专题2.6 圆与圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过表格对比和知识模块系统构建圆与圆位置关系的知识体系，涵盖位置关系判定、公切线、公共弦三大知识点，用表格清晰呈现五种位置关系的关系式、图示及公切线条数，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，9大基础题型如“由位置关系确定参数范围”和2大提高题型如“公切线相关求解”，结合即时训练与自我检测，培养数学思维与运算能力，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题2.6 圆与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断圆与圆的位置关系 题型二、求两圆的交点坐标 题型三、由圆的位置关系确定参数或范围 题型四、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五、相交圆的公共弦方程 题型六、两圆的公共弦长 题型七、圆的公切线条数 题型八、圆的公切线方程 题型九、圆的公切线长 第二部分·练提高题型 题型一、圆与圆的位置关系相关求解 题型二、圆的公切线相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 （1）圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切． （2）圆与圆的位置关系的判定方法①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：设两圆    与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断．当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离． 【即时训练】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知圆：（）与圆：相交，则r的取值范围是________ 知识点02 两圆的公切线 1．两圆的公切线 （1）两圆公切线的定义两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线．（2）两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；③相交时，有2条公切线，都是外公切线；④内切时，有1条公切线；⑤内含时，无公切线．判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系．（3）求两圆公切线方程的方法求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k，b的方程组，求出k，b的值即可．要注意公切线的斜率可能不存在． 【即时训练】 1．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）圆与圆的公切线有（   ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 知识点03 两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 （1）求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示． 设圆：，①圆： ，②①-②，得，③若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程．若为圆与圆的交点，则点满足且，所以．即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程． （2）求两圆公共弦长的方法①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长． 【即时训练】 1．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【基础题型一 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 1．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 2．（25-26高二上·江西·阶段检测）（多选）圆：与圆：没有公共点，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 4．（24-25高二上·广西·开学考试）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 【基础题型二 求两圆的交点坐标】 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 1．（24-25高三·北京·强基计划）若平面直角坐标系中一点与圆上一点关于直线对称，则（    ） A．1 B． C． D．前三个答案都不对 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则以下结论正确的是（    ） A．轨迹C的方程为 B．在直线上存在且仅存在一对点D，E，使得 C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 3．（24-25高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 4．（25-26高二·全国·课后作业）（1）判断圆与圆的位置关系； （2）证明圆与圆外切，并求出切点坐标. 【基础题型三 由圆的位置关系确定参数或范围】 【例3】（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 3．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【基础题型四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 1．（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西·阶段检测）（多选）已知曲线的方程为，曲线关于点的对称曲线为 ，若以曲线与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D．0 3．（24-25高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为______． 4．（24-25高二上·江苏·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 【基础题型五 相交圆的公共弦方程】 【例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）（多选）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 3．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在的直线方程． 【基础题型六 两圆的公共弦长】 【例6】（25-26高二上·海南·阶段检测）圆和圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 4．（2025高二上·全国·专题练习）求圆与圆的公共弦长． 【基础题型七 圆的公切线条数】 【例7】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 3．（25-26高二上·江西宜春·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为__________. 4．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆 圆 (1)若圆C₁与圆C₂恰有三条公切线，求实数a的值； (2)设a = 2时，圆C₁与圆C₂相交于A、B两点，求|AB|. 【基础题型八 圆的公切线方程】 【例8】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 1．（25-26高三上·广西百色·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南·阶段检测）（多选）已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 3．（2025·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为__________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）求圆与圆的公切线所在直线的方程. 【基础题型九 圆的公切线长】 【例9】（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 1．（2025高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东青岛·开学考试）（多选）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. (1)求圆和圆公切线段的长度； (2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 【提高题型一 圆与圆的位置关系相关求解】 【例1】（25-26高二上·辽宁营口·期中）当时，圆与圆的位置关系不可能是（   ） A．内含 B．相交 C．外离 D．外切 1．（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西太原·期中）（多选）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 3．（25-26高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公切线的条数为_____. 4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 【提高题型二 圆的公切线相关求解】 【例2】（25-26高三上·河南·阶段检测）圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值可以是（   ） A．3 B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 4．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 6．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·吉林通化·模拟预测）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 8．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 9．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）（多选）已知圆与圆，下列选项正确的有（    ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 10．（24-25高二上·吉林长春·期中）（多选）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为 11．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）圆与圆的位置关系为______. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为________. 13．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 14．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 15．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为_______. 16．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 18．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 19．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 20．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 圆与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断圆与圆的位置关系 题型二、求两圆的交点坐标 题型三、由圆的位置关系确定参数或范围 题型四、由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五、相交圆的公共弦方程 题型六、两圆的公共弦长 题型七、圆的公切线条数 题型八、圆的公切线方程 题型九、圆的公切线长 第二部分·练提高题型 题型一、圆与圆的位置关系相关求解 题型二、圆的公切线相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 （1）圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切． （2）圆与圆的位置关系的判定方法①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：设两圆    与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断．当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离． 【即时训练】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知圆：（）与圆：相交，则r的取值范围是________ 【答案】 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆相交的条件建立关于的不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为1， 所以， 因为两圆相交，所以， 即，又，所以得， 故答案为： 知识点02 两圆的公切线 1．两圆的公切线 （1）两圆公切线的定义两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线．（2）两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；③相交时，有2条公切线，都是外公切线；④内切时，有1条公切线；⑤内含时，无公切线．判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系．（3）求两圆公切线方程的方法求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k，b的方程组，求出k，b的值即可．要注意公切线的斜率可能不存在． 【即时训练】 1．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）圆与圆的公切线有（   ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】将两圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径，计算圆心距并与半径差比较，判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径. 圆的标准方程为， 圆心为，半径. 两圆心距. ，，故圆内含于圆. 两圆内含时，无公切线. 故选：A 2．（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 知识点03 两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 （1）求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示． 设圆：，①圆： ，②①-②，得，③若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程．若为圆与圆的交点，则点满足且，所以．即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程． （2）求两圆公共弦长的方法①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长． 【即时训练】 1．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 2．（2025·广东·模拟预测）已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 【基础题型一 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 1．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．内含 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心距，并比较与两圆半径和、差的绝对值的大小关系，可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 圆心距为，故，故两圆外切. 故选：A. 2．（25-26高二上·江西·阶段检测）（多选）圆：与圆：没有公共点，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含，从而得到不等式，求出答案. 【详解】圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含， 所以或，即或， 所以或或， 不满足要求，满足要求. 故选：BD. 3．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 4．（24-25高二上·广西·开学考试）已知圆经过三点. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆C：与圆的位置关系. 【答案】(1). (2)圆与圆相交. 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由圆的方程可确定两圆圆心和半径，根据圆心距与半径和差关系可得两圆位置关系； 【详解】（1）设圆的方程为， 则解得 故圆的方程为，标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为4. 圆的圆心为，半径为3. 设两圆圆心的距离为，则. 因为，所以圆与圆相交. 【基础题型二 求两圆的交点坐标】 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 1．（24-25高三·北京·强基计划）若平面直角坐标系中一点与圆上一点关于直线对称，则（    ） A．1 B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】求出点P关于直线对称的点的轨迹与已知圆的交点后可求的值. 【详解】如图，点P关于直线对称的点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆． 这个圆与题中的圆外切于点，因此． 故选：C. 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则以下结论正确的是（    ） A．轨迹C的方程为 B．在直线上存在且仅存在一对点D，E，使得 C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的角平分线 D．在C上存在点M，使得 【答案】AC 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可． 【详解】解：，设， ，化简得，故A正确； 假设直线上存在两点，使得，设，， 则，化简得， 由轨迹的方程为，可得，， 解得，两组解.故B错误； 当，，三点不共线时，， 可得射线是的平分线，故C正确； 若在上存在点，使得，可设， 则有，整理可得，与联立， 方程组无解，故不存在点，故D错误． 故选：AC. 3．（24-25高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）（1）判断圆与圆的位置关系； （2）证明圆与圆外切，并求出切点坐标. 【答案】（1）圆内含于圆；（2）证明见解析，切点为 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再计算圆心距与半径和（差）比较，即可判断； （2）首先将圆的方程化为标准式，得到圆心坐标与半径，再计算圆心距与半径和比较，即可证明，再两圆方程作差得到直线方程，联立直线与圆的方程，即可求出切点坐标； 【详解】解：（1）圆，即圆，圆心，半径； 圆，即圆，圆心，半径， 所以，所以，所以两圆内含，即圆内含于圆； （2）证明：圆①，即圆，圆心，半径； 圆②，即圆，圆心，半径， 所以，所以，所以两圆相外切； ①②得，即， 则，解得，即切点坐标为 【基础题型三 由圆的位置关系确定参数或范围】 【例3】（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆位置关系的判断方法列不等式求解即得． 【详解】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆，得， 所以圆的圆心，半径， 由圆与圆外切，得，则， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用两圆相离和内含列式求出的范围即可判断. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD 3．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)时，两圆外切；时，两圆内切． (2) (3) (4) 【分析】（1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径，根据两圆相切的性质，可解出满足条件的实数a的值； （2）根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （3）根据两圆外离的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （4）根据两圆内含的性质，建立关于a的不等式，解之即可. 【详解】（1）将圆、圆的方程配方后可得 ，， 圆心，，半径，． ． 当，即时，两圆外切； 当，即时，两圆内切． （2）当，即时，两圆相交，的取值范围为． （3）当，即时，两圆外离，的取值范围为． （4）当，即时，两圆内含，的取值范围为． 【基础题型四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 1．（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 2．（25-26高三上·山西·阶段检测）（多选）已知曲线的方程为，曲线关于点的对称曲线为 ，若以曲线与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】CD 【分析】根据对称性求出 的方程，在根据题意求出 与坐标轴的交点坐标，运用对角线相互垂直的四边形面积公式计算. 【详解】根据已知得曲线的方程为，设曲线 上任意一点坐标为， 它关于点的对称点坐标为 ，则…①， 依据中点坐标公式得到则代入①得到 的方程为， 如图，由题意圆 与两坐标轴的交点为 ，则有 ， 令 得： ， 令 得： ， ， 曲线 与坐标轴围成的四边形面积为，所以， 解得或； 故选：CD. 3．（24-25高二上·江西上饶·期末）以为圆心且与圆外切的圆的方程为______． 【答案】 【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为， 两圆圆心距为，故， 因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由弦长来求得直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 直线的方程是，所以圆的圆心可设为， 则，则， 半径， 所以圆的方程为. （2）由，令，解得， ，所以直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由于，所以到直线的距离为， 所以，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【基础题型五 相交圆的公共弦方程】 【例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，联立两圆方程消去二次项即得所求方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即两圆相交， 所以直线的方程为，即. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）（多选）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 【答案】ABD 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，根据两圆外离条件判断D. 【详解】若r＝1，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A对； 若r＝1，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B对； 若，则，，两式相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错； 两圆心间距离为，因为两圆外离，所以，即，故D对 故选：ABD 3．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 4．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在的直线方程． 【答案】 【分析】根据两个圆的方程，作差得出直线AB的方程. 【详解】两圆与相交于、两点， 两圆的方程作差可得 ， 所以公共弦所在的直线方程为：. 【基础题型六 两圆的公共弦长】 【例6】（25-26高二上·海南·阶段检测）圆和圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长. 【详解】由圆，得， 又圆，两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为． 故选：A． 1．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程作差可得到两圆的公共弦所在直线方程，联立公共弦所在直线方程与圆，求出交点，即得答案. 【详解】设圆，圆相交于两点， 把圆，化为一般式， ：， ， ， ：， ， ， 两圆作差得： ， ， 公共弦所在直线方程为 . 联立直线方程与圆得：， 解得或， 交点为 和 . . 故选：C    2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）若圆与圆相交于A，B两点，则公共弦的长为_____. 【答案】 【分析】两圆相减，求出相交弦所在直线方程，圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】圆与圆， 两圆的方程相减，得， 即为直线的方程， 的圆心到距离为， 所以 故答案为： 4．（2025高二上·全国·专题练习）求圆与圆的公共弦长． 【答案】 【分析】联立两个圆的方程，得到圆和圆公共弦所在的直线l的方程，对于圆，算出圆心到直线的距离，利用垂径定理，算出公共弦长. 【详解】由题意联立与圆方程， ； 可得圆和圆公共弦所在的直线l的方程为. 对于圆，该圆的圆心到直线的距离为， 由条件知，所以公共弦长为． 【基础题型七 圆的公切线条数】 【例7】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】判断两圆的位置关系，可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ，，所以两个圆相交， 所以圆与圆的公切线条数为条. 故选：C. 2．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 3．（25-26高二上·江西宜春·期中）若圆与圆仅有一条公切线，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】由题意可知，两圆内切，利用两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意可知，两圆内切， 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故答案为： 4．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆 圆 (1)若圆C₁与圆C₂恰有三条公切线，求实数a的值； (2)设a = 2时，圆C₁与圆C₂相交于A、B两点，求|AB|. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）因圆与圆恰有3条公切线，所以两圆外切，由两圆外切可得实数的值. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆与圆恰有3条公切线，所以两圆外切， 又因为圆：，所以圆心，半径， 同理，圆：，圆心，半径， 所以圆心距， 由，得， 解得或. （2）当时，圆：，其圆心为,半径为， 圆：，其圆心为，半径为， 则两圆的圆心距，即两圆相交， 将两圆方程相减得，即两圆的公共弦所在直线方程， 所以圆心到直线的距离为：， 且半径，则. 【基础题型八 圆的公切线方程】 【例8】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 1．（25-26高三上·广西百色·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线. 【详解】由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 故选：C. 2．（25-26高二上·云南·阶段检测）（多选）已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 【答案】AD 【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解. 【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确； 对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误； 对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误； 对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦． 圆的直径式方程为， 整理得  ①． 圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确 故选：AD 3．（2025·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为__________． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）求圆与圆的公切线所在直线的方程. 【答案】，，，. 【分析】设公切线方程，利用几何法求切线方程. 【详解】由题意得，圆心为，半径，，圆心为，半径， 可知两圆的公切线所在直线的斜率存在， 设公切线所在直线的方程为，即 由，得，得或， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 综上，两圆的公切线所在直线的方程为，，，. 【基础题型九 圆的公切线长】 【例9】（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 1．（2025高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 2．（24-25高二下·山东青岛·开学考试）（多选）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【答案】BCD 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D. 【详解】解：因为圆，圆， 所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以，故圆与圆相交，即A错误； 因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确 将两圆方程作差得， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确； 因为的圆心为，半径， 所以到直线的距离为， 所以公共弦长为， 又圆心到直线的距离为， 所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确. 故选：BCD 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. (1)求圆和圆公切线段的长度； (2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 【答案】(1)或 (2)存在，2个 【分析】（1）将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案. （2）存在满足条件，根据题意化解得到，根据两圆的位置关系得到答案. 【详解】（1）圆：，即，， 圆：，即，，， 圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同， 当两圆在公切线同侧时：. 当两圆在公切线异侧时：. 综上所述，公切线段长为或. （2）假设存在满足条件，即， 化简得到：，圆心为，半径. ，故两圆相交，有两个交点. 故点P的个数为2. 【提高题型一 圆与圆的位置关系相关求解】 【例1】（25-26高二上·辽宁营口·期中）当时，圆与圆的位置关系不可能是（   ） A．内含 B．相交 C．外离 D．外切 【答案】C 【分析】求出两圆圆心距离，然后与半径的和、差比较大小，即可判断. 【详解】由题意圆，圆的圆心分别为，则， 又圆，圆的半径分别为， 两圆的圆心距，因为， 所以两圆半径之和.即. 而两圆外离的条件是，故两圆的位置关系不可能是外离. 故选：C. 1．（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 2．（24-25高二上·山西太原·期中）（多选）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【答案】BD 【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即， 根据对称性可知，解得，所以A选项错误. 此时，圆心为，半径. ， 由于，所以两圆相交，B选项正确. 直线的方程，所以C选项错误. 线段中点坐标为，直线斜率为， 所以直线l的方程为，所以D选项正确. 故选：BD 3．（25-26高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公切线的条数为_____. 【答案】2 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交， 可得两圆的公切线条数为2. 故答案为：2 4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径即可； （2）根据圆心距和半径的关系计算. 【详解】（1）两点的中点为，所在直线的斜率为， 则线段的中垂线的方程为，即， 联立，得，则圆心为，半径为， 则圆的标准方程为； （2）由题意可知，圆和圆相交， 因为，所以，得， 故的取值范围为. 【提高题型二 圆的公切线相关求解】 【例2】（25-26高三上·河南·阶段检测）圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系即可得解. 【详解】由题意可得圆与圆的圆心分别为，半径分别为， 因为，所以， 所以两圆相交，其公切线条数为2， 故选：B. 1．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 2．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值可以是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由给定条件可得两圆相交，进而求出的范围即可. 【详解】圆，故圆心为，半径， 圆，故圆心为，半径， 则圆心之间的距离为， 两圆有两条公切线， 两圆相交， . 故选：ABC. 3．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    4．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1) (2)，公切线方程为和. 【分析】（1）首先根据题意得到公共弦方程，再利用弦长公式求解即可. （2）首先判断两圆的位置关系得到圆和圆相交，根据图形得到为两圆的一条公切线，从而得到，再求另一条公切线即可. 【详解】（1）圆①，圆②， ①②得公共弦方程：. 到的距离， 则公共弦长为. （2）如图所示： 因为，， 所以圆和圆相交， 因为到的距离为，到的距离为， 所以为两圆的一条公切线. 因为，，所以， 设公切线为，即， 到的距离，解得， 即公切线方程为. 综上：，公切线方程为和. 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由两圆方程可确定圆心和半径，利用圆心距与半径之差相等可确定结果. 【详解】可化为： ，圆心，. 可化为，圆心 .， 故两圆内切.故两圆有一个公共点. 故选：D 2．（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 4．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 6．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 7．（2026·吉林通化·模拟预测）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 8．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 9．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）（多选）已知圆与圆，下列选项正确的有（    ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】BD 【分析】利用圆与圆的位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程相减可判断C选项；利用勾股定理可判断D选项. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若两圆外切，则，解得，A错； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相切， 故当时，则直线为两圆的一条公切线，B对； 对于C选项，若，因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故当时，两圆公共弦所在直线的方程为，C错； 对于D选项，当时，圆心到直线的距离为， 此时两圆的公共弦长度为，D对. 故选：BD. 10．（24-25高二上·吉林长春·期中）（多选）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ） A．两圆的相交弦所在直线方程为 B．两圆的公共弦长为 C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A，联立两圆方程，求出两圆的相交弦所在直线方程判断；对B，求出圆心到直线的距离，进而求得两圆的公共弦长判断；对C，设经过，两点，且过原点的圆的方程为，求出代回求得方程判断；对D，的最大值为，求出判断选项D. 【详解】对于A，由，得， 所以两圆的相交弦所在直线方程为，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则两圆公共弦长为，故B正确； 对于C，经过，两点的圆的方程可设为， 即，因为此圆过原点， ，解得， 所以经过，两点，且过原点的圆的方程为，故C错误； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）圆与圆的位置关系为______. 【答案】外离 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断方法，根据两点间距离公式，判断结果即可. 【详解】由题意知， 则两圆圆心为，，两圆的半径分别为，， 所以，易知，所以两圆外离. 故答案为：外离. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为________. 【答案】 【分析】联立方程组，求得两圆的交点坐标，设所求圆的圆心为，列出方程求得的值，得出圆心坐标和半径，即可求解. 【详解】设圆与圆的交点分别为，联立方程组，解得或，则， 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，可得， 则，解得， 所以圆心为，半径， 所以，所求圆的方程为. 故答案为：. 13．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 14．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 15．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为_______. 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【分析】先判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数，然后求公切线即可. 【详解】由题可知： 所以 两个圆的半径和为 所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或 所以切线方程为，或 故答案为：；； 16．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【答案】(1) 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. (2). 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【详解】（1）略 （2）由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 17．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【详解】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 18．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】(1) 证明：圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，因为，故两圆相交. (2) (3) 【分析】（1）根据几何法证明两圆相交； （2）根据两圆相减计算得到公共弦所在直线的方程； （3）根据经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆，计算圆心和半径即可得到结果； 【详解】（1）略 （2）将两圆方程相减得， 化简得，即， 所以两圆公共弦所在直线的方程. （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆 联立两圆方程，由公共弦方程得， 代入圆方程：，解得交点， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为： 19．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 20．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 学科网（北京）股份有限公司 $