专题1.1 空间向量及其线性运算重难点题型专训讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，系统梳理空间向量的概念、线性运算（加减与数乘）、共线与共面向量定理，构建从概念理解到运算应用再到定理推论的递进式学习支架。 资料以11大基础题型与3大提高题型分层设计，搭配即时训练与自我检测，通过正方体、平行六面体等实例培养学生用数学眼光抽象空间形式，用数学思维推理向量关系，用数学语言表达空间结构，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.1 空间向量及其线性运算重难点题型专训 （3个知识点+11大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、空间向量的有关概念 题型二、空间向量的加减运算 题型三、空间向量加减运算的几何表示 题型四、空间向量共线的判定 题型五、由空间向量共线求参数或值 题型六、空间共线向量定理的推论及应用 题型七、判定空间向量共面 题型八、空间向量共面求参数 题型九、空间共面向量定理的推论及应用 题型十、空间向量的数乘运算 题型十一、空间向量数乘运算的几何表示 第二部分·练提高题型 题型一、空间向量加减运算的相关求解 题型二、空间向量共线、共面的相关求解 题型三、空间向量数乘运算的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 空间向量的概念 1．空间向量的概念 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||． （4）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】（1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 【即时训练】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．（25-26高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 知识点02 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝；当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 【注】（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并． （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量． 【即时训练】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 知识点03 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． （2）直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线． 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 2．共面向量定理 （1）共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l．如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． （3）共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行． 【常用结论】 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点． 【即时训练】 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【基础题型一 空间向量的有关概念】 【例1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 1．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，则． 其中正确的命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．0 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 3．（2025高二·全国·专题练习）关于空间向量的命题： ①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则． 其中所有假命题的序号是______________． 4．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【基础题型二 空间向量的加减运算】 【例2】（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 1.（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 2（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    4．（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型三 空间向量加减运算的几何表示】 【例3】（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期中）（多选）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）设是的重心，记，，则________（用，表示）． 4．（24-25高二上·湖北·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【基础题型四 空间向量共线的判定】 【例4】（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 3．（24-25高二·上海·课堂例题）对空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数，使得__________． 4．（25-26高二·甘肃武威·课后作业）如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，判断与是否共线？ 【基础题型五 由空间向量共线求参数或值】 【例5】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）（多选）已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知点，，在同一直线上，求的值． 【基础题型六 空间共线向量定理的推论及应用】 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 1．（25-26高二·全国·课后作业）向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 2．（24-25高二上·安徽·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 3．（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【基础题型七 判定空间向量共面】 【例7】（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量中不共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是__________ 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 【基础题型八 空间向量共面求参数】 【例8】（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 1．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 4．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【基础题型九 空间共面向量定理的推论及应用】 【例9】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西延安·阶段检测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则______．    4．（25-26高三·天津·一轮复习）已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值． 【基础题型十 空间向量的数乘运算】 【例10】（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）（多选）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课堂例题）已知向量，，构成空间的一个基底，若，且，则______． 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，． (1)已知P是的中点，用、、表示、、； (2)已知P在线段上，且，用、、表示． 【基础题型十一 空间向量数乘运算的几何表示】 【例11】（24-25高二上·四川成都·阶段检测）三棱柱中，分别是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则_____ 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【提高题型一 空间向量加减运算的相关求解】 【例1】（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·阶段检测）在四面体OABC中，，，，点M为棱BC的中点，则__________（用表示） 4．（24-25高二上·广东湛江·阶段检测）在四面体ABCD中，设＝，＝，＝，E，F分别是AB，CD的中点，试用，，表示向量. 【提高题型二 空间向量共线、共面的相关求解】 【例2】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·广东中山·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 2．（2026高二·全国·专题练习）（多选）(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线 3．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是BC，的中点，点G在AB上，． （1）已知上底面内一点H满足，求的长． （2）棱上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【提高题型三 空间向量数乘运算的相关求解】 【例3】（25-26高二下·安徽滁州·期末）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（      ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）化简__________. 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林·期末）已知空间向量与共线，则（    ） A．0 B．6 C．-4 D．4 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·甘肃天水·期中）（多选）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 7．（24-25高二上·四川绵阳·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（   ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，满足，则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．设为空间的一组基底，且，则四点共面 8．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 9．（24-25高二上·陕西安康·期中）（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则___________. 12．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）平行六面体中，，，则实数的值为______ 13．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 14．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 15．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    16．（25-26高二上·河南·期中）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 18．（24-25高三上·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 19．（24-25高二上·湖北随州·阶段检测）如图所示，已知斜三棱柱，点分别在和上，且满足， ． （1）向量是否与向量共面？ （2）直线是否与平面平行？ 20．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量及其线性运算重难点题型专训 （3个知识点+11大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、空间向量的有关概念 题型二、空间向量的加减运算 题型三、空间向量加减运算的几何表示 题型四、空间向量共线的判定 题型五、由空间向量共线求参数或值 题型六、空间共线向量定理的推论及应用 题型七、判定空间向量共面 题型八、空间向量共面求参数 题型九、空间共面向量定理的推论及应用 题型十、空间向量的数乘运算 题型十一、空间向量数乘运算的几何表示 第二部分·练提高题型 题型一、空间向量加减运算的相关求解 题型二、空间向量共线、共面的相关求解 题型三、空间向量数乘运算的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 空间向量的概念 1．空间向量的概念 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||． （4）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】（1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 【即时训练】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 2．（25-26高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 【答案】②④ 【分析】根据相等向量的概念可判断①；根据相等向量和向量的模的概念可判断②；由相反向量的概念可判断③；根据相等向量的概念和平行四边形的性质可判断④. 【详解】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误； 根据相等向量的概念可知，若，则，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分条件，②正确； 当、为相反向量时，显然满足，故③错误； 因为A、B、C、D是不共线，所以由，可知且，所以四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则由平行四边形的性质可得，故④正确. 故答案为：②④ 知识点02 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝；当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 【注】（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并． （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量． 【即时训练】 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 2．（24-25高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 知识点03 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． （2）直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线． 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 2．共面向量定理 （1）共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l．如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． （3）共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行． 【常用结论】 1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点． 2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点． 【即时训练】 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 2．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】/ 【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 【基础题型一 空间向量的有关概念】 【例1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 1．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，则． 其中正确的命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】①有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的；②，大小一样方向相同，二者相等；③不能推出；④为零向量时，这一特殊情况要注意，就不成立． 【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，则，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行．故选B． 【点睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量与任何向量都是平行向量． 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 3．（2025高二·全国·专题练习）关于空间向量的命题： ①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则． 其中所有假命题的序号是______________． 【答案】①③④ 【分析】①共线向量的方向相同和相反都可以；②③相等向量长度和方向都一样；④两向量不相等，二者长度是否相等不能确定． 【详解】对于①，例如同一条直线上方向相反的两个单位向量是共线向量，因此①不正确； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，因此②正确； 对于③，平行且模相等的两个向量是相等向量或相反向量，因此③不正确； 对于④，若，则，不正确，例如，而． 其中所有假命题的序号是①③④． 4．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 【基础题型二 空间向量的加减运算】 【例2】（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【详解】． 故选：B. 1.（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 2（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据向量的加法和减法运算逐一化简即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误；    故选：AB 3．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    【答案】 【分析】先求出向量的表达式，再利用中点性质得到，最后通过向量减法求出. 【详解】，因为是的中点， 所以，但，而， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）如图，连接，    则， （2）连接，则 ． （3）， （4） . 【基础题型三 空间向量加减运算的几何表示】 【例3】（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，点在上，且，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法运算法则，以，，为基底表示出即可. 【详解】如图：    ， 又， 所以 ， 故选： 2．（24-25高二上·湖北武汉·期中）（多选）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐一对各项计算判断即可得出结果. 【详解】空间四边形中，，，点是线段的中点， ， ，所以选项D正确； 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C正确， 故选：CD. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）设是的重心，记，，则________（用，表示）． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得答案. 【详解】如图，． 4．（24-25高二上·湖北·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点． (1)若，求的值； (2)求线段的长． 【答案】(1)0 (2) 【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可. 【详解】（1）， （2） ， ． 【基础题型四 空间向量共线的判定】 【例4】（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 1．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）对空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数，使得__________． 【答案】 【分析】根据空间向量共线定理即可得到答案. 【详解】根据向量平行的充要条件可得. 故答案为：. 4．（25-26高二·甘肃武威·课后作业）如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，判断与是否共线？ 【答案】共线 【分析】由题意结合空间向量的运算法则可得，据此可知与共线. 【详解】∵M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，连结AC，则N为AC的中点． ∴＝. ∴与共线． 【基础题型五 由空间向量共线求参数或值】 【例5】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 1．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据法向量定义，把平面平行转化为法向量共线，即可求解. 【详解】根据题意那么它们的法向量，是共线向量， 于是，即解之可得. 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）（多选）已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【详解】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或； 因此与的值可以是或. 故选：AB 3．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知点，，在同一直线上，求的值． 【答案】 【分析】首先表示出，的坐标，再依题意可得，即存在实数，使得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，，， 所以， 因为在同一直线上，所以，即存在实数，使得， 所以，所以，解得， 所以. 【基础题型六 空间共线向量定理的推论及应用】 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 1．（25-26高二·全国·课后作业）向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 【答案】D 【分析】利用反例或共线向量定理可得正确的选项. 【详解】如果，则， 不成立，故A错误， 如果，则，故平行，但不成立， 因为无意义，故B错误. 对于C，不成立，因为是向量，而是实数，故C错误. 对于D，由向量共线定理可得： 向量与非零向量平行等价于存在实数k，使， 故D成立， 故选：D. 2．（24-25高二上·安徽·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 3．（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【基础题型七 判定空间向量共面】 【例7】（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理以及空间共面向量逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A，若，，共面，则， 使得， ，方程组无解，则，，不共面，故A不符合题意； 对于B，若，，共面，则， 使得， ，方程组无解，则，，不共面，故B不符合题意； 对于C，易知不能用与表示， 则，，不共面，故C不符合题意； 对于D，，则 ，，共面，故D符合题意． 故选：D． 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量中不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据共面向量定理判断． 【详解】选项A中，，三个向量共面，A错误； 选项B中，若共面，则存在不全为0的实数使得， 因为构成空间的一个基底，所以，无解，所以不共面，B正确； 选项C中，若共面，则存在不全为0的实数使得， 因为构成空间的一个基底，所以，则，不合题意， 所以不共面，C正确； 选项D中，，所以共面，D错误． 故选：BC． 3．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是__________ 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 【答案】 连接，，，，，．易知，，∴，． ．（*） ∵，，三点共线及，，三点共线， ∴存在实数，，使得，， 代入（*）式，得， ∴，∴，，共面． 又，，过同一点， ∴，，，四点共面． 【分析】把通过，用和线性表示，得它们共面，从而可得四点共面． 【详解】略 【基础题型八 空间向量共面求参数】 【例8】（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 1．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 2．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 3．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 4．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）可求.由已知可设，通过解出，代入即可；（2）由已知得，四点共面，则存在唯一一组实数对，使得成立，代入坐标得到方程组，求解即可得到m的值. 【详解】（1）由已知得，， 因为，设，则， 所以，或. （2）由已知得，， 点在平面ABC上，则存在唯一一组实数对， 使得成立，即， 解得，所以 【基础题型九 空间共面向量定理的推论及应用】 【例9】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量定理的推论求的值即可． 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得． 故选：C． 2．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 3．（24-25高二上·陕西延安·阶段检测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则______．    【答案】 【分析】利用等和面定理求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接AE交于点．    因为M，N分别是的中点，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面EMN，所以平面平面， 点在平面EMN内，所以由等和面定理可知，． 故答案为： 4．（25-26高三·天津·一轮复习）已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值． 【答案】 【分析】分别用基底和表示出,根据四点共面得出的值. 【详解】是等边三角形，是的重心， 如图，延长交于点，则为的中点，， 故 ， 设， 则， 四点共面，，即， 又，，， ，． 【基础题型十 空间向量的数乘运算】 【例10】（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 1．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解. 【详解】因为分别是的中点，是的中点， 所以，， 则. 故选：D. 2．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）（多选）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意得，再利用与共线的单位向量为，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以与向量共线的单位向量为或， 故选：AD. 3．（25-26高二·全国·课堂例题）已知向量，，构成空间的一个基底，若，且，则______． 【答案】2 【分析】由空间向量的运算列方程求解， 【详解】 ， 所以解得 故答案为：2 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，． (1)已知P是的中点，用、、表示、、； (2)已知P在线段上，且，用、、表示． 【答案】(1)，， (2) 【分析】由空间向量的线性运算可得. 【详解】（1）因为M、N、P分别是、BC、的中点 所以，； ； ； （2）因为，所以 所以． 【基础题型十一 空间向量数乘运算的几何表示】 【例11】（24-25高二上·四川成都·阶段检测）三棱柱中，分别是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】， 故选：A． 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】解：A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋； B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝； C中，＋＋＝＋； D中，－＋－＝＋＋＋. 故选：BD. 3．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则_____ 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【答案】；. 【分析】根据是的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果. 【详解】因为是的中点，所以，所以； 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 【提高题型一 空间向量加减运算的相关求解】 【例1】（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 1．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：. 故选：C. 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 3．（24-25高二上·安徽·阶段检测）在四面体OABC中，，，，点M为棱BC的中点，则__________（用表示） 【答案】 【分析】由向量的减法可得：，再利用为的中线即可求解. 【详解】    连接，所以， 又因为为的中点，所以， 所以，又，，， 所以， 故答案为：． 4．（24-25高二上·广东湛江·阶段检测）在四面体ABCD中，设＝，＝，＝，E，F分别是AB，CD的中点，试用，，表示向量. 【答案】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【详解】如图所示， . 【提高题型二 空间向量共线、共面的相关求解】 【例2】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据正方体的性质可解. 【详解】如图，在正方体中，. 故选：A. 1．（24-25高二上·广东中山·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理逐项判断即可． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 2．（2026高二·全国·专题练习）（多选）(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（    ） A．P∈直线AB B．P∉直线AB C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线 【答案】ACD 【解析】由题意可得，代入向量式化简可得，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论． 【详解】解:因为，所以， 所以=， 即=n()， 即=n，所以共线. 又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB. 因为=m+n，故O，A，B，P四点共面. 故答案为：ACD 【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题． 3．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是BC，的中点，点G在AB上，． （1）已知上底面内一点H满足，求的长． （2）棱上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 的长为 【分析】（1）根据正方体的特点，建立空间直角坐标系，会简化很多，表示出点 的坐标，利用求出其坐标，再根据模的计算公式求解； （2）根据共面的基本定理，存在实数 满足，求出 值，即可求出K的坐标，及的长. 【详解】 建立如图空间直角坐标系， 则 , （1）因为 ,点 分别是 的中点， 所以 ，设 ,则 ， ，因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ,所以 ,所以 ， 即 的长为 . （2）假设存在满足条件的点 ，设 , 则 . 因为 共面， 所以存在实数 满足 ， 即 ， 得 解得 ，所以 ,所以 , , 所以存在点，使得 共面，且 的长为 . 【提高题型三 空间向量数乘运算的相关求解】 【例3】（25-26高二下·安徽滁州·期末）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可. 【详解】 故选：D. 1．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可知 ， 所以. 故选：D 2．（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 3．（25-26高二·全国·课后作业）化简__________. 【答案】 【分析】利用空间向量的数乘运算法则即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    1．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【详解】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 3．（25-26高二上·吉林·期末）已知空间向量与共线，则（    ） A．0 B．6 C．-4 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解的值，即可得的值. 【详解】因为空间向量与共线，显然， 所以，解得，，所以. 故选:A. 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 5．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 6．（25-26高二下·甘肃天水·期中）（多选）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 7．（24-25高二上·四川绵阳·期中）（多选）下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（   ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，满足，则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．设为空间的一组基底，且，则四点共面 【答案】ABC 【分析】利用单位向量判断A；利用共线向量的知识判断B；利用平面的法向量的定义可判断C；利用点共面的判定定理可判断D. 【详解】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确； 对于B，非零向量，满足，则有，故B正确； 对于C，由平面的法向量的定义可知与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，由且，故不共面. 故选：ABC. 8．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 9．（24-25高二上·陕西安康·期中）（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 11．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则___________. 【答案】 【分析】利用向量的三角形法则，平行四边形法则进行求解. 【详解】点为的中点，， ，. 故答案为：. 12．（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）平行六面体中，，，则实数的值为______ 【答案】2 【分析】将，都用基底，，表示出来，得到，即可得到. 【详解】， 所以， 故答案为：2. 13．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 15．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 16．（25-26高二上·河南·期中）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【答案】(1)，如图所示 (2) 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图中标出对应向量， （2）先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据空间向量的基本运算，证明即可. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 18．（24-25高三上·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． (3)证明：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量加法计算表示即可； （2）应用得出四点共面； （3）计算得出且得出三点共线. 【详解】（1）依题意可得，    （2）连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． （3）连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 19．（24-25高二上·湖北随州·阶段检测）如图所示，已知斜三棱柱，点分别在和上，且满足， ． （1）向量是否与向量共面？ （2）直线是否与平面平行？ 【答案】（1）共面；（2）答案见解析. 【解析】（1）利用向量运算将用，表示得，进而得共面； （2）分和，并结合（1）的结论即可得答案. 【详解】解(1)∵，， ∴ ∴由共面向量定理知向量与向量，共面． (2)当 时，点重合，点重合，在平面内， 当时，不在平面内， 又由(1)知与向量，共面， ∴平面. 综上，当时，在平面内；当时，平面. 20．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $