圆的位置关系求解， 【详解】r-2x+y=3的图形是圆-旷+少=4， 既是轴对称图形，又是中心对称图形。 +以=b 设 由式子 + 的对称性得知 x+y=b 的图形是关于原点、x轴、y轴均对称的正方形. 如图所示： 1+22 1+25 -1-22 1-2 当b变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上， 问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b的最值问题. 当b<1时，正方形与圆没有公共点： （-1,0) 当b=1时，正方形与圆相交于点 若令直线y=-x+b与圆x-旷+少=4相切， 1-b =2 则V2,解得b=1±2√2， 所以当6=1+25 时，正方形与圆相切： 当>1+25 时，正方形与圆没有公共点， 故+ 的最小值是1，最大值是1+22 【基础题型四求直线与圆交点的坐标】 【例41(2025江西南昌一模)直线=2x与圆+少-2x-3=0交于4，B两点， o4=5,则o8 () 5 25 3v5 4v5 A.5 B.5 C.5 D.5 【答案】C 【分析】直线方程与圆的方程联立，求 42. 利用两点之间的距离公式即可求得结果 【详解】 y=2x 设A(G,),B(x,),联立x2+y2-2x-3=0,消去y整理得：5x2-2x-3=0, 解得5-4=-号，散428号引 辆丙之同离料o叫--可可5。 故选：C 变式训练 1. (2025北京顺义一模)若圆(c-旷+广=4与y轴交于4，B两点，则48川=（) A.2 B.4 c.2v2 D.25 【答案】D 【分析】直接联立方程求A、B坐标即可。 (x-12+y2=4 【详解】联立x=0 得y=±5，故A,B坐标为0,5)小(0，-V5),即4B=25, 故选：D 2(2425高二上吉林长春阶段检测)（多选）在平面直角坐标系中，M= ，动点M满足 MA-MB=c(c为常数)，则下列说法正确的是(） A.若C=3,存在满足条件的点M使得AM=2MB B.若C=1,当M,B不重合时，点M,A,B可构成一个直角三角形 C.若c=3,线段AM长的最小值为2 D.若c=-3,则M点的轨迹和以A为圆心，1长为半径的圆有两个公共点 【答案】ABC 【分析】建立平面直角坐标系，设Mx,),由题设条件可得的轨迹方程，再依次检验各选项可得正确的选 项。 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， O(A) B 设M》,而L,0),则=x川，BM=(x-l,川， 因为M4-Ma=c,故2+y-K-+y=e,整理得到：x=生。 2· 它是一条垂直于线段AB的直线， 当一3时，M点的轨迹方程为=3，取点M为3时。 X= 则=后0，M沥=兮0，满足-2MB,故A正确， 当C=1时，M点的轨迹方程为x=1,直线x=1过点B(L,O), 所以当M,B不重合时，点M,A,B可构成一个直角三角形，故B正确： 若C=3,则M点的轨迹为直线：x=2,故4M=2,八，所以MM=2+少≥2， 当且仅当y=0时，取等号，线段AM长的最小值为2，故C正确： 若C=-3,则M点的轨迹方程x=-1, 显然直线x=-1与以A为圆心，1长为半径的圆有唯一公共点，故D错误 故选：ABC. 3.(2425高二上福建厦门期末)x轴被圆 2+y-1)2=2 截得的弦长为 【答案】2 【分析】求圆与x轴的交点，可得弦长 x2+(0y-1)2=2 【详解】已知圆： y=0得：=1→x=1或=-1 ,令得 所以圆与x轴的交点坐标为： A(1,0)B(-1,0) AB=2 所以弦长为： 故答案为：2 C:x2+y2+2x-2y-18=0 4.(25-26高二全国课堂例题)已知直线 :x+y+2=0 和圆 ,判断直线1与圆 C的位置关系.如果相交，求出它们的交点的坐标 【答案】相交，交点坐标为5,3列，么，-3) 【分析】联立直线的方程，通过判断根的个数进而判断直线与圆的位置关系，或者利用圆心到直线的距离 与半径的关系进行判断。 x+y+2=0 【详解】（方法一）由直线1与圆C的方程，得x2+y2+2x-2y-18=0. 消去y,得x2+4x-5=0」 =42-4×1×(-5)=36>0 因为 所以直线1与圆C相交，有两个公共点. (方法二)将圆C的方程通过配方化为标准方程：+1少+(0-=20 （-1,1) 可知它的圆心C的坐标为 ,半径=25 直线1的方程为x+y+2=0,圆心C 、C(-1,1) 到直线1的距离 后a5 所以直线I与圆C相交，有两个公共点， 由+4r-5=0,解得=-5,6=1】 将，分别代入直线方程，得=3，为=-3。 A(-5,3)B(1,-3) 所以直线与圆C有两个交点，它们的坐标分别是 【基础题型五直线与圆相交的性质-韦达定理及应用】 【例5】(24-25高二上四川眉山期中)若直线=c+1与圆 2+y2+-2y=0 的两个交点恰好关于》轴 对称，则k=() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【分析】两交点恰好关于y轴对称，则两交点横坐标之和为零：联立直线和圆的方程，消去y,可得关于x 的二次方程，则该方程两根之和也为零，由此即可求出k的值， 【详解】 解：设直线和圆交点横坐标为1、x2, y=kx+1 由x2+y2+-2y=0,得1+k2)x2+-1=0, k ~两交点恰好关于y轴对称，六+=1+？=0 .k=0 故选：A 变式训练 y 1. 上全国单元测试如果实数x,y满足等式《-叶少-，邦么的最大值是 3 A.2 B.3 3 C.2 D.3 【答案】D 【分析】令大，即y=众，代入已知等式后。由A≥0可得天的最大值 【详解1显然去0：令兰，即y=f代入-+户-子利0+加2-2+ =0 所以△=4-4x+k)×子之0.解得-一5≤k≤5。 所以的最大值为5 故选：D y 2.(25-26高二上福建漳州阶段检测)（多选）实数，y满足x2+y2-6x-6y+12=0,则x的值可能为 () A.32 B.3+2V2 C.2+V2 D V6 【答案】BCD 【分析】令1=上 =x,与x2+y2-6x-6y+12=0联立，然后利用A≥0解出，的取值范围，即得 【详解】令1= x,可得y=x, y=tx 2+y2-6x-6y+12=0 则直线 与圆 2+y2-6x-6y+12=0 代入方程 得+)r-60+）x+12=0,△=361+}-481+2)20 解得3-22≤1≤3+22，即3-2W2≤≤3+22 故选：BCD. 1:x+y-m=0,x2+y2=4A,B 3.(2425高三上江苏期末)已知直线 与圆 交于两点， 0为原点，且 0A.0B= ,则实数m的值为： 【答案】 ±v6 【分析】联立直线与圆，再运用韦达定理即可求解 【详解】联立x2+y2=4→2r-2mx+m2-4=0 x+y-m=0 ,设A(x,-x+m),B(x2,-x2+m), 则5m4 2,5+龙=m 因为 OA.OB=2xx2-m(+x)+m2=2 所以有0-4-m2+m2=2 解得m=±V6 故答案为： ±v6 4.(2425高=上渐江温州期中)已知圆C过点M(0,-2）,N3,), 且圆心C在直线+2y+1=0上， (1)求圆C的标准方程； (②)问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程： 若不存在，请说明理由 【答案】①x-3)+(0+2)}=9 (2)存在，y=x-1或y=x-4 【分析】(1)利用待定系数法求得圆的方程： (2)首先设直线I存在，其方程为y=x+b,联立直线与圆的方程，得到根与系数的关系，根据OA1OB 解得b,得到直线方程，并需验证△>0. 【详解】()设圆C的方程为+y+Dx++F=0(D+E2-4F>0) D-E+1=0 则有了4-2E+F=0 解得 10+3D+E+F=0 D=-6E=4F=4 圆C方程为：+-6x+4y+4=0,即K-3)+(0+2}°=9。 (2)设直线存在，其方程为y=x+b, 它与圆C的交点设为 A(x,)B(x2,y2) x2+y2-6x+4y+4=0 则由y=x+b ,得2x2+2(b-1)x+b2+4b+4=0(*), x+x2=1-b 5 b2+4b+4 2 AB 为直径，0A10B+5=0 x2+y2=xx2+x+b)(x2+b)=2xx2+b(+x)+b2=0 +4b+4+b0-b)+6=0.即+56+4=0. 即 b=-小或6=-4，容易验证b=-1或6=4时方程的△>0， 故存在这样的两条直线，其方程是y=x-1或y=x-4 【基础题型六直线与圆中的定点定值问题】 【例6】（25-26高三下浙江阶段检测)半径为3的圆内有一点101=V5 ,点P在圆O上，当∠OPA 最大时，PA的长等于() A25 B.3 C.v6 D V3 【答案】C 【分析】画出图形，当OA⊥PA时，∠OPA最大，然后在Rt△OPA中，用勾股定理求出PA即可 OE 【详解】如左图，因为点A在圆O内，所以∠OPA为锐角，作OE⊥PA与E,sim∠OP1= OP 欲使∠OPA最大，即sin∠OPA最大，由于OP为定值，则只要OE最大即可. 当OE,OA重合时，即OA⊥PA时，∠OPA最大，如右图 ◇ 04 中， Rt△OPA OA=3 OP=3 AP=OP2-04=6 则故当<OP 最大时，PA的长等于6 故选：C 变式训练 1.(2425高二上江苏徐州期中)已知园0：+广+-21=0与销交于48月 B两点，点C的坐标为 (-1,2）.圆0：过4B,C三点，当实数‘变化时，存在一条定直线被圆O载得的弦长为定值，则此定直线 的方程为() A.x+2y-5=0 B.2x-y=0 C.2x+3y-4=0 D.3x-2y+4=0 【答案】C 【分明1设园0为+广D++F=0,根据园9与国都经过48荷有，可用'末示DF,又点C D,F (仁1,2)在圆0：上，可用'表示E,进而可得含参数'的圆O的方程，再由圆系方程求解即可 9 【详解】圆方程为 ,y0 x2+y2+x-2t=0 得+众-21=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 设圆“的方程为 少0 ,得+Dr+F=0 由题意，圆O与圆O都经过48两点， 0 02 ∴.方程x2+x-2t=0与x2+Dx+F=0等价，.D=t,F=-2t, 0 2+y2+x+Ey-21=0 .圆的方程为 点C(412)在圆0上.（←少+2-4+2E-21-0:E=3, 2, 图0：+++-2=0，整建得2x+3y0+2+y 2y=0 图0怒过直院23y4-0与网2+y-=0份安点。 ∴当实数变化时，存在一条定直线 :2x+3y-4=0 被圆截得的弦长为定值， 故选：C 2.（2425高二下云南保山期末)《多选)圆C:(x-少+0-2=4，直线'过点P(0,1且与圆C交于 A,B 两点，则下列结论正确的是() A.H8的最小值为25 B.△ABC面积的最大值为2 C.C4+CB 的最大值为4 D.若圆C上有且仅有三个点到直线'的距离为1，则=2,5 【答案】ABD 【分析】根据条件CP⊥I时，线段AB的长最小，可求出判断选项A:利用三角形面积公式结合条件可求 出面积的最大值判断选项B；利用向量的加法运算法则得 C+CBH2CM近一步计算即可，可判断选项C: 根据条件判断出圆心C到直线AB的距离为1，进一步计算即可判断选项D. C:(x-1)2+y-2)2=4 【详解】因为 所以圆心C1,2),又P(0,,则lCP=V0-2+1-2=V2 圆C的半径”=2，CB=r=2, 又0-0+0-2=2<4 故点P在圆内， 所以当CP⊥I时，线段AB的长最小， 此时AB=2Ca-CP=24-2=22,A正确： S.Ac=)sn∠ACB,当4C1BC时，面积最大为2，B正确： 记线段AB的中点为M,则CM⊥AB, Ca+CB=2cM≤2C7=25.C错误： 若圆C上有且仅有三个点到直线I的距离为1， 则圆心C到直线AB的距离为1， 所以M=2-1=25,D正确 故选：ABD 3.(25:26高二上四川德阳期中)已知圆0：r+少=5，直线，xcos0+ysi血8=1(0≤0≤2m) 设圆 O上到直线I距离等于1的点的个数为k,则k= 【答案】4 【分析】根据点到直线的距离公式，结合数形结合思想进行求解即可 叫 ==1 【详解】原点0到xcos0+ysin0=1(0≤0≤2r)的距离为√cos20+sin20, 由于1： xcos8+ysin0=l(0≤0≤2π) 是到原点O距离为1的直线， 而圆O: x2+y2=5 的半径为5，如图所示， 于是圆O上到直线1距离等于1的点的个数为4，因此k=4, 故答案为：4 4.(25-26高二上·黑龙江绥化阶段检测)阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯的一个研究成果：平 面内到两定点距离之比为常数入（元>0，元≠1）的点的轨迹是圆，这个圆也称为阿氏圆已知O为坐标原 A(-2,0) 点，动点P到点 的距离是到点 B(1,0) 的距离的2倍，记动点P的轨迹是曲线C (1)求曲线C的方程： (0,3) (2)已知直线1过定点 且与曲线C交于M,N两点，设直线OM,ON的斜率分别为，：，请问 k+k2 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 x2+y2-4x=0 【答案】( (2)是，3 【分析】少设P(,刃，根据P=29 化简可得： (2)讨论直线的斜率，再联立方程组，结合韦达定理和斜率公式化简即可. 【详解】(1)设P(x）,因PA=2PB,所以Vx+2}+y2=2Vx-+y2, x2+y2-4x=0 整理得曲线C的方程 (2)当1斜率不存在时，4，x=0,此时1与C只交于一点 0,0) ,不符合题意： 当斜率存在时，设直线1的方程为’=c+3,M(x,).N(G) y=+3 联立x2-4x+y2=0,得（1+k2)x2+(6k-4)x+9=0, 5 4-6k 9 由A>0得<2，且5+=1+，西1+， 所+6=会5_低+3++3525+3+ 为x2x XX2 xx2 4-6k 3× =2k+1+2-4 9 , 1+k2 4 所以k+飞，为定值3 M 【基础题型七过圆上一点的圆的切线方程】 P(1,I) 【例7】(2026高三全国专题练习)圆+y+2-4y=0在点 处的切线方程为() A.2x+y-3=0 B.2x-y-1=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0 【答案】B 【分析】求出过P点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程. 2+y2+2x-4y=0 x+1)2+(y-2)2=5 （-1,2) 【详解】圆 的标准方程是 圆心坐标是 2-11 过p点的半径所在直线的斜率1-i一2 所以所求切线斜率为2，切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0 变式训练 1.(2526高=上山东阶段检测)过圆-少+(+=5上一点M(10)作圆的切线，则'的方程为 () A.x+2y+1=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 【答案】C C CM 【分析】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切 线1方程 -1-01 【详解】圆(x-+(y+)=5的圆心为C(1,-),则直线1的斜率aw=1+1= -2 l⊥lcM 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即 1=2 k,= 所以k·kcw=-l,则切线l的斜率kcw, 所以直线'的方程为=2(x+1),即2x-y+2=0 故选：C 2。（2425高二上福建漳州期中)（多选）与圆C:Y+少-4红+2= 相切，且在，'轴上的截距相等 的直线方程为() A.x+y=0 B.x-y=0 C.x=0 D.x+y=4 【答案】ABD 【分析】讨论所求直线过原点和不过原点两种情况，设出对应的直线方程，根据直线与圆相切列出方程求 解，即可得出结果 【详解】圆C:2+少-4+2=0化为标准方程为x-2+广=2，即圆C是圆心为(2,0)，半径为V2的 圆 若所求直线过原点，可设所求直线为y=,因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 2k-0=2 Vk2+1 ,解得k=±1，所以y=±x; 若所求直线不过原点，因为该直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设该直线方程 x+y=m(m≠0），因 2+0-m=2 为该直线与圆相切，所以√2 ,解得m=4或m=0(舍)，所以x+y-4=0. 综上，满足条件的直线的方程为y=x,y=-x,x+y-4=0. 故选：ABD 3.(25-26高三全国一轮复习)过圆-少+0+少=4上的点L,)的切线方程为 【答案】y=1 【详解】法1：圆心坐标为么-)」 1,1) 因为点 在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为y=1 法2：过圆（x-1++旷=4上的点)的切线方程为： (x-10-1)+(0+01+)=4,即y= 4.(25-26高二上浙江期中)已知点 (N3+2,3-V3) 直线ax-y+2=0,圆C: x2+y2-4x-6y+7=0 (1)过点P作圆C的切线1，求直线I的方程： 6 (2)若在圆C上至少存在三个点到直线ar-y+2=0的距离为2，求a的取值范围 【答案】（①）x-y+1-23=0 4-√214+√21 (2)55 【分析】(1)判断点P在圆上，利用CP⊥1，得到切线I的斜率，进而可得到切线I的方程： dsv6 (2)转化为圆心到直线的距离”一2，利用点到直线的距离公式，可得答案 【详解】4由圆C:+y-4r-6y+7=0,可得（x-2+(0-=6.圆心C2,3),半径r=6 :P5+2,3-5) 在圆C上， k=- 又kc=-l,切线的斜率 kpc, ∴过点P的圆C的切线方程是”-(B-)=x-(5+2), 即-y+1-2V3=0 La-1sv6 (2)由题可知圆心到直线的距离 Va2+12, .5a2-8a-1≤0. 4-√214+√21 a∈ 51 5 【基础题型八过圆外一点的圆的切线方程】 【例81(25-26高二下全用期中)设直线'过点P2）,且与圆+=1相切，则直线'的方程为 () A.4x-3y+2=0 B.4x-3y+2=0或x=1 C.3x-4y+5=0 D,3x-4y+5=0或x=1 【答案】D 【详解】圆+少= 的圆心 0,0叭.半径r=1,直线过点P2列 而圆心O到直线x=1的距离为1，因此直线x=1是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为》=(x-)+2.即c-y-k+2=0 2-=1 由2+，解得=4，方程为3x-4y+5=0, 所以直线I的方程为3x-4y+5=0或x=1 变式训练 1.(25-26高二上山东泰安期中)过 P-1-3》作图0：r+y- 的切线，则的方程为() A.x=-1或4x-3y-5=0 B.y=-1或4x-3y+5=0 C.x=-1或4x-3y+5=0 D.4x-3y-5=0 【答案】A 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得 【详解】当斜率不存在时，1：x=1,圆O的圆心 ,0叭到：x=-1的距离为， 0:x2+y2=1 故此时是圆 的切线，符合： 当斜素存在时，设)=(：+-3，即-y+友-3=0， d=k-3-1 则圆0的圆心(0,0)到1的距离“Vk2+1, 解得4 =3,则1：4x-3y-5=0: 综上所述：I的方程为x=-1或4x-3y-5=0 故选：A P(1,0) 2.(24-25高二上广东中山期中)（多选）过点 的直线与圆M:r+0-=l只有一个公共点， 则斜率k可能的取值情况为() A.-1 B.1 C.0 D.不存在 【答案】CD 【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果 【详解】圆M:r+0-广=1，圆心为01，半径为， 0,1)」 当直线斜率不存在时，直线方程为x=1,此时圆心 ,到直线x=1的距离为， 直线与圆相切： 当直线斜率存在时，设直线斜率为人，则直线方程为”=k(红-少。即：-y-大=0、 -1- 11 则圆心到直线的距离等于半径，即Vk2+1,解得k=0: 综上所述，直线的斜率为0或者不存在 故选：CD 3.(25-26高二上江苏淮安·期中)经过点 P(2,3) 作圆+少=4 的切线，则切线的方程为 【答案】x=2或5x-12y+26=0 【分析】结合切线性质，分切线斜率不存在与切线斜率存在进行讨论即可得 【详解】当切线斜率不存在时，1：x=2,此时点 (0,0 0到直线1：x=2的距离为2， 故1：r=2 2+y2=4 圆 的切线，符合： 当切线斜率存在时，设 :y=k(x-2)+3nkx-y-2k+3=0 ，即 -2k+3引 1=2 5 则有VP+12,化简得-12k+9=4,即k=2, 故：y= 3x-2)+3.即5x-12y+26=0的 综上所述：切线的方程为x=2或5x-12y+26=0. 故答案为：x=2或5x-12y+26=0」 4.(2526高二上云南西双版纳期末)已知圆C:+广-8x-9=0,点P-0,且直线'经过点P (1)求圆C的圆心坐标和半径： (2)若直线与C相切，求直线的方程 【答案】(40)5 (2)x=-1或12x-5y+17=0 【分析】(1)将圆的一般方程化为标准方程即可： (2)按照直线的斜率存在性讨论，结合圆心到直线的距离等于半径求解， 【详解1(1)C:r+广-8x-9=0可化为(x-4+广=25 故圆C的圆心坐标为 4,0 ,半径为5： (2)因为1-4)+P>25 所以点P在圆C外， 若直线的斜率不存在，则：x=-1,圆心到直线的距离为5，符合题意： 若直线的斜率存在，则设 y-1=k(x+,即-y+k+1=0, 4k+k+1-5 12 则圆心C(4,0)到直线1的距离为√2+1⊙，得= 5, 此时切线方程为12x-5y+17=0 综上，直线的方程为x=-1或12x-5y+17=0 【基础题型九切线长】 【例91(2526高二上陕西商洛期末)已知点P(6,5)是圆C:+(-广=1外一点，过P作圆C的两条 切线，切于A,B两点，则切线长PA=() A.36 B.5 C.②6 D.35 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算 C(0,1) 【详解】由题意知， 半径=1， 则lP4=VPC-r2=32+(5-2-1=26 故选：A 9 变式训练 1.(25-26高二上·北京海淀期末)在平面直角坐标系O少中，过坐标原点O的直线1与圆 C:x2+y2-12y+27= 有且只有一个公共点M,则线段OM的长为() 9 A.3 B.2 C.6 D.35 【答案】D 【分析】先确定圆心和半径，利用切线长公式可求答案 【详解1C:r+广-12y+27=0化为标准型为C:×+0y-6矿=9，圆心为C(0,6),半径为r=3 由题意可知OM与圆C相切，所以OM=VOC-2=36-9=35 故选：D M 2.(2425高上江苏泰州期中)）《多选)已知点P化，)和圆0，+=8，则下列选项正确的有 () A.若点P在圆O内，则直线x+y=8与圆O相交 B.若点P在圆O上，则直线xx+y=8与圆O相切 C.若点P在圆O外，则直线x+y=8与圆O相离 D.若直线AP与圆O相切，A为切点，则lP-云+片-8 【答案】BD 【分析】根据圆心到直线的距离即可结合选项求解ABC,根据勾股定理即可求解D., 【详解】对于A,点P在圆内，则 +6<8 d=- 18 又点O到直线xx+y=8的距离Vx2+,2 >22=r xox+Yoy=8 O 直线 与圆相离，故A错误： 对于B,“点P在圆O上，6+=8 8 d=- =2√2=r 又点0(0,0)到直线x+y=8的距离。V,+% ,故x+%y=8与圆O相切， ,故B正确： 对于，点P在圆外，则6+6>8 8 又点0到直线无x+%w=8的距离25- d= xox+yoy=8 0 直线 与圆相交，故C错误： 若直线4与圆O相切，则点P在圆O外，所以P作P0-子=民+万- ,故D正确。 故选：BD 3. (2026黑龙江哈尔演模拟预测过P(,2)引直线1与圆C,（(-3+-4)'=4相切于0，则P= 【答案】2 C(3,4 【详解】由己知可得圆心坐标 ,半径=2， 点P1,2)到圆心C3,4)的距离为PC=B-+4-2y=25, 则切线长Pg=V(2W2-2=2 4.(25-26高二上辽宁沈阳阶段检测)已知圆C:+少-6x-8y+21=0,直线过点4,0) (1)若直线1与圆C相切，求直线的方程： ②当直线的斜率存在且与因C相切于点“时，求4 【答案】（①）x=1或3x-4y-3=0 (2)4 【分析】(1)分斜率存在或不存在两种情况，若存在，设直线的方程，利用=r计算即可： (2)在△ABC中利用勾股定理即可 【详解】()圆C的方程r+少-6x-8y+21=0可化为x-3+0y-4)=4, 则圆C的圆心为 4),半径=2， ①当直线的斜率不存在，则直线I方程为x=1,满足题意： ②当直线'的斜率存在时，可设直线'的方程是=-)，即红-y-k=0。 |3k-4- d= L=r=2 由圆心(3,4)到直线1的距离“√2+1 ,解得K二 此时直线1的方程是3x-4y-3=0. 综上，直线I的方程是x=1或3x-4y-3=0. (2)由(1)得直线1的方程是3x-4y-3=0, 则l4C=V3-1+42=25 所以AB=VAC-r2=V20-4=4 【基础题型十切点弦及其方程】 【例10】(2425高二上安徽六安期中)过原点0作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线，设切点分别 为P、,则线段PO的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】由圆的方程确定圆心C、半径r,根据切线段长与半径1、OC的几何关系，求切线段长，利用相 似等比例求切点弦PQ的长即可 【详解】由思意，r+少-6x-8y+20=0 (x-3)2+(y-4)2=5 化为 圆心C8,),半径=5，则有0C=5,放切线段k=v0C-7=25, 若线段P0的长为，则方0C=1r,得x=4 故选：B. 变式训练 1.(2425高一上河南焦作期末)过点P(24刊作圆+y=1的两条切线，切点分别为4，B,则B 所在直线的方程为() A.2x+4y+1=0B.2x-4y+1=0 C.2x+4y-1=0 D.2x-4y-1=0 【答案】B x2+y2=1 的圆心O,求出以P0 2+y+2x-4y= 【解析】 为直径的圆的方程为 0,把圆r+y+2x-4y=0 2+y2=1 与圆 相减，得直线AB的方程. 【详解】设坐标原点为0，以P0为直径的圆的方程为x+1+(0y-2)=5,即2+y+2x-4y=0, 2+y+2x-4y=0,x2+y2=1 2x-4y+1=0 把圆 与圆 相减，得： 2x-4y+1=0 A,B 直线 经过两圆的交点，即切点· 所以直线AB即为圆 x2+y2=1,x2+y2+2x-4y=0 与圆 的公共弦所在的直线， 2x-4y+1=0 ·AB方程为 故选：B 2.(24-25高二上湖北孝感期末)（多选）已知 P(-2,4)和⊙0：r++2=4,过P点的两条直 线分别与OQ相切于A,B两点则以下命题正确的是() A.IP4=2 B.4B=2 C.P、A、Q、B均在圆 +1+0+3y=2上 D.A,B所在直线方程为x+y+4=0 【答案】ACD 【分析】结合图象可知 A(-2,-2),B(0,-4) 逐项判断即可。 【详解】根据题意， o0圆心(0，-2 ,半轻为2， 过P点的两条直线分别与⊙Q相切于A,B两点，如图， 则4(-2-2)，B0,,所以PA=2.=25 所以A正确，B错误： 四边形P4QB -1,-3) 为正方形，中心为 (x+1)2+y+3)2=2 所以P、A、Q、B均在圆 上，C正确： AB x+y+4=0 所在直线方程为 ,D正确， 故选：ACD, B 3. (25.26高二上浙江金华阶段检测)过点Q,0)作圆C:r+少-4y+3=0的两条切线，切点为4B,则 劣弧长AB π 【答案】3 【分析】首先转换圆C的标准方程，再结合题意进行计算即可 【详解】 x2+(0y-2)2= 易知圆C的标准方程为： ,且设切线为 =kx 24=1 则必有VP+1,解得k=士5，六∠T0B=∠S0A= 3 ∠COB=∠C0A=6∠ACB=2 3,故劣弧长AB=2 3 2π 故答案为： 3 4.（2425高二上陕西宝鸡期中)如图，过圆+少=2外一点P(4,2 外一点 向圆引切线 y (1)求过点P的圆的切线方程： ②屠切点为户.月，求过切点P, PP P 的直线方程 【答案】(1)x-7y+10=0或x-y-2=0 2x+y-1=0 (2) 【分析】(1)设出直线方程，利用直线和圆相切的性质可求切线方程： (2)求出切点坐标可得方程或者利用两圆的公共弦求出答案 【详解】4)设过点P的圆的切线方程为-2=k(x-),+广=2的圆心为0,0)，半径为2 d=4-2= 1 则V1+k2 2解得k=1或=7， 故切线方程为x-7y+10=0或x-y-2=0 x2+y2=2 「x=1 (2)解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由x-y-2=0可得y=-1, 1 x=- 由x2+y2=2可得1 , x-7y+10=0 y=5 17 y+1x-1 放过切点月”月的直线方程为1一专1，整理得 1 2x+y-1=0 解法2：因为0，月，P,乃四点共圆， 所以B,B在以OP为直径的圆上，圆心为(2,1)，半径为2 V4+2=5, x-2)2+(y-1)2=5 即方程为 与已知圆+少=2相减，得过切点，户的直线方程为2 P R x+y-1=0 【基础题型十一已知切线求参数】 【例1山(2025辽宁二模)已知直线-2y+1=-0与圆（：-2少八+(0+1旷=“相切，则正实数“的值为 () 3V5 25 5 A.5 B.5 C.5 D.5 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出正实数a的值 【详解1因为0>0，则圆-2++少旷=·的圆心为2.)，半径为4， 因为直线x-2y+1=0与圆(x-2+0v+1少=0相切， a= 2+2+=5 所以，”VP+(-2 故选：A 变式训练 5x-12y+a=0,x2-2x+y2= 1.(24-25高二上广东珠海·期末)已知直线 与圆 相切，则实数”的值可能 为() A.-18 B.8 C.-8 D.18 【答案】AB 【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得α的值 【详解】圆-2x+少2=0 的圆心为，0) 半径为 5x-12y+a=0, x2-2x+y2=0 由于直线 与圆 相切， 5+4=15+d=13,解得a=8或a=-18 所以13 故选：AB 3x+4y+C=0,x2+y2-2x-2y+1=0 2.(24-25高二上·广东湛江：阶段检测)（多选）若直线 与圆 相切， 则C的值是() A.-2 B.2 C.-12 D.12 【答案】AC 【分析】求出圆心坐标和圆的半径，利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式可求得C的值 【详解】圆的标准方程为-旷+0-1少=1，圆心坐标为1)，半径为1， 3+4+C_7+C=1 因为直线3x+4y+C=0与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则V32+42 5 解得C=-2或-12. 故选：AC 3.(2024浙江绍兴三模)如图，∠P00=元 6,点A,B为射线OP上两动点，且AB=2,若射线O0上恰 有一个点C,使得∠ACB= 2,则此时OA的长度为 P B 【答案】1 【分析】由题意可得：OQ与以AB为直径的圆相切，结合切线的性质与题目条件计算即可得 【详解】由题意可得：O0与以AB为直径的圆相切， 取MB中点M,连接MC,则MC⊥O0且MC=4B=l, 又∠POg= 6,则0M=2MC=2,则0A=2-1=1 故答案为：1. 4.(24-25高二上江苏常州期末)己知 C:+y-2x+4y+m=0.P-1,-D,0为坐标原点 (I)若O在圆C内，求实数m的取值范围； (2)若直线OP与圆C相切，求实数m的值， 【答案】(1)m<0: (2)2. 【分析】(1)利用点与圆的位置关系列式求解。 (2)求出直线OP的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解 【详解】(1) C:6x-+0+2=5-m,则m<5 由°在圆C内，得 (0-1)2+(0+2)2<5-m 解得m<0 所以实数m的取值范围是m<0 (2②由4)知，圆C的圆心C,-2》.半径=v5-m(m<) 3 直线OP方程为：y=x,即x-y=0,由直线OP与圆c相切，得2 =V5-m,解得m=2: 1 所以实数m的值为2. 【基础题型十二圆的弦长与中点弦】 【例12】(25-26高=下甘肃兰州期中)若直线x+y=0交圆C,+少-2r-1=0 A,B两点，则AB =() 425 B V6 C.2v2 D.2 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长 【详解】x+少-2x-1=0可化为-旷+少=2， 1,0 圆心的坐标为 ,半径为V2 =1+0-2 则圆心到直线x十y=0的距离为 22, 所以4B=2 2-2 6 变式训练 :2x+y+1=0、C:x2+y2-2x-4y-4=0 1.(25-26高二上广东深圳阶段检测)直线 被圆 截得的弦长为 () A.2 B.v5 C.3 D.4 【答案】D 【详解】圆C:r+少-2x-4y-4=0可化为x-1少+-2=9，得圆心C0,2),半径r=3 用点到直线的距离公式，直线：2x+y+1=0,圆心C(1,2)到直线的距离： 2×1+1×2+1三5=5 V22+12 弦长=2W32-6W5=-29-5=2×2=4 2.(2425高二上广东韶关阶段检测)（多选)已知直线 y=+1,周C:x-+0+=12则直 线被圆C截得的弦长可能为() A.5 B.6 c.3v5 D.7 【答案】BC 【分析】求出直线所过的定点，判断直线与圆的位置关系，求出被截弦长的范围即可判断得解 【详解】直线：y=c+ 过定点40，D,国C=(x-+0+=12的圆心C4,-》,半径”=25 14C咔5<25，点4在圆C内，直线与因C始终相交， 当11C时，直线被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2√-ACT=27 ,43 直线被圆C截得的最长弦为直径，长为， 又5<25c6545<7.前直线被C得约度长可能为6有35 故选：BC 2π 3.(2026海南儋州·二模)若过点A1,0)的直线1的倾斜角为3，则直线1被圆0：x2+y2=4所截得的弦 长为 V13 【答案】 【分析】先由倾斜角求出直线方程，再计算圆心到直线的距离，结合弦长公式求解直线被圆截得的弦长 【详解】由直线，的倾斜角为号，可得直线斜率k=am=-5, 2π 3 .可得直线的方程为’=-v5(x-),即x+y-5=0 A(1,0) 结合直线过点 0:x2+y2=4 O(0,0) 圆 的圆心为 ，半径=2 1-5-3 圆心O到直线，的距烤45P+P2. 4.(25:26高二上河南郑州期末)已知点4(2,0)，B(-5,0), 动点P到点B的距离是P到点A的距离的2 倍，记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程： (2②)求直线：4x+3y+1=0被曲线E截得的弦长. 【答案】（①x+1+y2=4 2√91 (2)5 【分析】（山设P(,)由P=2PA利用两点间的距离公式化简可得答案： (2)求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可得答案 【详解】由题意得P82P,所以P=4P4 设P》,因为点4(-20，B(-5,0) 所以(x+5+y=4[(+2+y],化简得(x+1+y2=4 所以曲线E的方程为(x+)少°+y2=4 (2)由(1)知，曲线E是圆心为 (-1,0) 半径=2的圆， d=4+1-3 所以圆心C(-1,0)到直线4x+3y+1=0的距离为： V32+425, 所以直线！被曲线E截得的弦长为 22-a°=24-9=291 5 【基础题型十三已知圆的弦长求方程或参数】 【例13】(2526高三全国一轮复习)直线”=：+3被圆：-2+0-3=4做得的弦长为25，则直 线的斜率为() A.3 B.±5 √5 C.3 D 3 【答案】D 【详解1直线=c+3被圆-2)+(0-3)=4做得的弦长为25，而该圆半径为2， d=2k-3+3 因此圆心(2,3)到该直线的距离d=V22-(W3=1,又“=√k2+1, 2k=1 即k2+1,所以直线的斜室-土V3 3 变式训练 1.(25.26高二上江苏南京期末)若直线：x+y-m=0(m>0)被圆C:(x-旷+(+1旷=4截得的弦长为 2V2 () 12 B.V C.2 D.22 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数m的值 C:(x-1)2+y+1)2= 【详解】圆 4的圆心C,-,半径为2， d=11-1-ml_m 设圆心C到直线：x+y-m=0m>0)的距离VP+1PV2, 由直线1发圆C发得的法长为22，传2-（爱=2 ,所以m=2 故选：C (0,3) 的直线1被圆 x-2)2+(0y-3)2=4 2.(24-25高二下辽宁朝阳·开学考试)（多选)已知过点 截得的 W3 弦长为 ,则直线的倾斜角可能为() A.6 π π B.3 c.2 D.6 【答案】AD 【分析】结合点到直线的距离公式、弦长列方程，化简求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角 【详解】圆x-2少+0-3引= 的圆心为2,3)，半径为2 直线x=0过点(0,3)且与圆相切，不符合题意 设直线I的斜率为k,则y=a+3, |2k-3+3|2k| d= 圆心到直线c-y+3=0的距离 Vk2+1 Vk2+1, 3=4 4k2 k=tV3 弦长为25,5=V4-d2,即342+1，解得=主3， 5π ·直线的倾斜角为6或6 故选：AD 3.(25-26高二上云南德宏期末)直线3x-4y+10=0与以点C(1,2)为圆心的圆相交于A,B两点，且 |AB=4 则圆的标准方程为， 【答案】(x-)+(y-2}=5 【分析】利用圆的弦长公式计算出圆的半径可得答案. 【详解】设圆的半径为r,圆心到直线的距离为， 则弦长公式为 I ABl=2vr2-d2 2Wr2-d2=4 代入已知条件得： 平方，化简得：2=d2+4, 点C02 到直线3x-4y+10=0的距离d: d-Bx1-4×2+10_B-8+10=-1 V32+(-42 √9+165 代入得：r2=12+4=5. 因此圆的标准方程为：x-少+0-2P=5。 故答案为：-+0-2=5. 4.(25-26高二上广东惠州阶段检测)已知圆C的圆心在x轴上，且经过 3,0).B(,2)两点 (1)求圆C的方程： (②过点PQ2列的直线与圆c相交于M,N两点，且N-25 求直线的方程 【答案】)-少+2=4 ②=0或3+-8=0 【分折1山)设出圆C的标准方程（x-+少=户，由圆C经过点43,0，B,2),代入圆的方程，建 立关于a和"的方程组，求得a和'，即可得圆的方程： (2)由直线I被圆C截得的弦长，求出C到的距离，对直线！的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距 列方程即可得答案 【详解】(1)因为圆C的圆心在x轴上，所以设圆C的方程为x-旷+少=r(>0), 因为圆C经过1(.0).B(2)两点 (3-a)2+02=r2 a=1 所以1-+22=2，解得 r=2 所以圆C的方程为 x-1)2+y2=4 x-1)2+y2=4 C(1,0) (2)由 ,可得圆心 ，半径为”=2 因为直线/与圆C相交于M,N两点，且MW=2N5 所以圆心C到直线的距离为d= MN 二1 当直线的斜率不存在时，直线I为x=0,满足题意： 当直线I的斜率存在时，设直线l的方程为y=ax+2,即c-y+2=0 |k+2 =1 则1+2，解得=文、 3 所以直线1的方程为y=一4+2，即3x+4y-8=0, 4 综上直线1的方程为x=0或3x+4y-8=0 【基础题型十四圆内接三角形的面积】 2+y2-2x-4y-4=0 【例14】(25-26高二上辽宁铁岭·阶段检测)已知圆的方程为 设该圆过点 M(1,3) 的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD面积为() A② B.12V2 C.8 D.13 【答案】B M(1,3) 【分析】先将圆的方程化为标准方程，根据过点 的直线与圆心与M的连线垂直时，弦长最短，过 点M0,3 的直线且过圆心时，弦长最长求解 【详解】圆的方程为+少-2x-4y-4=0, 化为标准方程：（x-1)°+(0-2)}2=9 圆心为 N(1,2) 半径为=3， 当过点413 的直线与MM垂直时，弦长最短，且4C=2P-MM=4W2 M1,3) 当过点 的直线且过圆心时，弦长最长，且BD=2r=6, 此时，AC⊥BD, 所以四边形ABCD面积为S=号4C-BD=42x6x分122， 故选：B 变式训练 1,(2526高二全国课后作业)已知圆0：2+y2=16,过圆0内一点(5.)的最长孩和最短弦分别 是AC和BD,则四边形ABCD的面积为() A.122 B.12V5 C16v2 D.16V5 【答案】D 【分析】由最长弦为过点E的直径和最短弦为垂直于直线OE求解. 【详解】如图所示： D 由题意可得AC为圆O的直径，BD⊥OE, 易得OB=5+1P=2,AC=8: :BD=2V16-22=4V3 ·四边形ABCD的面积为2×8×4W5=165 故选：D. 2.(2526高三下河北阶段检测)（多选）已知阴0：+广=9，过点4(2,0)的动直线与圆O相交于 M,N 两点，则() A存在直线，使得MW=4 B.使得W 的长为整数的直线有3条 C.存在直线1，使得△MON的面积为2 95 D.存在直线l,使得△MON的面积为4 【答案】BD OA=2 【分析】依题意可得 即可得到弦长的取值范围，即可判断A、B,再由面积公式得到 SAMON=2sim∠MON,结合C、D选项条件判断即可 【详解1因为圆O的半径为3，O4=2,所以23-2≤MW≤6，即25≤MN≤6，枚A不正确 的长为整数，则W=5或=6，且满足N-5 直线有2条， 满是MN=6 直线有1条，故B正确， △MON的面积SMN=MONsin.∠MON-号sin∠MON. 9 ∠MON=π 3V2 3cos- 2,则sin∠MON=1, 2 2,则O到直线l的距离为42，不符合条件，故C 不正确 者096 in/MON= 2, ∠MOW=π2π 4,则 3或3 若<Mow= π3V3 3,则0到直线1的距离为3c062>2, 3c0s6 不符合条件 若∠MON= 则0到直线的原离为3心行2，符合条什，故D正确 2π 故选：BD +2y+1=0,⊙C:(x-1)2+y2=4 3. (2425高二下·陕西西安期末)已知直线 交于1，B两点，则△1BC 的面积为 8 【答案】5 【分析】利用弦长公式求得 ,进而求得三角形1BC的面积 AB ⊙C:(x-1)2+y2=4 1,0) 【详解】 的圆心坐标为 半径=2 1+0+12 圆心C到直线x+2y+1=0的距离 +42 d= 为4-24- 2 直线x+2y+1=0被圆C:(x-1)2+y2=4截得的弦长为 1288 △ABC面积为°25×55. S= 8 故答案为：5 4.(24-25高二上·湖北咸宁·期中)已知三点 (0.0),A(-L,-B(2,0),记△A0B的外接圆为OC (1)求⊙C的方程： (②)若直线I:x-y-1=0与⊙C交于M,N两点，求△CMN的面积 【答案】)x-+(y+2}=5 ②6 【分析】(1)设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即可： MN (2)由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得，再由三角形的面积公 式代入计算，即可得到结果。 【详解】4)设C的方程为 2+y2+Dx+Ey+F=0 F=0 D=-2 4+2D+F=0 E=4 由题意可得 (1+1-D-E+F=0'解得 F=0 所以oC x2+y2-2x+4y=0 方程为 化为标准方程可得-刂+(0+2=5 (2)由1)可得圆心C0-2) 半径=5 -+2--2 所以圆心C到直线：x-y-1=0的距离为 且lMN=2FP-d=25-(2}=25】 因此CMN的面积为S=Nd=x25x2=6 【基础题型十五直线与圆的实际应用】 【例15】(25-26高二下·广东阶段检测)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半 径为20km的圆形区域内，己知小岛中心位于轮船正西 10akm(a>0) 处，港口位于小岛中心正北4km处， 如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则α的取值范围是() B.1,+0) c. D.(2,+0) 【答案】C 10a×40 d= >20 【分析】根据题意得到 V10a)2+402 ,解得答案。 10a×40 d=- 【详解】小岛到航线的距离为V10a)}+40 ,解得a>43 =>20 3 故选：C 变式训练 1.(24-25高二上江苏扬州开学考试)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半 径为l0km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西l0akm(a>0)处，港口位于小岛中心正北20km处， 如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是() 23 /3 B.(L,+o0) D.(2,+0) 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线AB的方程及暗礁分布的圆形区域的边界⊙O 的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线AB与⊙O相离，进而可求得结果， 【详解】以小岛中心为原点O,东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位 置为点B,港口所在位置为点A,如图所示， VA 0 则020.800.<a>0,防德分有的质形区的边0 2+y2=100 的方程为 所以轮船沿直线返港时直线4B的方程为y-20= 0-20 0a-0x,即2x+ay-20a=0, 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线AB与⊙O相离， d=1-20a>10 2v5 即圆心O到直线AB的距离√4+a2 (a>0),解得a>3. 故选：A 2.(25-26高一下江苏连云港阶段检测)（多选）在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动 点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，下列选项中，圆C面积的可以是() A.5 π 3π D.4 π B.4 C.(6-2W5)z 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到点O在圆C上，（其中0为坐标原点），由O向直线2x+y-4=0作垂线，垂足 为D,当D恰为圆C与直线2x+y-4=0的切点时，圆C的半径最小，根据点到直线距离公式，即可求出 结果 【详解】 2x+y-4=0 D ⊙ 0 因为AB为直径，∠AOB=90,(其中O为坐标原点)， 所以点O在圆C上， 由O向直线2x+y-4=0作垂线，垂足为D, 则当D恰为圆C与直线2x+y-4=0的切点时，圆C的半径最小， 4-45 d=- 此时圆的直径为点O(0,0)到直线2x+y-4=0的距离”√22+1P5, 1-25 r=二d= 此时圆的半径为25， 2V5 4π 所以圆c面积的最小值为Sm=r2=π 5 3π4π 又4<5， 故B错误： (6-2V5x>4r,5m、4x 5’4>5,故ACD正确 -> 故选：ACD 【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，熟记直线与圆位置关系，以及点到直线距离公式即可， 属于中档题 3.(25-26高三上山东青岛开学考试)在气象台4正西方 100W3km处有一台风中心，它正向北偏东 60 20km/h 00km 方向移动，移动速度的大小为 ,距台风中心 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这 种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为 小时 【答案】5 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象 台所在地受到台风影响的时间， 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为B,气象台为4，B=1005 以A为圆心，100为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东60°移动，可知∠DBA=30°， 过A作BD的垂线，垂足为E, 在直角。4BE中，∠ABC=30r,则4E=B=505】 在直角△1CE中，由勾股定理得CE=VAC-AE=50, 所以CD=2CE=100, 100 故持续时间为20 =5小时 故答案为：5. D 个北 4.(25-26高一下内蒙古包头期末)在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东 45°)方向移动，移动速度的大小为25km/h,距台风中心150km以内的地区都将受到影响.若台风中心的 这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】 45-2,4 【分析】根据题意建立数学模型，即台风中心到达B点时开始受影响，计算出直线与圆相交的弦长BC, 利用对称性得到AB，再计算开始影响时间即可， 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， E D C A BE :y=x+200 则台风中心移动的轨迹在直线 上， 2+y2=1502 距离气象台150km的轨迹为 则台风中心经过图中弦CD时，气象台会受到影响， 又照点到直旋E的克d-智-10m、,所以发CD=250-mw可-10m 即BC=BE-CD 2 100N2-50 设经过时间后开始影响，持续时间为 则254=1002-50→4=4W2-225,=100→5=4 4V2-2 所以气象台所在地大约 小时后受到影响，持续时间为4小时 【基础题型十六坐标法的应用-直线与圆的位置关系】 【例16】(24-25高二上全国·课后作业)已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶， 隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过() 39 V39 v39 13 A.4米 B.4米 C.2米 D.4米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， O为圆心，易得半圆的方程为 x2+y2=16(y20)A2.5,0) 因为B在半圆上，且BA1轴，所以片=16-253=975 √39 √39 即g 2故车辆的最大高度应不超过2米。 故选：C 。 变式训练 1.(2425高二上江苏南通期中)已知圆O,+少=r(>0,4(,),B(6 是圆O上两点， 满足x+y=x+为=3，+=- 则() A V6 B.3 C25 D.3 【答案】D 【分折1利用1(，），B(,乃）是圆O上两点，建立方程组，两式相加并进行配方，解出即可 【详解】因为 ,）,B(,)是圆O.+y=r>0上两点， ∫x2+y2=r2 所以x3+y2=r2,将两式相加x2+y2+x3+y=22, 又因为 +y=x2+y2=3 所以+++片=(G+-2x5+0y+广-2%=2r2 即18+2=2,2 解得3V2 故选：D 2.(2425高二上：广西贵港开学考试)（多选）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为 圆心、半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该 轮船的行驶路线可以是() A.南偏西45°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西30°方向 D.北偏西25°方向 【答案】BCD 【分析】以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，k为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解 轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项 判断即可 【详解】如图，以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，1k为单位长度，建立如图所示的直角坐标系， A(25,0) 则轮船所在的位置为 受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为+少=400， 设轮船航线所在直线的方程为'=(x-25),即c-y-25k=0。 25 >20 由Vk2+1 心，得天一子我之 3 因为tan45°=1<号<tam60°=5， 4 3 所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西 25°方向. 故选：BCD 3.(25-26高二上湖南长沙期中)已知OM的圆心为“ 为M(3-5),且与直线-7y+2=0 切，则圆C的 面积为 【答案】32π 【分析】求得圆的半径，进而求得圆的面积 【详解】因为圆M与直线x-7y+2=0相切， M(3,-5) 所以点 到直线：x-7y+2=0 的距离即为圆M的半径， 3-7×(-5)+2=0_40 所以 V1+(-7)2 24W5,圆c的面积为×4=32 故答案为：32π 4.(24-25高二上四川期中)已知 (-2,2B(-2,6),C4,-2)三点，点P在圆E:+少=4上运动.、 (若直线PA与圆E有唯一公共点，求PA ②求lP4+Pa+PC 的最小值. 【答案】()2 (2)56 【分析】(1)求出圆心和半径，根据题意得到直线PA与圆E相切，且唯一公共点为点P,由勾股定理求 出切线长： 6②设P(,川，且+=4，表达出P+Pg+PC=80-12y,而2≤y≤2，散当y=2时，取 得最小值56 【详解】()由题意知，圆E的圆心为E0,0),半径r=2, 故4E=V(-2-0)+(2-0=22, 由题意可得直线PA与圆E相切，且唯一公共点为点P, 在Rt△APE中，由勾股定理可得P4=VAE-r2=2 ②设P(列，且+y=4. 故lP+P8+PC=c+2y+0-2+c+2+0-62+x-42+0+2 =3(x2+y2）-12y+68=12+68-12y=80-12y 而2≤y≤2，当y=2时，PA+Pa+PG 取得最小值56 【基础题型十七过圆内定点的弦长最值（范围）】 【例17】(25-26高二上广西百色期末)已知圆C,Gx-3+0-4=16 mx+y-m-3=0 ,直线1： ,则 直线1被圆C截得的弦长的最小值为() A.2v7 B.2V0 C2v分 D.2V2 【答案】A 【分析】先求直线所过定点P,确定定点P在圆内，则有CP⊥1时，直线I被圆C截得的弦长最小，依此 求解即可 【详解】直线：mr+y-m-3=m(x-l)+y-3=0 x-1=0 x=1 令y-3=0,即y=3,所以直线1恒过定点P1,3), 圆C:6x-3》+0-4=16 的圆心为 C3,4) 半径为=4， 且PC=0-3+6-4=5<16 ,即点P在圆内， 当CPL/时，圆心C到直线1的距离最大为dPC=V3-P+(4-3)=V5 此时，直线1被圆C截得的弦长最小，最小值为2P-d=2而 故选：A 变式训练 1.(25-26高二上河北阶段检测)已知点 圆C:x2+y=4,则经过点P且被圆截得的弦长最 短时直线的方程为() A.2x-4y-5=0 B.2x-4y+5=0 C.2x+4y+3=0 D.2x+4y-3=0 【答案】B 【分析】令所求直线为，由题意可知1PC,由垂直直线间斜率的关系求得，由点斜式求得直线方程 【详解】令过圆C内一点P且被圆截得弦长最短的直线！，则I1⊥PC =-2 由题意得， 1 ,k 定在在，且是，所以5分 1 :y-1= 所以 2x+2) 即2x-4y+5=0. 故选：B. 2.(25-26商二上山西晋中阶段检测）《多选)过点P(42)的直线与圆-1+0+2八=36相交于M. N两点，则线段MN长度可以是() A.6 B.7 C.12 D.13 【答案】BC 【分析】先探究 P(4,2刃与圆的位留关系，再求出MN的取值范围即可 【#解】题-旷+0+2=6的圆心为C-2习 ,半径为6， 由（4-+2+2y=25<36,得点P42)在圆内， 所以当直线CP与直线MN垂直时，线段MN最短，最短为26-25=2而， 而W的最大值为12，所以MNe[2,12] 故选：BC 3。（2025-上海闵行一模)过点P》 x2+y2=4 的直线被圆 截得的最短弦长为 【答案】 2V2 【分析】先确定圆的圆心与半径，计算点到圆心的距离，利用“直线与圆心和点的连线垂直时弦长最短” 的结论，结合弦长公式计算最短弦长 【详解】圆r+y2=4 4的圆心为0Q,0),半径r=2 点P(L,1)到圆心0的距离为0P=V1-0+0-0=V2 OP 当直线与OP垂直时，圆心到直线的距离最大（等于 ),此时弦长最短 最短弦长为22-10P平=24-2=2V2 故答案为： 2W2 4.(24-25高二上江西赣州期中)已知圆M,(x-3)+(0+3)=16,直线： (m+1)x+(m+4)y-3m=0 (1)证明：1过定点， (2)求1被圆M截得的最短弦长. 【答案】() 对于直线 (m+l)x+(m+4)y-3m=0,即m(x+y-3)+(x+4)=0 x+y-3=0 x=4 令x+4y=0,解得y=-1, 所以过定点 (4,-1) g2 【分析】(4)将直线'整理得m(x+y-3)+(+4)=0 ,分析求解即可： (2)可知点 P(4,-1 在圆M内，结合圆的性质可知：当直线MPII时，被圆M截得的最短弦长，进而 可求弦长 【详解】(1)略 (2)由题意可知：圆M的圆 M(6,-3),半径=4， 因为PM=V4-3+(-1+3=5<4=r,可知点P(4,-)在圆M内， 由圆的性质可知：当直线MPLI时，I被圆M截得的最短弦长， 此时1被圆M截得的弦长为2V,2-PM=2W 【基础题型十八圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 【例18】(25-26高二下浙江杭州期中)已知点P在圆x-少+(0)-少旷-1上，点e在直线3x+4y+3=0 上，则P 的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案 【详解1厨（x-1旷+(-少=的圆心 d= 3+4+3=2>r=1 圆心到直线3x+4y+3=0的距离√32+42 故直线与圆相离， ∴Pg 的最小值为2-1=1 变式训练 1.(25-26高二上河南开封·期末)经过原点，半径为2的圆的圆心为M,则点M到直线x-y-4=0的距 离的最小值为() A.22-2 B.2W2+2 C.2 D.2V2 【答案】A 【分析】先明确点M的轨迹为圆，圆心为 (0,0),半径r=2,再求点0到直线-y-4=0的距离d,则 d-r为所求 【详解】由题意，圆心M的轨迹为圆，其圆心为 0(0,0 ,半径=2， d=0-0-4 =2W2 则o到直线x-y-4=0的距离为V+(-1月 所以点M到直线x-y-4=0的距离的最小值为d-r=2V2-2. 故选：A 2.(2425高=上江西南昌期中)《多选)已知点P在圆-5+(-5=16上，点4(4,0)，B(0,2)则 () A.点P到直线AB的距离小于10 B.圆上到直线AB的距离等于1的点只有1个 C.当∠PBA最小时，P8=3W2 D.当∠PBA最大时，P8=3W2 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误： 分析可知，当∠PBA最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误 【详解1由x-5+0-5)=16,可得圆心（低，5，r=4 xy 过点A(4,0),B(0,2)直线为：4十2=l即x+2y-4=0, 所以圆心6,5)到直线x+2y=4=0的距离=十4=号5>4于 断心点P到直线A8的距离的最大值为d+,,厅+4<10，点P到直线B的距离小于10，A选项正确 所以点P到直线4B的距离的最小值为d-r-】号5-4<1，圆上到直线B的距离等于1的点有2个，B选 5 项错误： 如图：当∠PBA最大或最小时，此时与圆相切且有圆心(5,5列到B(0,2)的距离为V5-0+(5-2=V34 利用勾股定理可得： |PB=V34-16=3√2 故C,D选项正确： 故选：ACD, x2+y2=4 x-4y+15=0 .(25-26高二下上海期中)圆 上的点到直线 的最小距离是 【答案】1 【详解】圆术+广=4的圆心为 (0,0 ,半径为2， d= 15 =3 因为圆心(0,0)到直线3x-4y+15=0的距离V32+(-4} x2+y2=4 x-4y+15=0 上的点到直线 的最小距离是 -2=1 所以圆 :y=x+1, 4.(2425高二下浙江温州开学考试)己知直线 C:(x-3)2+y2=r2 与圆 (1)若圆C上有且只有一个点到1的距离为1，求r的值： (②设N(,)是圆C上的动点，若N3x,-%+2的最小值为2，求r的值 【答案】①/=22-1 3V5 (2)2. 【分析】(1)由题设求出圆心到直线：y=x+1的距离，根据圆C上有且只有一个点到1的距离为1，确 定圆的半径即可： (2)将已知条件化为圆C上点 N,W)到直线Bx-y+2=0 距离最小值为1，结合圆心到直线 V3x-y+2=0 的距离，即可得圆的半径 d-B-0+l-25 【详解】(1)由题设，圆心C(3,0)到直线1：y=x+1的距离为“√？+12 所以=2,2-1时，圆c上有且只有-个点到1的距离为1， 2)由V3x-%+2=2 5x-%+2 N5P+P,甲圆C上点N,)到直线x-y+2=0的距离最小值为L, 3W3-0+2 3W3+2 因为圆心C(8,0)到直线V5x-y+2=0的距离为d V3)2+(-1)2 2 3V5 所以2 ☑ 第二部分 练提高题型 【提高题型一直线与圆的相关求值】 M(m,0),N(0,n) 【例1】(2026重庆渝中·三模)在平面直角坐标系中， 为两不同的动点，以MN为直径 1:2x+y-5=0 MN 的圆与直线 相切，则 的最小值为() A.V5 B.4 C.22 D 2V5 【答案】A MN 【分析】根据点O在圆上得出M最小时只需O往直线'作垂线所得垂线段为直径，利用点到直线的距离 公式可得 【详解】因为MN是直径，∠MON=90°，所以点O在圆上， 过0作OD垂直直线2x+y-5=0,垂足为D, MN 因为圆C与直线2x+y-5=0相切，所以M最小，只需OD为圆的直径即可， OD= 0+0-51=5 0到直线2x+y-5=0的距离 V4+1 MN 则 的最小值为V5 M 变式训练 :x+y+1=0 1. (2026湖南衡阳·二模)已知点P是直线 上一点，过点P作圆 C:(x-5)'+y=1 的两条切 线，切点分别为A,B,则Cos∠APB的最小值为() 2W2 7 8 A.6 B.3 C.8 D.9 【答案】D 【分析】先求得sin∠APC的最大值，再由二倍角公式得出cos∠APB的最小值. 【详解】圆x-5)+y2=1 (5,0) 的圆心C的坐标为，半径为1. 因为PA,PB为圆C的切线，切点分别为A,B, 所以AC⊥AP,BC⊥BP,AP=BPAC=|BC=1 所以∠APC=∠BPC=∠APB,sin∠APC=ACL=L IPC1IPC· 当PC⊥I时，PC取最小值，PC= 5+L=32 √2 V12+12 ,此时sin∠APC取最大值6， 又 APc(o) 国数归在O子单速，即乙C取大，比时乙APB取家大凰 又∠APB∈(0，所以cos∠APB)am=l-2(sin2∠APCm=1-2× 22_8 6 9 2.(25-26高二上河南期中)（多选）已知直线 +1+2k-y=0gO:x2+y2=8 和圆 ,则() A.直线过定点(-2，) B.直线I与圆O有两个交点 C.圆心O到直线的距离有最大值5 D.宜线被圆截得的最短弦长为25 【答案】ABC [x+2=0 【分析】对于A,只需将直线I的方程整理成关于k的方程，依题意可得-y+1=0;对于B,因A项得到 的直线过的定点恰在圆内，故直线必与圆相交：对于C,利用直线过的定点A恰在圆内，当OA⊥1时， 圆心O到直线的距离有最大值；对于D,结合C选项可知当OA⊥I时即得最短弦长 x+1+2k-y=0 k(x+2)-y+1=0 【详解】对于A项，由直线方程 可整理为： x+2=0 因k∈R,故需使-y+1=0,即直线1过定点(-2,1)，故A项正确： 对于B项，由A项知直线过定点1(-2，)， 而该点到圆心O0,0)的距离为V5, 而5<2V ，即点A在圆内，故直线与圆有两个交点，故B项正确： 对于C项，如图，易知当且仅当011时弦心距最长，此时弦心距即为 45 故C项正确： 5 对于D项，要使直线'被圆截得的弦长最短，需使弦心距最长即为5， 最短孩长为222-65可=25，故D项销误 饭理知下：过点作直我，交顶于友从N过点O作0听1 ,垂足为， 在RtAOF中，显然DAPIOFI,而MW上2VP-1OA,M,N卡2P-|OFP 其中’为圆的半径，则易得 MNKM NMN ,即是直线与圆相交最短的弦长) 故选：ABC 2x-y+5=0,x2+y2=9 3.(2025四川成都·一模)已知直线 与圆 相交于A,B两点，则线段AB中点的坐 标为 【答案】 （-2,1) 【分析】联立直线与圆，应用韦达定理求得+=4 ,进而有 ya+yg=2 ,即可得中点坐标 【详解】由题设，直线方程为'=2x+5 2+y2=9 联立 所以+2+=9.则52+20r+160 20 所以xA+xB=- =-4,则y4+ya=2x4+x)+10=2: 5 所以线段AB中点的坐标，)，即为(2 2 2 (-2,1) 故答案为： 4.(2425高二上浙江金华阶段检测)一个小岛（点O)的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心， 半径为lkm的圆形区域内，轮船在小岛正东方2km的B点处.以小岛中心为原点O,正东方向为x轴的正 方向，正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，取km为单位长度. yA K 轮船主 (1)若轮船沿北偏西45°的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由： 1 (②)若直线过点B,且其倾斜角为直线'=2x的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点P 到直线的距离的最小值， 【答案】()轮船没有触礁风险，理由：由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆O的方程为： x2+y2=1 2,0) 轮船航线所在直线过点 所在直线的领斜角为135，斜率为1，直线方程为'=-(x-2),即 x+y-2=0 2 原点到轮船航线所在直线的距离为下V2>1 d= 所以，轮船没有触礁风险， 3 km (2)4x-3y-8=0:5 【分析】()由点到直线的距离求得小岛中心为原点O与轮船航线的距离，从而判断直线与圆的位置关 系，得到轮船航线是否穿过暗礁区域： k (2)由题意可求出得到直线方程，由圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系，从而知道最短距离为 圆心到直线距离减去半径 【详解】(1)略 (2)记直线1的倾斜角为。，直线y=2x的倾斜角为B, 4 tan=k=tang tan2 3 4 直线1的方程为：y=3（x-2),其一般式方程为：4x-3y-8=0. 88 d= =->1 易知原点到直线1的距离为V32+425, 直线1与圆O相离， 8 圆上动点p到直线，的距离的最小值为：亏1=(km), 【提高题型二圆的切线及切线方程的相关求解】 【例2】(2525新二上辽宁抚顺期未)过C+0+=25上一点M6,0作岗C的切线，则的方 程为() A.4x-3y-12=0 B.4x+3y-12=0 C.3x+4y-9=0 D.3x-4y-9=0 【答案】C 4 -13 【分析】由题意可得子，从而得云一手，写出直线的点斜式方程，再化成一般武即可 【详解1圆+0+4=25 0,-4) 的圆心为 -4-04 则直线1ew的斜率kav=0-3=3? 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， l⊥lcw 即 ·kcw=-l 所以 M -4 c 则切线l的斜率kcw 4 3 所以直线，的方程为y=4x-3), 即3x+4y-9=0 故选：C 变式训练 C:(x-2)2+(y-1)2=5 1.(25-26高二上·贵州毕节期末)过原点且与圆 相切的直线的方程为() A.x+2y=0 B.x-2y=0 C.2x+y=0 D.2x-y=0 【答案】C 【分析】分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解 C:(x-2)2+y-1)2= 【详解】圆 5的圆心是2》.半径为=5 直线过原点，且斜率不存在时，方程为x=0 圆心到直线的距离是2≠”，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立： 当斜率存在时，设直线方程为：y=,即a-y=0, 2k-1-5 圆心到直线的距离为√k2+1,解得k=-2, 即y=-2x,即2x+y=0 故选：C M:(x-1)2+y-1)2=4 1:x+y-6=0 2.(2425高一下江苏南京期中)（多选）已知圆 ,直线 ,A为直 线I上一点，若M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°，则点A的横坐标可能取值为() A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】BC 【分析】由从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时构成的角最大，得到MA的长 度为4，结合两点间的距离公式，即可求解。 【详解】根据题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时构成的角最大， ∠PAQ=60 不妨设切线为 P,A0,则 时，此时 PM0=120,所以M4的长度为4， 把问题转化为直线上找到一点，使它到点M的距离为4， 设4(，6-6），则M,,所以，-1+5-=16，解得6=1或=5 所以点的横坐标 的取值范围是，列 结合选项，可得B、C都适合 故选：BC 3.(25-26高二上贵州贵阳阶段检测)己知P为直线：3x-4y+9=0上一点，过P作圆 C:(x-2)2+y2=4 的切线，则最短切线长为 5 【答案】 【分析】根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解 【详解】依题意，圆C:(6x-2少+少2=4 的圆心C2,0,半径r=2,过点P作圆C的切线P4,A为切点， 连接PC,AC,如图3：显然AC⊥PA,在RtaPAC中，PA=VPC-4C=VPC-P=Pc-4 因此，要切线长PA最短，当且仅当线段PC长最短即可， 而线段PC长是定点C与直线I上任意一点P之间的距离， 于是得线段PC长的最小值是点C到直线I的距离d, 百.8g99-3,因tM=原=5 V32+(-4)2 5 所以切线长最短为 l:3x-4y+9=0 5 故答案为： 4.（25-26高二上福建厦门期末)已知因C:+少=4，直线'过点4(-2，别 (1)当1与圆C相切时，求的方程： (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明动点M的轨迹 【答案】(1)x=-2或3x-4y+10=0 回+-1，数为以号为心.1为半轻的 【分析】(1)分析直线斜率是否存在两种情况讨论求解切线的方程. x0=2x+2 (2)法一：设点M(x,y),B(x,y),可得=2y-1,利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程； MN 法二：利用中位线性质得出 的值，求出V点坐标，根据圆的定义得到点M的轨迹方程 【详解】（山己知圆C的圆心是O(0, ,半径是2 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=-2,符合题意： 当直线的斜率存在时，设直线'的方程为-1=(+2），即：-y+2k+1=0 2k+1=2 3 则圆心0到直线1的距离为？+2，解得=4， 故直线/的方程为3x-4y+10=0. 综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+10=0, x=6-2 2 (2)(解法1)设点 ,则由点是线段 的中点得 M(x,y）B(xo,y) 少=+1， M AB 2 x,=2x+2 所以y=2y-1①， 因为点8在圆C上运动，所以5+6=4。 ②， 将①代入②得(2x+2)+(2y-1}=4 化筒得点M的轨迹方程是任++=1 所以点M的轨迹为以八 2)为圆心，1为半径的圆 (解法2)连接OA,OB,取OA中点N,连接MN, A M B A 0 因为M为AB中点，所以MN=OB=L, 因为20，所 所么M的数选为号)为心1为牛径的风。 所以动点M的轨迹方程为x++-1 第三部分 自我检测 1,（25-26高二下河南平顶山期末)已知0eR,则圆t-a+0y-2a=9 任意一点到直线 3x-4y+5a+10=0 的距离的最大值为() A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值 【详解】该圆的圆心为a,2 ，半径为3，圆心到直线3x-4y+5a+10=0 的距离为 3a-8a+5a+10l_10=2 V32+(-47 5,所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+35. x2+y2-2x-4y+m=0 1:x+2y-4=0 2.(24-25高二上·浙江宁波期中)已知圆的方程为 ,直线 与圆相 交于M,N两点，若OM⊥ON(O为坐标原点)，则m的值为() 6 16 A.5 B.5 c. D.5 【答案】C 【分析1将圆的方程与直线方程联立，设M(,）、N(,),利用OM1ON可得5+=0，利 用韦达定理，即可求出m 【详解】由+广-2x-4y+m=0,得（-少+(-2=5-m 则5-m>0,即m<5, [x2+y2-2x-4y+m=0 联立x+2y-4=0 ,得5y2-16y+8+m=0, 设Mk,.N,,则+-8 16 则5=(4-2y4-2)=16-80y+y)+42 因为OM1OW,所以9 OM.ON=+=0 则16-8+5)5=0，即16-8白5号-0解有a-号 故选：C 3.(25-26高二上江苏淮安·期中)过圆 +2x+-4=0上-点M0,2》 作圆的切线”则的方程为 () A.x+3y-6=0 B.2x+y-2=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y+4=0 【答案】C 【分析】先求圆心C,CM和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程 .2-0 【译解】由题意利：四心C1.0y所以02气-之，且k=-1,解符=方 所以直线，的方程为：y-2=x-0,化简得：X+2y-4=0 故选：C 4.(2526高=上河北索皇岛期末)若直线N5x-y=0被圆+了+侧+2m=0m∈R)狱得的弦长为2， 则m=() 1 A.1 B.-1 C.-1或 D.1或3 【答案】D 【分析1利用点到直线的距离公式结合弦长可钩（m+×2=4m-2m 求解即可 【详解】由+少+4mwv+2m=0可知圆的方程为 +0+2m=4m-2m表示圆，所以4m-2m>0, 解得m<0或m> 2 C(0,-2m) 圆心 半径为=V4m2-2m 5x0-(2m=m d 所以圆心到直线5x-y=0的距离V矿+(-) 南孩长为2网得0a旷+行x2小=m-2 ,所以3m2-2m-1=0, 解得m=一 3或m=1 故选：D A11,2) 2+y2+2x-4y-164=0 5.(2026高三全国·专题练习)过点 作圆 的弦，其中弦长为整数的共有 () A.16条 B.17条 C.32条 D.34条 【答案】C A(11,2),x2+y2+2x-4y-164=0 【分析】点 在圆 内，可求得最短弦长和最长弦长，即弦长的取值范围，再 利用圆的对称性即可 2+y2+2x-4y-164=0 【详解】由 (x+1)2+0y-2)2=132 可得 点401,2)在圆内，且点4与圆心间的距离d=V1++2-2y=2, 则过点4的最短弦长为2W132-=2×5=10,最长弦长为2×13=26， 由此可得过点A的弦长的范围为10,26]，在(10,26)间的整数共有15个，由 圆的对称性可知过点4弦长在(10,26)间的弦长为整数的直线共有15×2=30条， 10,26] 则弦长在 间且为整数的直线共有30+2=32条。 B A D 6.(2026河南新乡·三模)（多选）已知圆 O:x2+y2=41:(m+1)x+(m-1)y-6=0(m∈R) ,直线 ,则下 列说法正确的是() A.存在实数m,使得圆O关于1对称 14 B.若1与圆0相切，则m=2 C.存在实数m,使圆O上存在点Q到1的距离为6 D,若1与圆0相交于A,B两点，且乙A0B= 3,则m=7 【答案】CD 【分析】根据圆心不在直线上判断A,根据圆心到直线的距离为半径判断B,根据圆O上的点Q到I的距离 的范围判断C,根据圆心到直线的距离为I求出m的值判断D. 【详解】由题设可得圆O的半径为2. m+1)×0+(m-1)×0-6=-6≠ 对于A,因为 ,故直线不过原点， 故不存在实数m,使得圆O关于1对称，故A错误： -6 d= =2 对于B,若相切，则圆心O到直线，的距离 V(m+1)'+(m-1 整理得V2m2+2=3, m=tv14 2,故B错误： 6 d= 对于C,由B的分析可得圆心O到直线l的距离V2m2+2, 6 -2 6。+2 故圆0上的动点o到直线，的距离的取值范围√2m2+2√2m2+2 6 6 -2≤6≤ V2m2+2,则T4msV2 =+2 令N2m2+2 4 √2 √2 故当4 ≤m≤ 4时，圆O上存在点Q到1的距离为6，故C正确： 对于D,因为∠40B=公，故O到，的离为d=2×0os受-L 3 6 =1 结合C中的距离可得√2m2+2,故m=7,故D正确 :kx-y+1-k=0,M:x2+y2-4x-4y+4=0 7.(25-26高二上湖北十堰期末)（多选）已知直线 与圆 下列说法正确的是() A.直线在x轴和y轴上截距相等，则k=-1或1 B.过点(0,3)且与圆M相切的直线方程为x=0或3x-4y+12=0 C.直线1与圆M可能相交，可能相切，也可能相离 D.当且仅当k=-1时，直线1被圆M截得的弦最短 【答案】ABD 【分析】对A,根据结论和过原点两种情况讨论即可判断：对B,分直线斜率存在和不存在讨论即可：对 C,求出直线所过定点与圆位置关系即可判断；对D,根据直线被圆所截弦最短结论即可判断 【详解】对A,当直线的斜率为-1时，直线！在x轴和y轴上截距相等， 此时k=-1,:x+y-2=0,符合题意； 当直线经过原点时，此时1-k=0,解得k=1, 综上，k=-1或1，故A正确： 对B,M:r+y广-4-4y+4=0,即M:(x-2+(0-2=4,圆心M(2,2),半径r=2, 当直线斜率不存在时，此时直线方程为x=0,符合题意： 当直线斜率存在时，设过点(0,3)的直线方程为y=r+3,即x-y+3=0, 2n-2+3=2 3 则有√n2+1 ,解得”=4，则直线方程为3x-4y+12=0, 综上，直线方程为x=0或3x-4y+12=0,故B正确： 「x-1=0 「x=1 1:c-y+1-k=0即：k(x-1)-y+1=0,令-y+1=0,解得y=1,则其过定点A(1,1), (1,1) 将其代入圆的方程得+-4×1-4×1+4=-2<0，则定点 在圆内，则其与圆M一定相交，故C错 误： 1-2 对D,因为kM--21,当直线与直线AM互相垂直时。此时直线I被圆M酸得的弦最短，则k=-: 故D正确 故选：ABD. C:x2+y2-4x-8y+12=0 8.(25-26高二上江苏南京·期中)（多选）已知圆 1:x-y+k=0 和直线 ,则下 列说法正确的是() A.当=0时，直线被圆裁得的弦长为26 B.当k=0时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C.当k=4时，过直线I上一点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则四边形PACB面积最小值 为6 108 D.当k=-4时，过直线I上一点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB恒过定点(3'3 【答案】ACD 【分析】根据垂径定理可求得A正确：根据圆心到直线距离等于2和1<2厂可知B错误：根据垂直关系 可求得 S,一，知C正确：根据圆心与切点连线垂直可推导得到圆C上任一点处的切线方程，进而推导 得到直线AB的方程，根据直线过定点的求法可构造方程组求得定点坐标，知D正确 1 【详解】由圆C:2+y2-4x-8y+12=0知：圆心C(2,4),半径=2×16+64-48=22， 2-4 =<r 对于A,当k=0时，圆心C到直线l的距离V1+1 “直线'被圆C截得的弦长为2-d=26,A正确： 对于B,当=0时，圆心C到直线7的距离d=万=之， 1<2,:圆上到直线，的距离为1的点有4个，B错误： 对于C,PA,PB为圆C的两条切线，AC⊥PA,BC⊥PB, -PCP-8..S.mc-s.m-P4C-2JPCF-16. 2-4-4=32 1:x-y-4=0,当CP⊥1时，|CP取得最小值V2 :四边形P4CB面积的最小值为2(S,pc)=22×32-16=45,c正确： 对于D,设M(,)是圆C上一点，圆C方程可整理为：(x-2)+(-4=8 1=-。-2 当，≠2+2√2或2-2V2时，在M(,%)处切线的斜率为kw%-4, :在M(,)处切线方程为： y%=--2 x-xo) %-4 又，-2)+(0。-4)2=8 整理可得该切线方程为：(：-2x-2)+(%-40-4)=8 当=2+25或2-25，在M处切线满足方程气-2-2)+，404)=8 综上所述：在圆：-2+-4=8上=点（气，)处的切线方程为气-2(x-2)+(-40-4)=8 设1，小B(,) 则直线P1:(6-2-2)+640-4到=8，直线PB:(6-2x-2+(0-40-4)=8 (x-2)(x3-2)+(y-4)(y-4)=8 设P(x,3),则(：-2)(：-2)+(0-4)3-4)=8， 六4B坐标满足方程任-2≤-2列+0-40y-4)=8 即直线1B方程为： (x-2)(x-2)+(y-4)(0y-4)=8 P :x-y-4=0 =x3-4 为直线 上的动点， B:(-26-2+0-4-8)=8,整理可得：（+y-65-2x-8+28=0. ·直线 10 X= 3 令x+y-6=0,解得： 8: -2x-8y+28=0 y= 108Y ·直线AB恒过定点(3'3 D正确 故选：ACD 9.(24-25高=上辽宁丹东期末)《多选)已知直线y-1=k(x-3列与圆C:(x-2+0-1旷=1交于 A,B 两点，则() 3,-1) A.直线恒过定点 B.圆C与轴相切 C.AB最大值为2 D.aCAB的面积最大值为2 【答案】BCD 【分析】选项A,当x=3时，y=1,可判断：选项B,圆心到x轴的距离为半径可判断；选项C,直线l 的定点在面Ck,越网装大为直径2，达项D,设c到AB的距宽为1：则S心-子号。 进而可得 【详解】选项A:当=3时，)=，故直线恒过定点6)，故A错误 选顶B:圆C的圆心为21，半径为，由圆心到轴的距离为，即等于半径， 故圆C与x轴相切，故B正确： 选项C:由恩意B,1在圆C:(-2+0y-1旷=1上. 故当AB为圆C的直径时， AB 最大为2，故C正确： 选项D:设C到AB的距离为d,则0<d<1,4B=2V1-d 5.-2s d2= ds 当且仅当”2，即”2时等号成立 故D正确， 故选：BCD 10.(25-26高=上山东济南阶段检测)（多选）已知圆C:r+=2,点P为直线-y+25=0上任 意一点，过点P的直线与圆C交于A,B两点，则下列说法正确的是() A.IPAPB 有最小值为2 B.P4HPBI 没有最大值 C.IPAHPB 有最小值为2V2 D.IPAHPB 有最大值42 【答案】AB 【分析】过P点作圆0的切线PD,利用切制线定理，以及切线长公式得出P4PB=OP-2,再求出 OP 的范围即可 【详解】过P点作圆O的切线PD,D为切点， 则由切制线定理知lP4P8=Po=OP-OD=lop-2 22 =2 又原点到直线x-y+2V2=0的距离为√2∠，故OPlm=2, 故PPE 的最小值为4-2=2 又OP没有最大值，则PP9没有最大值，故选项A,B正确 故选：AB D 1山。(25-26商三上广东湖州期末)记◇为坐标原点，若直线’=瓜与因+少-2x-3=0 于A,B两 点，且OA非2，则OB 【答案】21.5 OA OC 【分析】求出圆与y轴的交点，利用三角形相似可得ODOB,即可得解. 【详解】令x=0,代入圆的方程 2+y2-2x-3=0 中，可得少=V5 即圆r+y-2x-3=0与'轴的两个交点为C0,V5,D0,v) 直线y=6过原点且与圆交于A、B两点， A B D 由∠BD0=∠CAO,∠BOD=∠AOC,可知△OAC和△ODB相似， OA OC 可得ODOB,即OAOB月OCOD=V3V3, 从而 B= 3 3 04 2. 故答案为：2 12.(25-26高三下·湖南长沙开学考试)过 点P0,-2)与圆+--1=0 切的两条直线的切点分别为 AB,则M 30130 【答案】2/2 【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据点到直线的距离公式求出圆心到 点P0-2 距离，然后利用勾股定理求出切线长，最后根据三角形面积公式求出弦长18 【详解】将圆+广-4r-1=0化为标准方程得到《-2)+少=5， C(2,0) 所以圆心 半径5 则PC=V(2-0)+(0-(-2)}=22 在直角三角形P4C中，PA=VPCP-F-22-(S-5, 所x-C4PM}5 2； 22.4B1-54BF 2,代入得到2 2 2 2 V30 故答案为： 13.(2026天津南开·模拟预测)若斜率为1的直线，被圆 x-1)2+y2=9 4 截得的弦长为 2，则该直线方 程为 【答案】y=x+5-1成少=x-V2-1 或 【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解. 【详解】设直线方程为'=x+b→-y+h=0,圆x-1+少= 的圆心1 0),半径=3 1+b d= 圆心到直线的距离”√2， 南笑E司爱--6可与6 或-V2-1, 所以直线方程为’=+5-1或=x-2- 14.(25-26高二上：广西期中)己知某岛屿A正西方向120km处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移 动，移动速度的大小为20kmh.距台风中心100km以内的地区都将受到影响若台风中心的这种移动趋势不 变，则岛屿A所在地受到影响的持续时间为 小时 【答案】8 V3 【分析】设直角坐标系的原点0为合风中心，求出以A为圆心，以100为半径的圆与直线'=了所得弦 长即可 【详解】如图，设直角坐标系的原点O为台风中心，x轴正半轴上存在岛屿 (120,0) y= -X 且台风中心在第一象限沿着直线3运动， B 6 以A为圆心，以100为半径的圆与直线” 3交于B,C两点， 因为点A到直线x-5y=0的距离d-120=60. 2 则BC=2102-60=160 则岛屿4所在地受到影响的持续时间为沁三3小时】 故答案为：8 15.(24-25高二上安微合肥期中)己知圆2：(x-2+少=引，P是》轴上的动点，直线PA,PB分别与网 相切于点么B.若M为B。 A,B M 中点，则点“的轨迹方程为 +<2到 3 【答案】 (限制条件写成x≠2或2≤x<2也可以) 【分析】转化为P,M,0三点共线，以及2M№A=D4,即可列式求解 【详解1设M(y,P0,a).Q(2,0) a 由P,M,0三点共线，则x-22①， 且041PA,AB1Pg,所以l2MlQP=le4,即Vc-2y+y.4+a=l@, 08.肤为-时 0 B 7)2 3 故答案为： A+y=(x<2限制条件写成x2或2≤x<2也可以】 16 16.(2026高二全国专题练习)已知实数x,'满足方程x-2+少=3.求： y (①)的最大值和最小值； 2r+0*+1 的最大值和最小值： 【答案】()最大值为 ,最小值为V5 5 (2)最大值是 最小值是8-25 8+2V15 【分析】(1)根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出 结果； (②)将目标式看作圆上动点P()到定点40，-) 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确 定距离范围，从而得到平方的最值。 【详解】（4)方程（红-2+广=3表示以点(2,0)为圆心，以5为半径的圆 (2,0) 可理解为圆上一点 与原点 间的斜率， y=y-0 x x-0 (x,y) (0,0) 设=人，即v三当直线卫三与圆相切时，斜率人取得最大值和最小 2k-0=5 此时V2+1,解得k2=3. ∴k=√5k=-√5 或 的最大值为5，最小值为-5。 2)x+(y+1=(c-0+0+1 可理解为圆上的一点：)与点P(0,-1 距离的平方， B (2,0) P(0,-1)A 又圆心(2,0)到点P(0,-)的距离为V2-0+(0+1=V5. 所以x+(0y+的最大值是(N5+5=8+25, 最小值是(5-V5)=8-25 17.(25-26高=上浙江杭州期末)已知因C:×+)-4红-6+8=0，点P3,5) (1)求过点P的圆的切线方程； (②)若直线1过点P且与直线x-y+1=0平行，求直线1被圆C所截得的弦长. 【答案】(1)x+2y-13=0 ②32 【分析】(1)首先判断点与圆的位置关系，再根据切线的性质，求圆的切线方程： (2)首先求直线的方程，再代入弦长公式，即可求解， 【详解1山圆C:(x-2+0-3=5,圆心为C2,3),点P6,5)在题上， 1 kp=2,故切线所在直线斜率为2， 所求切线方程为y-5=北-3)，即x+2y-13-0: (2)直线1的斜率为1， 过点P35) 它的直线方程为-y+2=0 d= 2-3+2=2 圆心C到直线的距离为“VP+(1 2 13 5 所以直线I被圆C所截得的半弦长为V22 3V2 即直线1被圆C所截得的弦长为 18。（25-26商二上江苏南通阶段检测)已知圆C:-2+0-3那=1 (1)过 P(3,5)作圆C的切线，求'的方程： (2)已知直线AB:x+2y-7=0,判断直线AB与圆C的位置关系；如果相交，求直线AB被圆C所截得的弦 长 【答案】(1)x=3或3x-4y+11=0. 45 (2)相交： 5 【详解1山：国C:(-2+-3=1,圆心为C(2,3),半径为 由6-2+5-3犷=5>1，点P3,5)在圆C外 当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=3,此时圆心C到直线的距离为1，即直线与圆相切： 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 -5=k(-3),即x-y-3张+5=0， -2k-3-3张+.2-4-1 此时圆心C(2,3)到直线1的距离 Vk2+1 √k2+1,解得k=4, :直线y的方程为-5=-列，即3x-4打410 综上所述，直线1的方程为x=3或3x-4y+11=0 (2)直线AB与圆C相交，理由如下： C(2,3)AB:x+2y-7=0 圆心 = 2+2×3-7_V5 <1 .圆心C到直线AB的距离为 V12+22 5,故直线AB与圆C相交 直线，。被圆一所截得的弦长=2VP-P= 4V5 5 AB 19.(24-25高二上北京大兴期末)某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 20千米的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处 (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置： 4 3 2 小岛中心 4-3-2-1可1234 -1 2 -3 -4 (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由。 4 34港口 小岛中心 轮船 【答案】(0432101234x 2 -3 -4 (2)不会有触礁危险，理由如下： 以小岛中心为原点O,东西方向为x轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)， 轮船所在位置坐标为(4,0)， x2+y2=4 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 轮船航线所在直线的方程为：+即3+4y-2=0 专题2.5 直线与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+18大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断直线与圆的位置关系 题型二、由直线与圆的位置关系求参数 题型三、直线与圆的位置关系求距离的最值 题型四、求直线与圆交点的坐标 题型五、直线与圆相交的性质--韦达定理及应用 题型六、直线与圆中的定点定值问题 题型七、过圆上一点的圆的切线方程 题型八、过圆外一点的圆的切线方程 题型九、切线长 题型十、切点弦及其方程 题型十一、已知切线求参数 题型十二、圆的弦长与中点弦 题型十三、已知圆的弦长求方程或参数 题型十四、圆内接三角形的面积 题型十五、直线与圆的实际应用 题型十六、坐标法的应用--直线与圆的位置关系 题型十七、过圆内定点的弦长最值(范围) 题型十八、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 第二部分·练提高题型 题型一、直线与圆的相关求值 题型二、圆的切线及切线方程的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【即时训练】 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 2．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 知识点02 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点的切线方程为. ②经过圆上一点的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点的切线方程为=0. 【即时训练】 1．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 知识点03 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为 ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【即时训练】 1．（2026·广东佛山·二模）设直线与圆交于两点，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为______. 【基础题型一 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选）判断直线与圆的位置关系，下列说法错误的有（   ） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 3．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是______． 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）判断圆与下列直线的位置关系 (1)； (2)． 【基础题型二 由直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）（多选）过点的直线与圆有公共点，则直线l的斜率可以是（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 4．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【基础题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例3】（24-25高三上·北京西城·期末）已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期末）（多选）已知点在圆：上，直线，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线与圆相离 C．点到直线距离最大值为 D．点到直线距离最小值为 3．（24-25高二上·江西·阶段检测）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为______. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知x、，时，求的最大值与最小值． 【基础题型四 求直线与圆交点的坐标】 【例4】（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 1．（2025·北京顺义·一模）若圆与y轴交于A，B两点，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，，动点满足（为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，存在满足条件的点使得 B．若，当不重合时，点可构成一个直角三角形 C．若，线段长的最小值为2 D．若，则点的轨迹和以为圆心，长为半径的圆有两个公共点 3．（24-25高二上·福建厦门·期末）轴被圆截得的弦长为______． 4．（25-26高二·全国·课堂例题）已知直线和圆，判断直线l与圆C的位置关系．如果相交，求出它们的交点的坐标． 【基础题型五 直线与圆相交的性质--韦达定理及应用】 【例5】（24-25高二上·四川眉山·期中）若直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25高二上·全国·单元测试）如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）（多选）实数x，y满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏·期末）已知直线与圆交于两点，为原点，且，则实数的值为__________. 4．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由. 【基础题型六 直线与圆中的定点定值问题】 【例6】（25-26高三下·浙江·阶段检测）半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南保山·期末）（多选）圆，直线过点且与圆交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．面积的最大值为2 C．的最大值为4 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则 3．（25-26高二上·四川德阳·期中）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则______． 4．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯的一个研究成果：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，这个圆也称为阿氏圆.已知O为坐标原点，动点P到点的距离是到点的距离的2倍，记动点P的轨迹是曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知直线l过定点，且与曲线C交于M，N两点，设直线OM，ON的斜率分别为，，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【基础题型七 过圆上一点的圆的切线方程】 【例7】（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）（多选）与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 4．（25-26高二上·浙江·期中）已知点，直线，圆：. (1)过点作圆的切线l，求直线l的方程； (2)若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 【基础题型八 过圆外一点的圆的切线方程】 【例8】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 1．（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 2．（24-25高二上·广东中山·期中）（多选）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 4．（25-26高二上·云南西双版纳·期末）已知圆，点，且直线经过点P. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若直线与C相切，求直线的方程. 【基础题型九 切线长】 【例9】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（多选）已知点和圆O：，则下列选项正确的有（    ） A．若点P在圆O内，则直线与圆O相交 B．若点P在圆O上，则直线与圆O相切 C．若点P在圆O外，则直线与圆O相离 D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________. 4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【基础题型十 切点弦及其方程】 【例10】（24-25高二上·安徽六安·期中）过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·河南焦作·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北孝感·期末）（多选）已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（    ） A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 3．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长__________. 4．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 【基础题型十一 已知切线求参数】 【例11】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 2．（24-25高二上·广东湛江·阶段检测）（多选）若直线与圆相切，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江绍兴·三模）如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为________． 4．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【基础题型十二 圆的弦长与中点弦】 【例12】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 1．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 2．（24-25高二上·广东韶关·阶段检测）（多选）已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长可能为（    ） A．5 B．6 C． D．7 3．（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 4．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)求直线被曲线E截得的弦长． 【基础题型十三 已知圆的弦长求方程或参数】 【例13】（25-26高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二下·辽宁朝阳·开学考试）（多选）已知过点的直线l被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南德宏·期末）直线与以点为圆心的圆相交于两点，且，则圆的标准方程为________． 4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， (1)求圆C的方程； (2)过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【基础题型十四 圆内接三角形的面积】 【例14】（25-26高二上·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（    ） A． B． C．8 D．13 1．（25-26高二·全国·课后作业）已知圆：，过圆内一点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河北·阶段检测）（多选）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点，则（    ） A．存在直线，使得 B．使得的长为整数的直线有3条 C．存在直线，使得的面积为 D．存在直线，使得的面积为 3．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为___________. 4．（24-25高二上·湖北咸宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【基础题型十五 直线与圆的实际应用】 【例15】（25-26高二下·广东·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆面积的可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 4．（25-26高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【基础题型十六 坐标法的应用--直线与圆的位置关系】 【例16】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（    ） A． B．3 C． D． 2．（24-25高二上·广西贵港·开学考试）（多选）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 3．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为______. 4．（24-25高二上·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 【基础题型十七 过圆内定点的弦长最值(范围)】 【例17】（25-26高二上·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知点，圆，则经过点且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）（多选）过点的直线与圆相交于，两点，则线段长度可以是（   ） A．6 B．7 C．12 D．13 3．（2025·上海闵行·一模）过点的直线被圆截得的最短弦长为________ 4．（24-25高二上·江西赣州·期中）已知圆：，直线：. (1)证明：过定点. (2)求被圆截得的最短弦长. 【基础题型十八 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)】 【例18】（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（25-26高二上·河南开封·期末）经过原点，半径为2的圆的圆心为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二上·江西南昌·期中）（多选）已知点P在圆上，点.则（    ） A．点P到直线AB的距离小于10 B．圆上到直线AB的距离等于1的点只有1个 C．当最小时， D．当最大时， 3．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知直线与圆. (1)若圆C上有且只有一个点到l的距离为1，求r的值; (2)设是圆C上的动点，若的最小值为2，求r的值． 【提高题型一 直线与圆的相关求值】 【例1】（2026·重庆渝中·三模）在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 1．（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·期中）（多选）已知直线和圆，则（   ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．圆心到直线的距离有最大值 D．直线被圆截得的最短弦长为 3．（2025·四川成都·一模）已知直线与圆相交于，两点，则线段中点的坐标为_____. 4．（24-25高二上·浙江金华·阶段检测）一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．    (1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 【提高题型二 圆的切线及切线方程的相关求解】 【例2】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期中）（多选）已知圆，直线，A为直线l上一点，若M上存在两点B，C，使得，则点A的横坐标可能取值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 3．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为____________． 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知圆：，直线过点. (1)当与圆相切时，求的方程； (2)设线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程，并说明动点的轨迹 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 5．（2026高三·全国·专题练习）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（    ） A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 6．（2026·河南新乡·三模）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 7．（25-26高二上·湖北十堰·期末）（多选）已知直线与圆 ，下列说法正确的是（    ） A．直线在轴和轴上截距相等，则或 B．过点且与圆M相切的直线方程为或 C．直线l与圆可能相交，可能相切，也可能相离 D．当且仅当时，直线l被圆M截得的弦最短 8．（25-26高二上·江苏南京·期中）（多选）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 9．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知直线与圆交于两点，则（   ） A．直线恒过定点 B．圆与轴相切 C．最大值为2 D．的面积最大值为 10．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）（多选）已知圆，点为直线上任意一点，过点的直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值为2 B．没有最大值 C．有最小值为 D．有最大值 11．（25-26高三上·广东潮州·期末）记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 12．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）过点与圆相切的两条直线的切点分别为，则___________． 13．（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 14．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 15．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为_________． 16．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 17．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点． (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若直线l过点P且与直线平行，求直线l被圆C所截得的弦长． 18．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 19．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 20．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $