2.2基本不等式单元复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学基本不等式单元复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖基本不等式定义、“一正二定三相等”前提、均值定理、重要不等式串及四大求最值模型，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型设计融合数学文化与实际应用，如例1结合《几何原本》几何背景题培养数学眼光，通过凑配法、双换元等多样化求最值方法训练数学思维，恒成立问题提升数学语言表达能力。分层练习题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

基本不等式 知识点一：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、权方和不等式 若则当且仅当时取等. 知识点二：均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一 基本不等式及其应用 例1.（1）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ） A． B． C． D．    （2）（多选题）（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 （3）（多选题）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 例2.（1）（2025.江苏高三阶段练习）（多选题）下列函数的最小值为2的有（    ） A． B． C． D． （2）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）（2026·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 例3.（1）（多选题）（2025·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（2026·河北保定·二模）已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 （3）（多选题）（2025重庆）设正实数，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 题型二 直接法求最值 例4.（1）（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． （2）（25-26高一上·河北保定·期中）已知，，若，则的最大值为（ ）． A． B． C． D．1 （3）（2025·安徽滁州·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． （4）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例5.（1）若，，，则的最小值为（ ） A．8 B．10 C．4 D．6 （2）（25-26高一上·河北石家庄·月考）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·重庆荣昌·期中）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 题型三 常规凑配法求最值 例6.（1）（25-26高一上·西藏林芝·期末）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 （2）（2025·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． （3）（2025·江苏徐州）设，为正数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． （4）（2026·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ． 例7.（1）（2025·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . （2）设，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． （3）已知正实数，且，则 的最小值是（       ） A． B． C． D． （4）若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 例8.（1）（25-26高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． （3）（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 题型四 消元法求最值 例9.（1）（2025·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 （2）（2026·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . （3）（2026·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． （4）（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 例10.（1）（2025·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·云南·月考）若，则的最小值为（    ） A．9 B． C．2 D． （3）（25-26高一上·黑龙江·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 例11.（1）（26-27高二上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ （4）（25-26高一上·浙江温州·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型五 双换元求最值 例12.（1）（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·江西南昌·月考）设，，且，则的最小值是 ． （3）（2025·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______． （4）（25-26·高三·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为 ． 例13.（1）（2026·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 . （2）（25-26高一下·浙江衢州·阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . （3）（25-26高三上·重庆云阳·阶段练习）已知且， 则的最小值为 . （4）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． （5）（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 题型六 乘“1”求最值 例14.（1）（25-26高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 （2）（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 （4）（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 例15.（1）（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． （2）（25-26·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . （3）25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． （4）（25-26高三上·河南·阶段练习）已知，若，则的最小值为 ． 例16.（1）（25-26高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . （2）（24-25高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 （3）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . （4）（25-26·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ． 题型七 常数替换型 例17.（1）（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． （2）（25-26·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． （3）（24-25河南·许昌高中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．7 D． （4）（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 例18.（1）（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 （2）（25-26浙江绍兴）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26·江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 . （4）（25-26高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 题型八 构造不等式求最值 例19.（1）（25-26高一上·天津南开·月考）设，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 （2）（25-26高一下·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． （3）（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． （4）（25-26高一上·江苏淮安·期末）已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ． 题型九 两次运用基本不等式求最值 例20.（25-26·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 （2）（25-26山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． （4）（25-26高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . （5）（25-26高一下·湖北荆州·期末）若，，都是正实数，则的最小值为____________． 例21.（1）（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . （2）（25-26高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 （3）（25-26高一上·浙江温州·月考）若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． （4）（25-26高一上·重庆云阳·月考）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （5）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十 基本不等式中的恒成立问题 例22.（1）（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 （2）（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． （3）（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 （5）（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 例23.（1）（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． （2）（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. （4）（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______． （5）（25-26高一上·广东·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 例24.（1）（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. （2）（25-26高一上·浙江温州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． （3）（25-26高一上·福建·期中）已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________. （4）（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）设，若恒成立，则的最大值为______________. （5）（25-26高一上·四川南充·期中）设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 题型十一 基本不等式方法综合 例25.（1）（多选题）（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 （2）（多选题）（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 （3）（多选题）（25-26高一上·广东广州·期中）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． （4）（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 例26.（1）（多选题）（2026·云南玉溪·模拟预测）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 （2）（多选题）（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 （3）（多选题）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 （4）（多选题）（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 课后练习题 1.（25-26高一上·河南·期中）已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（24-25高一上·贵州遵义·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 4.（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 6.（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 7.（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 9.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 11.（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 12.（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 13.（多选题）（25-26高一上·广西玉林·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 14.（多选题）（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 15.（多选题）（25-26高二下·山西吕梁·阶段检测）已知，设，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有最大值8 C．若，则有最小值 D．若，则有最大值2 16.（多选题）（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知且，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 17.（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 18.（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 19.（25-26高一上·广东·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 20.（25-26高二下·海南·期末）记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 21.（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 22.（25-26高一下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 （1）若，求的最小值 （2）已知，且，若恒成立，求的取值范围 23.（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， （1）求的最大值. （2）求的最小值； （3）求的最小值. 24.（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设，为正实数，且 （1）求和的值； （2）求的最小值． （3）求的最小值. 25.（25-26高一上·重庆·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，，求的最小值； （2）若，求的最大值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式 知识点一：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、权方和不等式 若则当且仅当时取等. 知识点二：均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一 基本不等式及其应用 例1.（1）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ） A． B． C． D．    【详解】由题图可知，，.在中，由勾股定理可得.，.故选：C （2）（多选题）（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确；对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确；对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误；对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确.故选：ABD （3）（多选题）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，由于，得，在中，由射影定理得，即，而，，因此，当且仅当时取等号，A是；在中，，，则，而，因此，当且仅当时取等号，C是；由，连接，由点F是半圆的中点，得，，在中， ，则，又，因此，当且仅当时取等号，B是；而与在给定图形中没有相应的线段与之对应，因此选项D对应不等式不能用无字证明完成，D不是.故选：ABC 例2.（1）（2025.江苏高三阶段练习）（多选题）下列函数的最小值为2的有（    ） A． B． C． D． 【详解】对于选项A：因为，所以由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故当时，有最小值1，故A错误；对于选项B：因为，所以，故， 当且仅当时，即时，有最小值2，故B正确；对于选项C：因为，所以，由题意，，又因为，即，当且仅当时，即时，不等式取等号，进而，即当时，的最小值为2，故C正确；对于选项D：由基本不等式可知，，又无解，故等号不成立，所以，故D错误.故选：BC. （2）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】x，y都是正数，由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D． （3）（多选题）（2025·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，取，则，B错；对于C选项，，，所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，因为，则，所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对.故选：ACD. 例3.（1）（多选题）（2025·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】A：由，得，即，得，解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确；C：由，得，即，所以，得，当且仅当时等号成立，故C正确；D：由，得，即，所以，得，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：BC （2）（多选题）（2026·河北保定·二模）已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【详解】对A：由，得，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对B：由，得，所以，当且仅当时取等号，故B错误；对C：由，得，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对D：由，得，所以，当且仅当时取等号，故D错误.故选：AC. （3）（多选题）（2025重庆）设正实数，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A项，由可得：，因，故，将其代入可得：当且仅当时等号成立，故A项正确；对于B项，由可得，因，故得：，则，当且仅当时等号成立，故B项错误；对于C项，由，设，由上分析知，，则在上单调递增，故，即C项错误；对于D项，由，由上分析知，则，故，即，故D项正确.故选：AD. 题型二 直接法求最值 例4.（1）（25-26高二下·天津和平·期末）若，则的最大值为________． 【详解】因为，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. （2）（25-26高一上·河北保定·期中）已知，，若，则的最大值为（ ）． A． B． C． D．1 【解析】，当且仅当，即，时，等号成立．故选：A． （3）（2025·安徽滁州·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【解析】，因为a，b，c均为正数，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C （4）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，都是正数，所以，当且仅当时取等号，所以当时，有最大值. 例5.（1）若，，，则的最小值为（ C ） A．8 B．10 C．4 D．6 （2）（25-26高一上·河北石家庄·月考）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知为正实数，且，得，且， 则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：A. （3）（25-26高一上·重庆荣昌·期中）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【详解】（1）由题知，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍），当且仅当时，取得最小值为6． 题型三 常规凑配法求最值 例6.（1）（25-26高一上·西藏林芝·期末）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【解析】因为，所以，所以, 当且仅当，即时，取得等号，故选:C. （2）（2025·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D． （3）（2025·江苏徐州）设，为正数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：. （4）（2026·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ． 【详解】由，得，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是．故答案为：． 例7.（1）（2025·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【详解】由正数满足，可得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：. （2）设，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【解析】，， ，当且仅当，即时取等号故选：A （3）已知正实数，且，则 的最小值是（       ） A． B． C． D． 【详解】因为正实数，，故， 所以， 故， 当且仅当时取得等号，故选：C （4）若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【详解】因，且，则，即有，同理， 由得：，于是得， 当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为 例8.（1）（25-26高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】，当且仅当，即时，等号成立.故选：D （2）（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【详解】因为，，且，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，即，得，因为，所以.由代入，解得，因此当，的最小值为. （3）（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【详解】因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 题型四 消元法求最值 例9.（1）（2025·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【详解】由可得，，当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意.所以的最小值为.故选：A. （2）（2026·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【详解】由正数满足，可得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：. （3）（2026·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【解析】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为．故答案为：． （4）（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 【详解】由得，所以，因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5. 例10.（1）（2025·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为正实数、、满足，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.故选：D. （2）（25-26高二上·云南·月考）若，则的最小值为（    ） A．9 B． C．2 D． 【详解】因为，所以，又，所以，所以，所以 （3）（25-26高一上·黑龙江·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【解析】由，，，得，故，故；所以，当且仅当，结合，即时等号成立．即的最小值为2，故选：A 例11.（1）（26-27高二上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】由得到，又，，则，所以，当且仅当，即时取等号. （2）（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值是. （3）（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【详解】因为，所以，因为，所以，当且仅当，时等号成立，所以当，时，取最大值，所以当取最大值时，，，，所以，所以，，所以当时，取最小值.此时，， （4）（25-26高一上·浙江温州·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，因为，，，所以，所以.又因为，当且仅当即时取等号.所以.故选：D 题型五 双换元求最值 例12.（1）（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵ 为正实数，令，，，，联立得，解得，.∵ 为正实数，∴ ，即，满足基本不等式使用条件.所以.则，当且仅当，即时取等号.此时，，均为正实数，等号可取.∴ 原式，即最大值为. （2）（25-26高一上·江西南昌·月考）设，，且，则的最小值是 ． 【解析】设，则，， ，当且仅当即，时等号成立，故当，时，取最小值. （3）（2025·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______． 【解析】由题意，，，，得：，设 ，则 ，故 ，当且仅当 ，即 时取得等号，故的最小值为 （4）（25-26高三·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为 ． 【解析】由得，即，所以，令得所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：8 例13.（1）（2026·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 . 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.由，得， 设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：. （2）（25-26高一下·浙江衢州·阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【详解】令，则，可得，即，且，∵，当且仅当，即时，等号成立，可得，∴，即的最大值是. （3）（25-26高三上·重庆云阳·阶段练习）已知且， 则的最小值为 . 解：由得，所以，整理得，令，则，所以 ，当且仅当时取等号， 此时.故答案为： （4）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【解析】因为实数，满足，化为，令，，则．联立可得，，则 ，当且仅当，即，时取等号． （5）（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，，则的最小值为_________. 【详解】设，，则，，则.当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，故的最小值为； 题型六 乘“1”求最值 例14.（1）（25-26高一上·河北秦皇岛·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【详解】因为，，，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C （2）（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，当且仅当时，等号成立. （3）（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号，所以. （4）（25-26高二下·天津·期末）已知，，且，则的最小值为__________． 【详解】因为，，，所以， ， .所以， .所以 当且仅当即时，等号成立.所以的最小值为. 例15.（1）（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则的最小值为________． 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. （2）（25-26·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【详解】由可得，因为，所以，即，则，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：. （3）25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为_________ 【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. （4）（25-26高三上·河南·阶段练习）已知，若，则的最小值为 ． 【详解】因为，所以，则，由得：，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 例16.（1）（25-26高二下·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【详解】因为，所以 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为.故答案为：. （2）（24-25高二下·天津·期末）设为正数，且，则的最小值为 【详解】由题意，，因为，所以，所以，所以 ，当且仅当，即，时，等号成立，所以，所以，即的最小值为.故答案为：. （3）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【详解】因为且，所以，所以 ，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. （4）（25-26·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ． 【解析】因为，且，所以， 所以 ，当且仅当，即，时等号成立，故答案为： 题型七 常数替换型 例17.（1）（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【解析】因为，且，所以. 当且仅当时，即，有最小值.故选：A. （2）（25-26安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【详解】，当且仅当，即时，等号成立.故选：D （3）（24-25河南·许昌高中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．7 D． 【解析】由已知条件得，，当且仅当，即，时取等号，∴ 的最小值为6；故选：B. （4）（25-26高二下·福建南平·期末）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【详解】已知，，，则，又，当且仅当，即时，等号成立，所以， 故，由，当且仅当，即时等号成立，则， 当且仅当，，时等号成立，即的最小值为. 例18.（1）（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【详解】，当且仅当时，取“”成立，故选：B. （2）（25-26浙江绍兴）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：B （3）（25-26江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 . 解：，由于，，是正实数，且，所以 ，当且仅当，即，所以时等号成立，则的最小值为，所以，当且仅当，即时等号成立，则最小值为.故答案为：. （4）（25-26高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以 ，当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为.故答案为： 题型八 构造不等式求最值 例19.（1）（25-26高一上·天津南开·月考）设，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【解析】由，由，得，当且仅当时，取等号，解不等式，得，所以的最大值为4.故选：C. （2）（25-26高一下·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． 【解析】由，得，整理得，当且仅当时等号成立.则，故，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，即的最小值为6. （3）（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得，所以的最大值为2. （4）（25-26高一上·江苏淮安·期末）已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ． 【解析】为正实数，满足，， ，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 题型九 两次运用基本不等式求最值 例20.（2025·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 【解析】，又，所以， 所以，当且仅当，即，或取等号，所以或.故选：D （2）（25-26山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为a，b均为正实数， 则 ，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A． （3）（25-26高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 【详解】，所以，当且仅当时取到等号，故答案为： （4）（25-26高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以 ，当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为.故答案为： （5）（25-26高一下·湖北荆州·期末）若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值是. 例21.（1）（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【详解】因为，故. 又，当且仅当，即时等号成立.故的最小值为.故答案为：. （2）（25-26高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4.故选：A （3）（25-26高一上·浙江温州·月考）若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【解析】， 其中，其中，当时，即时，等号成立，，当，即时等号成立， 当满足，即，时，两个等号同时成立，所以的最小值为8.故选：C （4）（25-26高一上·重庆云阳·月考）已知，则的最小值为（  D  ） A．1 B．2 C．3 D．4 （5）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，所以，当且仅当时取“”，所以，当且仅当，即，时取“”，所以最小值为．故选：C． 题型十 基本不等式中的恒成立问题 例22.（1）（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【详解】因为不等式恒成立，，，所以恒成立， 设，则当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. （2）（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【详解】令，展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立，所以， 当且仅当时等号成立，由不等式对于任意的恒成立，可得，所以正实数的最大值为. （3）（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立．只需求出当为正数时，的最大值．因为为正实数，所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以，又当时， 所以的最大值为，所以实数的最小值为． （4）（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【详解】由正实数满足，可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为，因为恒成立，可得，解得.故选：C. （5）（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【详解】当时，，，则，当且仅当，即时等号成立，即恒成立，则，故， 故实数的最大值为.故选：A. 例23.（1）（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【详解】，，恒成立，而，当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为.故选：C. （2）（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则代入得，将代入原不等式，得，两边同时除以，得，把代入，得，即，由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立，故实数的取值范围为.故选：. （3）（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【详解】因为，且由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以，即，得到，解得，故的最小值为，要使恒成立，即成立，解得.   故答案为：. （4）（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若，则实数的最大值为______． 【详解】因为，由，可得， 令，则，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以当时，的最小值为6，所以要想当时，恒成立，只需，即的最大值为6．故答案为：6 （5）（25-26高一上·广东·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 【详解】因为，所以，则， 因为，当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是4．因为恒成立，所以，所以， 所以的取值范围是．故答案为：． 例24.（1）（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为________. 【详解】，即，且， 当且仅当时，等号成立，所以.故实数的最大值为27.故答案为：27 （2）（25-26高一上·浙江温州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则的最大值为___________． 【详解】，，，原不等式化简为，，，，， ，，，， 令，令，则，则，则， 当时，， 当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立， ，即，，当且仅当， 即时等号成立，此时，，，故最大值为．故答案为：． （3）（25-26高一上·福建·期中）已知，不等式恒成立，则实数a的最小值为________. 【详解】由题意可得，恒成立，所以，又，令， 则，当且仅当，即时取等号，所以，即实数a的最小值为，故答案为：. （4）（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）设，若恒成立，则的最大值为______________. 【详解】，， （当且仅当，即时取等号）， ，即的最大值为.故答案为：. （5）（25-26高一上·四川南充·期中）设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是______. 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立，由，，，得， ，当且仅当，即，时，等号成立，所以，即.故答案为： 题型十一 基本不等式方法综合 例25.（1）（多选题）（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 【详解】对于A：由基本不等式，代入得，化简得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B:（法一）：因为，所以，且． 所以，当时，． （法二）由柯西不等式，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以B正确． 对于C: ，当且仅当，即时取等号，所以C正确； D.，当且仅当，由A选项可知，所以最小值为，D错误．故选：ABC （2）（多选题）（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【详解】对于A：因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确；对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号，又，所以没有最小值，故D错误.故选：AC （3）（多选题）（25-26高一上·广东广州·期中）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A选项，因为正数，满足，且，当且仅当即，时，等号成立，所以，故选项A正确；对于B选项，当，时，，故选项B错误；对于C选项，因为，所以，故选项C正确；对于D选项，因为，所以，即， 所以， 因为，当且仅当，即，即，时，等号成立.所以，所以选项D正确.故选：ACD. （4）（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【详解】因为正数 ，满足 ，对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立，所以的最大值为 ，所以A正确；对于B，由，因为 且 ，所以 ，即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确；对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以C错误；对于D，因为 ，可得 ，则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确.故选：AB 例26.（1）（多选题）（2026·云南玉溪·模拟预测）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【详解】，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误；由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误．故选：BC （2）（多选题）（2026·山东日照·模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 【详解】对于A，已知，，由基本不等式有，两边平方得，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确；对于B，因为，所以，由基本不等式有，当且仅当 ，即时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，已知，，由可得，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确.故选：ACD. （3）（多选题）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项：选项A：，由基本不等式，得，最小值为，A错误.选项B：将代入得： ，当时，等号成立，故B正确；选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ，所以，等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确.选项D：先化简前两项：， 由，得，故原式，两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确.故选：BCD. （4）（多选题）（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，，则，且，因，则有，故A正确；对于B，由A得，则，因，则，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得，因，，则，当且仅当时等号成立，由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确；对于D，由A得，代入，得，设，则，当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确.故选：ACD. 课后练习题 1.（25-26高一上·河南·期中）已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时，，则“”是“”的充分条件； 当，取，则，则“”不是“”的必要条件； 所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A. 2.（24-25高一上·贵州遵义·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】由，即，又，所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错；由，即，所以，当且仅当时等号成立，C、D错.故选：A 3.（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【详解】 ，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为1.故选：D. 4.（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，，，，且，由基本不等式的关系可知，当且仅当时等号成立，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，，所以，所以.故选：B 5.（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【详解】由都是正数，且， 则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，又由恒成立，所以.故选：A. 6.（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【详解】已知传令兵的行进速度为，则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为，则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②，由①②得，解得，（舍去），所以，当且仅当时等号成立．故选：C 7.（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】∵，， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是.故选：D 8.（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【详解】因为正实数满足.对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于选项D：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故D错误.故选：C 9.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为圆的半径为2，所以，由射影定理可知，所以， 当且仅当，结合，即，时等号成立，因此的最小值为.故选：C 10.（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．10 D． 【详解】两边同时除以，得到， ，当且仅当，即，时等号成立.故选：D 11.（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【详解】因为，所以同号，又，所以同正.对于A，由得，故A正确．对于B，由不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，故B正确．对于C， ，当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误．对于D， ，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确..故选：C 12.（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为、都为正实数，且，故，由题意可得，， 由不等式的性质可得，，故，可得，当且仅当时，即当时，此时且时，取最大值，此时.故选：A 13.（多选题）（25-26高一上·广西玉林·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知正数，满足，则的取值范围为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若正数，，满足，则有 【详解】对于A，因为，所以，，两边同时除以，得，故A正确， 对于B，由，及均为正数，得，所以，故B错误， 对于C，由，得，由，可得，又，所以，当且仅当，时等号成立，故C正确，对于D，由题意得，得， 由柯西不等式可得，当时等号成立，故D正确.故选：ACD 14.（多选题）（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，因为，所以，即，所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误；对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，因为，故C正确；对于D，由，得，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BCD 15.（多选题）（25-26高二下·山西吕梁·阶段检测）已知，设，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则有最大值8 C．若，则有最小值 D．若，则有最大值2 【详解】由题意知，实数，，，对于A，当时，可得，当且仅当，即，时等号成立，所以， 可得，所以，所以A正确；对于B，当时，可得， 所以，当且仅当，即时取等号，即有最小值8，所以B错误；对于C，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，所以C错误；对于D，当时，，当且仅当时等号成立，令，则，且，解得，即，解得，所以，即有最大值2，当且仅当时取等号，所以D正确．故选：AD 16.（多选题）（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知且，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【详解】A选项，因为且，所以， 根据基本不等式可得，当且仅当且时取等号，所以， A 选项正确；B选项，，因为，当且仅当时取等号，所以，则，当且仅当时取等号，即最大值为，B选项正确；C选项，因为，所以，，，又，代入得：， 令（），表达式变为，取特殊值（此时），计算得： ,而当时，值为，故1不是最大值，选项C错误； 选项D，令，则，代入，令，则， 则，当且仅当，即时，等号成立，D正确．故选：ABD. 17.（25-26高一上·四川成都·期末）设，则的最小值为__________． 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号． 18.（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【详解】，所以，所以，若，其值必然小于正数，因此仅需考虑，根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 19.（25-26高一上·广东·阶段检测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 【详解】因为，所以，则， 因为，当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是4．因为恒成立，所以，所以， 所以的取值范围是．故答案为：． 20.（25-26高二下·海南·期末）记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 【详解】由均值不等式得：， 当，即时，， 当 时，即，，综上的最大值为． 21.（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【详解】由.从而原问题转化为求的最小值.因为 ，（以上均为当且仅当时取等号）.所以.即实数的最大值为8. 22.（25-26高一下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 （1）若，求的最小值 （2）已知，且，若恒成立，求的取值范围 【详解】（1）因为，， ，当且仅当，得时等号成立，故最小值为. （2）令，，，所以，，， 即，可得，，当且仅当，即时等号成立，此时，的最小值为，若恒成立，则， 即的取值范围为. 23.（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， （1）求的最大值. （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【详解】（1）因为，为正实数，所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数，所以由 因此当时，有最大值； （2），因为，为正实数，所以，即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 24.（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设，为正实数，且 （1）求和的值； （2）求的最小值． （3）求的最小值. 【详解】（1）由题设有，故 （2），因为，故，故， .由基本不等式得： ，当且仅当时，即时取等， 故最小值为. （3）由得，，当且仅当时，即时取等故最小值为24. 25.（25-26高一上·重庆·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，，求的最小值； （2）若，求的最大值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【详解】（1）当，时，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. （2）当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为. （3）判断 证明：当时，成立.当时， 所以因为（），所以等号不成立，所以综上所述，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $