专题2.2 直线的方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以“直线的方程”为核心，通过3个知识点系统构建知识体系，采用表格对比直线方程五种形式的局限性与适用条件，清晰呈现点斜式、两点式等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，11大基础题型如“由一般式判断平行垂直”夯实基础，2大提高题型如“直线方程的综合应用”提升数学思维，配合即时训练与自我检测，助力学生从理解到应用，教师可据此实施精准复习教学。

专题2.2 直线的方程重难点题型专训 （3个知识点+11大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、直线的点斜式方程及辨析 题型二、直线两点式方程及辨析 题型三、直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型四、直线截距式方程及辨析 题型五、直线的一般式方程及辨析 题型六、直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型七、由一般式方程判断直线的平行 题型八、由一般式方程判断直线的垂直 题型九、由两条直线平行求方程 题型十、由两条直线垂直求方程 题型十一、直线过定点问题 第二部分·练提高题型 题型一、直线的点斜式、两点式方程的应用 题型二、直线的一般式方程的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【即时训练】 1．（25-26高二上·广东·阶段检测）若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再利用点在直线上即可判断得解. 【详解】直线的斜率，直线方程为，即， 由点共线，得在直线上，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为_________. 【答案】 【分析】由垂直关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程，化为斜截式即可求. 【详解】由直线，得， 设直线的斜率为，则由直线与直线垂直， 则，则直线为，即， 即直线在轴上的截距为. 故答案为： 知识点02 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【即时训练】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 知识点03 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A，B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A，B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【即时训练】 1．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】与直线平行的直线方程可设为，且， 将代入直线可得. 所以过点且与直线平行的直线方程为，即， 故选：A 2．（25-26高二上·天津宁河·期中）过点且与直线垂直的直线方程为__________. 【答案】 【分析】与直线垂直的直线方程可设为，代入点的坐标求出参数即可. 【详解】设所求直线为，又直线过点， 所以，解得，所以所求直线方程为，即， 所以，过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 【基础题型一 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行关系确定直线斜率为，再结合轴截距为得到直线过点，最后用点斜式求出直线方程. 【详解】已知直线，变形为，斜率为， 因为所求直线与平行，所以斜率也为， 又因为题干说所求直线在轴上的截距为，说明直线过点； 由点斜式可直接写出所求直线为：，化简可得：. 故选：A 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用直线方程的点斜式求出方程即得. 【详解】依题意，所求直线方程为，即. 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知直线的斜率为，分两种情况，由点斜式得到直线方程. 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 3．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 【答案】 【分析】求出线段的中点坐标，并求出直线的斜率，可得出线段的垂直平分线所在直线的斜率，结合点斜式方程可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知线段的中点为，， 故线段的垂直平分线所在直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线方程为，即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 【基础题型二 直线两点式方程及辨析】 【例2】（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 1．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的两点式即可写出直线. 【详解】根据直线的两点式方程公式可得，化简可得， 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 D．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. 【答案】CD 【分析】利用反例说明A、B，根据倾斜角与斜率的共线判断C，根据两点式方程判断D； 【详解】对于A：如倾斜角为的直线的斜率为，而倾斜角的直线的斜率为，故A错误； 对于B：如直线的斜率为，但是其倾斜角为，故B错误； 对于C：斜率相等的两直线的倾斜角一定相等，故C正确； 对于D：当时，经过的直线方程为，此时适合； 当时，经过的直线方程为，此时适合； 当，时，经过的直线方程为， 也即， 故经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：，D正确； 故选：CD 3．（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先利用中点坐标公式求出点，然后可求出MN所在直线的两点式方程. 【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点， 所以，， 所以中位线MN所在直线的两点式方程为． 【基础题型三 直线与坐标轴围成图形的面积问题 】 【例3】（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 1．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解. 【详解】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直， 当时，，当时，， 所以直线与轴和轴的交点分别为和， 因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3， 所以有，解得：或. 故选：D 2．（2025高二下·海南·学业考试）（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或. 故选:CD. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是___. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，求出直线与x，y轴的交点坐标，根据三角形的面积等于2即可得解. 【详解】设直线l的方程为，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得， 所以，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 【答案】或. 【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解. 【详解】解　∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为， 则直线方程为，即. ，即，， ∴直线方程为. 若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为， 则在轴上的截距为， 故直线方程为，即. ∵，即， ，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【基础题型四 直线截距式方程及辨析】 【例4】（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据直线在轴上的截距，即当时，求出的值即可. 【详解】因为直线的方程为，当时，， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 2．（24-25高三上·河南·阶段检测）（多选）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 3．（25-26高二上·北京朝阳·期末）直线在x轴上的截距为______． 【答案】 【分析】根据在x轴上的截距的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】当时，得，解得，即在x轴上的截距为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线 ​经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线​的方程. 【答案】​或​. 【分析】分直线经过原点和直线不过原点两种情况讨论求解. 【详解】解：当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距都为零，满足条件，故直线的斜率为 ， 故所求直线方程为: ； 当直线不过原点时，根据题意，设其方程为: ， 将代入有: ， 解得: ，即. 故所求直线的方程为: 或. 【基础题型五 直线的一般式方程及辨析】 【例5】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）直线的斜率为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程的一般式斜率公式计算求解. 【详解】直线的斜率为. 故选：B. 1．（25-26高二上·安徽·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与轴交点的纵坐标即可. 【详解】令，解得，即直线在轴上的截距为， 故选：A. 2．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）（多选）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率以及轴截距判断即可. 【详解】因为，所以， 由，得直线斜率， 令， 所以直线经过第一、二、三象限. 故选：ABC. 3．（25-26高二上·贵州毕节·期中）将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 【答案】 【分析】根据图象变换的知识求得正确答案. 【详解】直线，即， 向右平移2个单位长度后得到， 即. 故答案为： 4．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点O对称. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得的斜率，从而得到边上高所在直线的斜率，进而求得边上的高所在直线的方程. （2）先判断出直线l经过边AC的中点，进而求得直线的方程. 【详解】（1）因为B，C关于原点O对称，所以，， 所以边上高所在直线的斜率为， 因为，所以BC边上高所在直线的方程为， 所以BC边上高所在直线的一般式方程为. （2）因为过点的直线平分的面积， 所以直线l经过边AC的中点， 又，所以直线l的方程 【基础题型六 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）直线的斜率为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程化成斜截式，可得直线斜率. 【详解】由. 所以直线斜率为. 故选：C 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）直线的斜率为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】直线方程一般式转化为斜截式. 【详解】化简得，所以斜率为2. 故选：B. 2．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）（多选）如果，那么直线通过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】化简直线方程为，结合且，进而得到答案. 【详解】由直线，可得， 因为，所以，则直线斜率，且， 所以直线经过第一、二、三象限. 故选：ABC. 3．（25-26高二上·天津·期中）直线的斜率是___________． 【答案】/ 【分析】将直线方程化为斜截式，可得出该直线的斜率. 【详解】直线的方程可化为，故该直线的斜率为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）直线过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ （1）的面积为6； （2）的周长为12． 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】设直线的方程为，由直线过点且的面积为6，求出，检验的周长为12即可． 【详解】设直线的方程为， 因为直线过点，所以．① 又，② 联立①②，解得或， 当，时， ，，，，符合条件（2）； 当，时， ，，，，不符合条件（2）． 所以存在这样的直线同时满足（1），（2），且直线方程为， 即． 【基础题型七 由一般式方程判断直线的平行】 【例7】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】将直线方程化为斜截式方程，根据，即可判断求解. 【详解】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两条直线平行时的条件即可求出. 【详解】直线，其中、、， 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线重合，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线平行，故正确. 故选：. 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）（多选）（多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（    ） A． B． C．（） D．（） 【答案】AD 【分析】利用直线平行的条件进行判定. 【详解】即； 即； （）即； （）即. 令，解得,令,得,无解. 当两直线方程中的系数对应相等时，两直线平行的充分必要条件是其常数项不相等， 故AD中的直线与已知直线平行，C中的直线可能与已知直线重合， B中的直线与已知直线的对应不成比例，故而不平行. 故选：AD. 3．（2026高二·全国·专题练习）直线与直线的位置关系是__________.（填“相交”“平行”或“重合”）. 【答案】平行 【分析】由直线一般方程对应系数的比例关系判断直线的位置关系. 【详解】∵，∴两直线的位置关系是平行. 故答案为：平行. 4．（25-26高二上·山东·阶段检测）求满足以下条件的参数的值． (1)若直线：和直线：平行，求m的值． (2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. （2）当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解. 【详解】（1）直线和直线平行， ，解得或， 当时，直线：和直线：平行， 当时，直线：和直线：重合， 所以； （2）由题意，知直线的斜率一定存在，直线的斜率可能不存在. 当直线的斜率不存在时，，即，此时，则，满足题意. 当直线的斜率存在时，， 由斜率公式，得. 由，知，即，解得. 综上所述，或. 【基础题型八 由一般式方程判断直线的垂直】 【例8】（25-26高二上·陕西汉中·期末）与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线平行的性质判断选项即可. 【详解】直线斜率为，两条直线平行则斜率相等， A：化为，直线斜率为，A选项不符合； B：化为，斜率为， B选项不符合； C：化为，斜率为，C选项不符合； D：化为，斜率为，D选项符合； 故选：D 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 2．（24-25高二上·重庆北碚·期末）（多选）关于直线，则下列结论正确的是（    ） A．倾斜角为 B．斜率为 C．在y轴上的截距为 D．与直线垂直 【答案】BC 【分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断. 【详解】直线变形得， 直线斜率，又倾斜角范围为，故倾斜角为，A错误，B正确； 令，，即直线在y轴上的截距为，C正确 又直线的斜率为，与直线不垂直，D错误 故选：BC. 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）若直线与直线垂直，则实数______________. 【答案】/ 【分析】根据两直线垂直列方程，求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得， 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【答案】(1)两直线互相垂直. (2)两直线不互相垂直. 【分析】以两直线垂直充要条件去判断两直线是否垂直即可解决. 【详解】（1） ，故两直线互相垂直. （2） ，故两直线不互相垂直. 【基础题型九 由两条直线平行求方程】 【例9】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 1．（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）（多选）设直线l过点，点和到l的距离相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】可知当直线平行于直线MN时，或过MN的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程. 【详解】解：当直线平行于直线MN时，或过MN的中点时满足题意， 当直线平行于直线MN时，所求直线的斜率为， 故直线方程为，即； 当直线过MN的中点时，斜率为， 故直线方程为，即； 所求的直线方程为：或. 故选：BD. 3．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 4．（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： (1)直线与直线平行： (2)直线在两个坐标轴上的截距相等. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由平行关系可假设直线，代入点即可； （2）分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点的情况，结合直线截距式和点坐标可求得结果. 【详解】（1）设直线， 过点， ，解得：， 直线方程为. （2）若直线过坐标原点，则直线方程为：，满足题意； 若直线不过坐标原点，可设直线， ，即直线； 综上所述：直线方程为：或. 【基础题型十 由两条直线垂直求方程】 【例10】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【详解】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·宁夏·阶段检测）（多选）下列直线中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据垂直满足的斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 对于ACD, 斜率为,符合， 对于B，斜率为，不符合， 故选：ACD 3．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过点且与直线垂直的直线方程是________. 【答案】 【分析】设出直线，利用待定系数法进行求解. 【详解】设与直线垂直的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是. 故答案为： 4．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）三角形的三个顶点是 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）先求出的中点坐标，进而可得BC边上的中线所在直线的斜率，再由点斜式方程即得； （3）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【详解】（1）由题意，边所在的直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由题意，BC的中点坐标为， 则BC边上的中线所在直线的斜率为， 所以BC边上的中线所在直线的方程为，即. （3）由（1）（2）得，，BC的中点坐标为， 所以边垂直平分线的斜率为， 则边的垂直平分线方程，即. 【基础题型十一 直线过定点问题】 【例11】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【详解】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A 1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）（多选）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】AB 【分析】求出两条直线的动点，对进行分类讨论，当，直接可求出三角形面积， 当时，两条直线互相垂直，即可求得面积的最大值. 【详解】动直线过定点，直线化简为 ，则，则直线过定点， 当时，两条直线分别为，交点， ； 当时，两条直线的斜率分别为：，所以两条直线互相垂直， ， 当且仅当时，面积达到最大值， 则的面积的值可以是或，不可以是, 故选：AB 3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 4．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）平面内两条直线：；：． (1)若，求m的取值范围； (2)证明：无论m取何值，直线都恒过一个定点． 【答案】(1) (2)证明: ， 令，解得， 所以无论m取何值，直线都恒过一个定点. 【分析】（1）由直线垂直的充要条件列方程即可求解； （2）整理直线方程，令即可求解. 【详解】（1）平面内两条直线：；：，满足， ，解得或， 所以若，则m的取值范围为； （2）证明略，直线恒过定点. 【提高题型一 直线的点斜式、两点式方程的应用】 【例1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再由给定条件列式求出斜率范围. 【详解】依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或. 故选：D 1．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点可求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程，最后代入即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以直线的方程为：， 即， 当时，， 所以点在直线上. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）（多选）设直线过两点和，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 【答案】BC 【分析】先根据条件表示出直线方程，然后逐一分析每个选项. 【详解】根据斜率公式，，故A错误， 设直线倾斜角为，由倾斜角的定义，，且，则，B正确， 根据点斜式方程，直线的方程可写作，即， 令，则，令，则， 故直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，C正确，D错误. 故选：BC 3．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点，的直线在轴上的截距为________． 【答案】27 【分析】先求得经过两点和的直线方程，然后求得横截距. 【详解】经过两点和的直线方程为， 即，令，得. 故答案为：27. 4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) 【分析】 (1)写出直线的截距式方程，代入点，再与面积联立，求解即可. (2)设出直线，与两条直线和，根据，求出点坐标，再根据两点式求解即可 【详解】（1）由题意可知直线斜率存在，设直线截距方程为， 则，与联立可得或. 故直线l的方程为或. （2）设直线l与交点为，与交点为， 所以①，② 因为点是线段中点，所以③，④ 将①代入③可得将之代入②，可得， 解之可得，再根据直线两点式可得， 化简可得. 故直线l的方程为. 【提高题型二 直线的一般式方程的相关求解】 【例2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）如果，且，那么直线不通过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【分析】通过确定斜率和截距的正负，即可判断. 【详解】因为，且，所以A、B同号， 直线方程化成斜截式得：; 即直线斜率小于0，截距小于0，直线过二三四象限. 故选：D 1．（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果 【详解】根据题意可知直线可可变形为 故直线的斜率为， 设直线倾斜角为， 由可得. 故选：B 2．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 【答案】AB 【分析】应用直线平行和垂直的判定列方程求参数值，结合各项判断正误即可. 【详解】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确. 故选：AB 3．（25-26高二上·河北张家口·期中）过点与直线平行的直线方程为_____． 【答案】 【分析】先根据过定点的平行关系设所求直线方程，再代入点坐标解出变量，从而求出直线方程． 【详解】设过点与直线平行的直线方程为， 代入点坐标，得，解得， 所求直线方程为． 故答案为：． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． (1)求直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设是直线上任意一点，利用的坐标计算得出点的轨迹方程即可； （2）设点是所在直线上任意一点，利用的坐标计算得出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）设是直线上任意一点，则， 因为点D，E分别为边，的中点，所以，， 则，， 所以， 即为直线的方程． （2）设点是所在直线上任意一点，则，所以， 又，，所以， 即为所求直线的方程． 1．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出点及点关于坐标原点的对称点的坐标，然后由两点式求解即可. 【详解】因为直线过点，代入得，即， 则点关于坐标原点的对称点为． 又直线过两点， 所以直线的方程为， 即． 故选：A. 3．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据条件，由两直线平行的必要条件得到，解出值，再进行检验，即可判断出选项A和B的正误，对于C，利用两直线垂直的充要条件得，利用方程有解，即可判断C的正误；对于D，利用直线过定点，先假设两直线关于轴对称，从而有在直线上，求出值，再进行检验即可求解. 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）（多选）下列直线与直线平行的有（    ） A．直线经过点，直线过点 B．直线经过点，直线过点 C．直线经过点，直线的倾斜角为且过原点 D．直线经过点，直线的斜率为0 【答案】AC 【分析】根据两直线平行的条件逐项判断即可. 【详解】对于A： ，所以. 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以直线与直线平行，所以A正确； 对于B： ，所以. 所以直线与直线不平行，所以B错误； 对于C： ，直线的斜率为，所以. 直线的方程为，即， 直线的方程为，此时两直线平行，所以C正确； 对于D： 直线的方程为，直线与轴平行或重合， 此时两直线垂直，不平行，所以D错误. 故选：AC. 7．（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）（多选）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，对直线方程进行化简，即可确定直线所过定点坐标；对于B，漏掉了过原点的直线的情况；对于C，两条直线垂直求出的值有2个；对于D，根据两点式直线方程的条件即可判断． 【详解】对于A： 化简直线方程得， 直线恒过与的交点，解得，恒过定点，A正确； 对于B： 直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为， 截距为0时为，故B错误； 对于C： 由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确； 对于D： 两点式直线方程的条件需满足且，所以D错误. 故选：AC 8．（25-26高二上·四川遂宁·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线在轴上的截距是 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D．点关于点的对称点为 【答案】ABD 【分析】A选项根据倾斜角和斜率概念可知，B选项将代入求解即可， C选项求出横纵截距再代入面积公式即可，D选项根据中点坐标公式可以求解. 【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，A正确； 直线与轴的交点是，故在轴上的截距是，B正确； 直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，C错误； 设对称点为，则，可得对称点为，D正确．    故选：ABD 9．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，l过坐标原点 B．当时，l的倾斜角为 C．当时，l与两条坐标轴都相交 D．当，时，l经过第一、二、四象限 【答案】ABD 【分析】原点坐标适合直线方程判断A；方程变形为可判断BC；选项D，化简直线方程为，结合且，判断D. 【详解】选项A，当时，是方程的解，即l过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，由不全为0得， 直线的方程可化为垂直x轴，所以l的倾斜角为，故B正确； 选项C，当，时，直线垂直x轴，与y轴平行，不与y轴相交，故C错误； 选项D，由直线，可得， 因为，，所以，则直线斜率，且， 所以直线经过第一、二、四象限，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·湖北·期中）（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．在轴上的截距为 B．过点且可能垂直轴 C．若，则或 D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可． 【解答】直线，直线， 对于选项A：在直线中，令，解得， 所以在轴上的截距为，故A正确； 对于选项B：因为直线的斜率， 即斜率存在，直线不垂直轴，故B错误， 对于选项C：若，则直线、均为， 即两直线重合，不平行，故C错误； 对于选项D：若，则，解得，故D正确． 故选：AD． 11．（25-26高三·全国·一轮复习）直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线l的方程为________________． 【答案】 【分析】联立直线求解交点坐标,从而可得直线的斜率，即可得直线方程. 【详解】联立,解得：, 所以, 则直线的方程为:，即 故答案为： 12．（24-25高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________. 【答案】． 【分析】设直线的方程为，求出坐标，再求得的面积，由关于的方程有四个不等的实根可求得的范围． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条，则其斜率分别是：_________. 【答案】或 【分析】对直线是否过原点进行分类讨论，分别求出直线的斜率，即可得解. 【详解】若直线过原点，则该直线的斜率为； 若直线不过原点，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，其斜率为. 综上所述，直线的斜率为或. 故答案为：或. 14．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为__________. 【答案】1 【分析】根据题意直线方程可得，，分析可知，即可得结果. 【详解】因为动直线过定点，动直线过定点， 且，可知，即， 所以. 故答案为：1. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线的方程是_____________． 【答案】 【分析】设是所求直线上任一点，直线的方向向量为，由化简即可求解. 【详解】设是所求直线上任一点， 直线的方向向量为，由，得． 故答案为： 16．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. （2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，结合三角形面积求出直线的方程. 【详解】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以 由题意可知，所以 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则 ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，， 的面积，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为 令，则，即点坐标为， 的面积，解得， 则直线的方程为 综上，直线的方程为或. 17．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知的顶点，，． (1)求AB边上的中线所在直线的方程； (2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求； （2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求． 【详解】（1）线段的中点为， 则中线所在直线方程为：，即. （2）设两坐标轴上的截距为， 若，则直线经过原点，斜率， 直线方程为，即； 若，则设直线方程为，即， 把点代入得，即，直线方程为； 综上，所求直线方程为或． 18．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）（1）已知直线和直线，若，求的值； （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）由两直线垂直得到，求解即可； （2）设直线方程截距式，，由面积及直线过点，列出等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即， 解得：或； （2）设直线方程为， 由题意可得：， 联立得：，即， 解得：， 所以直线方程为：. 19．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 20．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1) 直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得， 所以直线过定点，其坐标为. (2)或； (3) 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分和两种情况进行讨论即得． 【详解】（1）略 （2）当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. （3）当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线的方程重难点题型专训 （3个知识点+11大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、直线的点斜式方程及辨析 题型二、直线两点式方程及辨析 题型三、直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型四、直线截距式方程及辨析 题型五、直线的一般式方程及辨析 题型六、直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型七、由一般式方程判断直线的平行 题型八、由一般式方程判断直线的垂直 题型九、由两条直线平行求方程 题型十、由两条直线垂直求方程 题型十一、直线过定点问题 第二部分·练提高题型 题型一、直线的点斜式、两点式方程的应用 题型二、直线的一般式方程的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【即时训练】 1．（25-26高二上·广东·阶段检测）若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为_________. 知识点02 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【即时训练】 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 知识点03 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A，B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A，B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【即时训练】 1．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津宁河·期中）过点且与直线垂直的直线方程为__________. 【基础题型一 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【基础题型二 直线两点式方程及辨析】 【例2】（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 D．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. 3．（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【基础题型三 直线与坐标轴围成图形的面积问题 】 【例3】（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 1．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2025高二下·海南·学业考试）（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是___. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 【基础题型四 直线截距式方程及辨析】 【例4】（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高三上·河南·阶段检测）（多选）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京朝阳·期末）直线在x轴上的截距为______． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线 ​经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线​的方程. 【基础题型五 直线的一般式方程及辨析】 【例5】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）直线的斜率为（    ） A．5 B． C． D． 1．（25-26高二上·安徽·期中）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）（多选）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·贵州毕节·期中）将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 4．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在平面直角坐标系中，的顶点，，，关于原点O对称. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)已知过点B的直线l平分△ABC的面积，求直线l的方程. 【基础题型六 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）直线的斜率为（　　） A．2 B． C． D． 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）直线的斜率为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）（多选）如果，那么直线通过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·天津·期中）直线的斜率是___________． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）直线过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ （1）的面积为6； （2）的周长为12． 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【基础题型七 由一般式方程判断直线的平行】 【例7】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）（多选）（多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（    ） A． B． C．（） D．（） 3．（2026高二·全国·专题练习）直线与直线的位置关系是__________.（填“相交”“平行”或“重合”）. 4．（25-26高二上·山东·阶段检测）求满足以下条件的参数的值． (1)若直线：和直线：平行，求m的值． (2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值． 【基础题型八 由一般式方程判断直线的垂直】 【例8】（25-26高二上·陕西汉中·期末）与直线平行的直线为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆北碚·期末）（多选）关于直线，则下列结论正确的是（    ） A．倾斜角为 B．斜率为 C．在y轴上的截距为 D．与直线垂直 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）若直线与直线垂直，则实数______________. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【基础题型九 由两条直线平行求方程】 【例9】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）（多选）设直线l过点，点和到l的距离相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 4．（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程： (1)直线与直线平行： (2)直线在两个坐标轴上的截距相等. 【基础题型十 由两条直线垂直求方程】 【例10】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·宁夏·阶段检测）（多选）下列直线中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过点且与直线垂直的直线方程是________. 4．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）三角形的三个顶点是 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边的垂直平分线的方程. 【基础题型十一 直线过定点问题】 【例11】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林长春·期中）（多选）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（   ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 4．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）平面内两条直线：；：． (1)若，求m的取值范围； (2)证明：无论m取何值，直线都恒过一个定点． 【提高题型一 直线的点斜式、两点式方程的应用】 【例1】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 1．（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知两点，以下各点一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）（多选）设直线过两点和，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线在轴上的截距为 3．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点，的直线在轴上的截距为________． 4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知直线过定点，根据下列条件求直线l的方程. (1)若直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16； (2)若直线l被两条直线和所截得的线段的中点恰好为P，求直线l的方程. 【提高题型二 直线的一般式方程的相关求解】 【例2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）如果，且，那么直线不通过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 1．（24-25高二上·重庆·阶段检测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得与重合 3．（25-26高二上·河北张家口·期中）过点与直线平行的直线方程为_____． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． (1)求直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程． 1．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 5．（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）（多选）下列直线与直线平行的有（    ） A．直线经过点，直线过点 B．直线经过点，直线过点 C．直线经过点，直线的倾斜角为且过原点 D．直线经过点，直线的斜率为0 7．（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）（多选）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 8．（25-26高二上·四川遂宁·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线在轴上的截距是 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D．点关于点的对称点为 9．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，l过坐标原点 B．当时，l的倾斜角为 C．当时，l与两条坐标轴都相交 D．当，时，l经过第一、二、四象限 10．（24-25高二上·湖北·期中）（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．在轴上的截距为 B．过点且可能垂直轴 C．若，则或 D．若，则 11．（25-26高三·全国·一轮复习）直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线l的方程为________________． 12．（24-25高二上·陕西安康·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是____________. 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条，则其斜率分别是：_________. 14．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为__________. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线的方程是_____________． 16．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 17．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知的顶点，，． (1)求AB边上的中线所在直线的方程； (2)求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程． 18．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）（1）已知直线和直线，若，求的值； （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 19．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 20．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $