专题2.8 直线和圆的方程讲义--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过13大题型分类系统构建直线和圆的方程知识体系，以“压轴题型·满分计划”为框架呈现知识脉络，覆盖直线与坐标轴面积、过定点、距离公式求最值等核心知识点，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于52道压轴题型的分层设计，包含选择、多选、填空及解答题，如“用两点间的距离公式求函数最值”题型培养数学思维与推理能力，“轨迹问题--圆”题型强化模型观念。基础题巩固方法，压轴题提升综合应用，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供有力支持。

专题2.8 直线和圆的方程52道压轴题型专训（13大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型二、直线过定点问题 题型三、用两点间的距离公式求函数最值 题型四、求点关于直线的对称点 题型五、由标准方程确定圆心和半径 题型六、轨迹问题--圆 题型七、定点到圆上点的最值(范围) 题型八、直线与圆的位置关系求距离的最值 题型九、直线与圆中的定点定值问题 题型十、切线长 题型十一、坐标法的应用--直线与圆的位置关系 题型十二、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 题型十三、相交圆的公共弦方程 【经典例题一 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（多选）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 3．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为_________. 4．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【经典例题二 直线过定点问题】 5．已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 6．（多选）已知直线，则（    ） A．点到距离的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．若，则倾斜角的取值范围为 7．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 8．已知直线：（）. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【经典例题三 用两点间的距离公式求函数最值】 9．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 10．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的图象表示过原点的所有直线 B．函数的最小值为5 C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 11．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为_______． 12．已知正三角形的边长为a，在平面上求点P，使.最小，并求出最小值. 【经典例题四 求点关于直线的对称点】 13．若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 14．（多选）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 15．已知实数满足，则最小值为_______. 16．已知的三个顶点分别为，，． （1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值； （2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标． 【经典例题五 由标准方程确定圆心和半径】 17．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）设有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 19．一束光线从点出发经轴反射后与圆相切于点，则光线的最短路程是______． 20．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B. （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程. 【经典例题六 轨迹问题—圆】 21．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 22．（多选）已知动点P与两定点，的距离之比为，则（    ） A．点P的轨迹所围成的图形的面积是 B．点P到点A的距离的最大值是2 C．点P到点B的距离的最大值是6 D．当P，A，B不共线时，的面积最大值是3 23．已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为_____. 24．已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，. (1)若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值； (2)在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围； (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 【经典例题七 定点到圆上点的最值(范围)】 25．已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 27．已知满足，则函数的最小值为__________． 28．平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 【经典例题八 直线与圆的位置关系求距离的最值】 29．已知实数满足方程，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 30．（多选）若过点的圆与两坐标轴都相切，且与过点和点的直线相离，设为圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为或 B．面积的最大值为22 C．当最小时， D．不存在点使 31．平面直角坐标系中，已知是的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是______． 32．（1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点P，直线恒过定点Q，已知和交于点M． ①求出定点P，Q的坐标； ②求面积的最大值． 【经典例题九 直线与圆中的定点定值问题】 33．经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 34．（多选）已知，，成等差数列，点在直线外，作，垂足为点.为坐标原点，则（   ） A．直线过定点 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 35．已知圆和点，若定点和常数满足：对圆O上任意一点M，都有，则_________，面积的最大值为______________． 36．已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点（在左侧），（为坐标原点）． （1）求圆的标准方程； （2）过点任作一条直线与圆相交于，两点． ①证明：为定值；②求的最小值． 【经典例题十 切线长】 37．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（多选）设圆：与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆О的切线为，对于切线上的点B和圆О上的点C，下列命题中正确的是（    ） A．若，则点B的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．过点作圆的切线，切点为，则______. 40．已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 【经典例题十一 坐标法的应用--直线与圆的位置关系】 41．已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 42．（多选）已知，动点满足，记的轨迹为.过A的直线与交于P，Q两点，直线BP与的另一个交点为，则（   ） A．的面积的最大值为 B．当时， C．Q，M关于轴对称 D．在上存在点，使得 43．已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 44．已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． (1)求点T的轨迹C的方程； (2)过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 【经典例题十二 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)】 45．已知圆：，直线：，点，点P在圆上运动，点Q满足（为坐标原点），则点Q到直线距离的最大值为（   ） A． B．8 C． D． 46．（多选）已知圆，点为圆上一点，为直线上一点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．当最小时， D．当最大时， 47．已知实数满足，则的最小值为__________. 48．已知以点为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于另一点A，与y轴交于另一点B． (1)求证：为定值 (2)设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程． (3)在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 【经典例题十三 相交圆的公共弦方程】 49．已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 50．（多选）圆和圆的交点为，，则（   ） A．圆的半径为2 B．两圆圆心距 C．公共弦所在直线的方程为 D．公共弦的垂直平分线的方程为 51．过直线上一点作圆的切线，切点为，则直线过定点___________，若的中点为，则点的轨迹方程为___________ 52．已知圆 (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 直线和圆的方程52道压轴题型专训（13大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型二、直线过定点问题 题型三、用两点间的距离公式求函数最值 题型四、求点关于直线的对称点 题型五、由标准方程确定圆心和半径 题型六、轨迹问题--圆 题型七、定点到圆上点的最值(范围) 题型八、直线与圆的位置关系求距离的最值 题型九、直线与圆中的定点定值问题 题型十、切线长 题型十一、坐标法的应用--直线与圆的位置关系 题型十二、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 题型十三、相交圆的公共弦方程 【经典例题一 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 1．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案. 【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点， 所以设直线方程为，， 所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为 所以面积为，即， 所以或, 解方程，即，解得， 解方程，即，解得 所以这样的直线有3条. 故选：C 2．（多选）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】ABC 【分析】利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 3．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为_________. 【答案】x＋2y－4＝0 【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然存在，设(其中)求出坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程. 【详解】法一　设直线l：，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以，则≥，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4， 当且仅当＝时取等号，此时a＝4，b＝2， 故直线l：，即x＋2y－4＝0. 法二　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)， ，B(0,1－2k)， S△AOB＝ (1－2k) ＝≥ (4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－ ，即k＝－时，等号成立， 故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是求解与直线方程有关的最值问题，求解时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值，是中档题. 4．直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 【经典例题二 直线过定点问题】 5．已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除错误答案，进而得到结果，数形结合由斜率列式求解计算得到结果. 【详解】因为直线， 变形为，进而，解得， 所以直线恒过定点， 求线段的两个端点与定点的斜率：， 如图可知，当，即时，设直线的斜率为， 则或， 情况1：，即， 可得，解得或， 情况2：，即， 可得，解得； 当，即时，直线与线段有一个公共点.符合题意， 结合以上分析，解得或. 故选：B. 6．（多选）已知直线，则（    ） A．点到距离的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．若，则倾斜角的取值范围为 【答案】BCD 【分析】A选项，求出过定点，到距离的最大值，验证后发现最大值取不到；B选项，根据平行关系得到方程，求出，检验后得到B正确；C选项，由垂直关系得到方程，求出；D选项，求出的斜率，进而求出倾斜角取值范围. 【详解】对于A：， 令，解得，故过定点， 到距离的最大值为， 此时，，故的斜率应为， 故，即，无解，故最大值取不到，故A错误； 对于B：由，得，解得， 经检验，当时，与不重合，故B正确； 对于C：由，得，解得，故C正确； 对于D：当时，直线的斜率， 当时，的倾斜角，故D正确. 故选：BCD 7．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 8．已知直线：（）. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线方程变形为，从而可得直线过定点的坐标； （2）方法一：先讨论和两种特殊情况，再由直线不经过第四象限的条件，解不等式可得结果；方法二：先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在时，数形结合分析得到斜率的取值范围，解不等式可得结果. 【详解】（1）原式化为， 令，解得，所以直线过定点. （2）方法一：当时，即，得直线：，符合题意； 当时，得直线：，不符合题意； 当且时，，令，解得或， 故k的取值范围为. 方法二：当时，即，得直线：，符合题意； 当时，方程可化为， ，由数形结合可知，解得或， 故k的取值范围. 【经典例题三 用两点间的距离公式求函数最值】 9．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 10．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的图象表示过原点的所有直线 B．函数的最小值为5 C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 【答案】BD 【分析】根据点斜式适合范围判断A，根据距离和最小确定B,应用截距相等判断C,应用平移得出直线结合待定系数法判断D. 【详解】对于A：函数不能表示与轴重合的直线，故A不正确； 对于B： ， 表示点与，距离之和， 如图所示，当三点，，不共线时，， 当三点，，共线时，， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：当直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设直线方程为， 把点代入，得，所以直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为，即， 把点代入，得，所以直线方程为. 综上直线方程为或，故C不正确； 对于D：设直线的方程为， 沿着轴向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得， 即， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 11．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 12．已知正三角形的边长为a，在平面上求点P，使.最小，并求出最小值. 【答案】最小值，. 【分析】以的中点为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，用两点间距离公式表示求解. 【详解】记的中点为O，以O为坐标原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.    则. 设，则， ， 所以当时，有最小值，此时. 【经典例题四 求点关于直线的对称点】 13．若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式，判断代数式的几何意义，再根据点关于直线的对称点的求法，求出最小值，判断结果即可. 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：B. 14．（多选）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 15．已知实数满足，则最小值为_______. 【答案】 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可. 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，    如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故答案为： 16．已知的三个顶点分别为，，． （1）若过的直线将分割为面积相等的两部分，求b的值； （2）一束光线从点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射到x轴上的F点，最后再经x轴反射，反射光线所在直线为l，证明直线l经过一定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析，． 【分析】（1）结合图形分析可得直线的斜率大于直线PA的斜率，由此可得直线只能与BC、AB相交，设其与BC的交点为Q点，与x轴的交点为R，根据题设条件得到比例关系，列方程求b； （2）设，结合光线反射的性质求出直线ED的斜率，由此可得直线l的方程，进而可得定点坐标. 【详解】（1）直线BC的方程为：， 直线只能与BC、AB相交，其与BC的交点为Q点， 由得，， 直线与x轴交点为，， 由，即， 化简得：，又， ，解得：， 而，． （2）设，直线AC的方程为：，直线BC的方程为：， 设关于直线AC的对称点为， 则，解得， 同理可得关于直线BC的对称点为， 则在直线ED上，所以直线ED的斜率为， 的斜率为，l方程为，即， 过定点． 【经典例题五 由标准方程确定圆心和半径】 17．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按点的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方程根的情况综合分析的值即可. 【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式， 代入点的坐标，可得关于的方程， 圆，的半径，是该方程的两个不同实根， 所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得． 当点在轴上时，， 此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切， 且，满足． 同理，当点在轴上时，，同样满足． 故选：C. 【点睛】结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为. 18．（多选）设有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 【答案】ABD 【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径不变即可判断. 【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确； B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确； C选项，将代入得：，其中， 故经过点的圆有两个，故C错误； D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确. 故选：ABD. 19．一束光线从点出发经轴反射后与圆相切于点，则光线的最短路程是______． 【答案】 【分析】先求出点关于轴的对称点为，光线从点出发经轴反射后到圆上的最短路程就是点到圆的切线长，将圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，再利用勾股定理即可. 【详解】点关于轴的对称点为， 将圆化为标准方程，得，圆心，半径， 则的距离为, 设光线的最短路程为，由圆的切线性质可知，切线长、圆心与切线的连线与的连线构成直角三角形， 则. 故答案为：. 20．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B. （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论； （2）设M(x，y)，由几何性质得，根据斜率的关系得出关于的方程，根据斜率的关系得出设当直线的方程为，通过联立直线l与圆的方程，求出的范围即可得出结论. 【详解】（1）由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4， 所以圆C1的圆心坐标为(3，0). （2）设M(x，y)， 因为点M为线段AB的中点，所以， 所以，当x≠3时可得，整理得， 又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立， 消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得， 此时方程为，解上式得，因此. 所以线段AB的中点M的轨迹方程为. 【经典例题六 轨迹问题—圆】 21．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式即可求解D. 【详解】由直线，令，得，可得过定点， 动直线， 令，可得，即恒过定点， 由， 所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错； , 由于，又， 所以， 所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对； 设到直线的距离为，由于， 故，当取等号，故最大值为，故D错， 故选：C 22．（多选）已知动点P与两定点，的距离之比为，则（    ） A．点P的轨迹所围成的图形的面积是 B．点P到点A的距离的最大值是2 C．点P到点B的距离的最大值是6 D．当P，A，B不共线时，的面积最大值是3 【答案】ACD 【分析】利用动点P与两定点，的距离之比为，确定动点的轨迹方程，求得圆心到的距离可求得到距离的最大值，求得到直线最大距离为2，即可求的面积最大值. 【详解】对于A，设，因为动点P与两定点，的距离之比为， 所以， 即，即， 所以点为以为圆心，半径为2的圆上一点， 所以点P的轨迹所围成的图形的面积是，故A正确； 对于B，P到点A的距离的最大值为圆心到的距离加上圆的半径，又， 所以点P到点A的距离的最大值为1+2=3，故B错误； 对于C，P到点B的距离的最大值为圆心到的距离加上圆的半径，又， 所以点P到点B的距离的最大值是4+2=6，故C正确； 对于D，当P，A，B不共线时，到直线最大距离为2，的面积最大值，故D正确. 故选：ACD. 23．已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】先确定，，再通过，确定的轨迹为以为直径的圆，即可求解. 【详解】根据的方程及，易知时，,恒过定点， 根据的方程，易知时，, 恒过定点. 则，则的最大值即求的最大值， 由，的方程可得： 当时，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以可得， 所以交点的轨迹为以为直径的圆， 所以的最大值即为直径， 即两点重合时，最大，最大值为. 故答案为：. 24．已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，. (1)若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值； (2)在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围； (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 【答案】(1) (2) (3)证明：若，则以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得， 该圆关于点对称. 由点关于点对称及， 可得—卡西尼卵形线关于点对称， 令，解得，与矛盾， 所以不存在实数，使得以为稳点的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称 【分析】（1）由新定义得到，结合为常数，即可求解； （2）设，由定义得到，从而有，求得，再由，即可求解； （3）由及定义得到以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程：，再结合对称性及得到—卡西尼卵形线关于点对称，从而得到推出矛盾，即可解决问题. 【详解】（1）因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则， 所以， 因为为常数， 所以，且， 所以. （2）解：由（1）知，设， 由，得， 所以， ， 整理得，即， 所以， ， 由，得， 即的取值范围是. （3）略 【经典例题七 定点到圆上点的最值(范围)】 25．已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点、、，可得，数形结合可知当为线段与圆的交点时，取最小值，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 26．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B正确； 利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C错误； 采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 27．已知满足，则函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题意可将所求变形为，则表示两点之间的距离，表示两点之间的距离， 设，使得，利用阿氏圆性质求出两点的坐标，进而可得出答案. 【详解】由， 得 ， 表示两点之间的距离， 表示两点之间的距离， 则， 设，使得， 由阿氏圆性质知， 则， 当且仅当三点共线，且在线段上时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将所求变形为，是解决本题的关键. 28．平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，几何意义为：到的距离，几何意义为：到的距离，即可求解； （2）即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解； 【详解】（1）化成标准方程：，圆心为，半径为2， 设， 则，几何意义为到的距离， 其最大值为圆心到的距离加上半径，即：， ，几何意义为到的距离， 其最小值为圆心到的距离减去半径，即：， 所以的最大值为， 即的最大值为； （2）由，即与的距离， 设过点的直线方程为：，因为过圆心，可得：， 即方程为， 由题意，若的最小值为1，即到的距离为1， 可得：， 平方化简可得：， 解得：或，即， 所以直线方程为：或. 【经典例题八 直线与圆的位置关系求距离的最值】 29．已知实数满足方程，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出圆的圆心和半径，设，即，则表示与直线平行或重合的直线的轴上的截距，求出圆心到直线的距离为，当直线与圆相切时，为最大值或最小值，则，代入和的值，计算求出的值，即可得到的最小值. 【详解】，， 圆心，半径为， 设，即， 则表示与直线平行或重合的直线的轴上的截距， 圆心到直线的距离为， 当直线与圆相切时，为最大值或最小值， 则，，， ，或， ，，. 故选：A. 30．（多选）若过点的圆与两坐标轴都相切，且与过点和点的直线相离，设为圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为或 B．面积的最大值为22 C．当最小时， D．不存在点使 【答案】BCD 【分析】由题意求出圆心与半径，根据点到直线的距离的最大值为可判断B，当最小时，与圆相切根据勾股定理可求理，假设存在点使，求的外接圆圆的半径即可判断D． 【详解】由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为，由题意可得，解得或， 当时，圆心到直线：的距离为， 当时，圆心到直线：的距离为， 又圆与：相离， 所以圆心的坐标为，A错误； 因为点到直线的距离的最大值为， 所以，B正确； 当最小时，与圆相切，由对称性或勾股定理可得，C正确； 假设存在点使，则的外接圆圆的半径为， 设圆方程为，则 ，解得或 又因为为圆上的动点，当圆心时，， 当圆心时，，所以圆与圆相离，点不存在，D正确， 故选：BCD 31．平面直角坐标系中，已知是的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【分析】依据题意可得点的轨迹方程，然后计算点到直线的距离，最后根据，进行判断与计算可得结果. 【详解】由题可知：，圆心，半径 又，是的中点，所以 所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为 若直线上存在两点，，使得恒成立 则以为直径的圆要包括圆 点到直线的距离为 所以长度的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的综合，本题关键在于点的轨迹，考查分析能力以及逻辑推理能力，属难题. 32．（1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点P，直线恒过定点Q，已知和交于点M． ①求出定点P，Q的坐标； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①    ② 【分析】（1）由直线方向向量即可得到斜率，用点斜式写出直线方程； （2）①含参项合并整理直线方程，令参数前系数为0即可解得定点； ②联立方程组消掉参数即可得到交点的轨迹，利用圆上的点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径即可找到距离最大的点，此时面积最大. 【详解】（1）由题意得斜率，与轴交点为， 由点斜式可得直线：，即. （2）①整理方程得，当时方程恒成立，∴ 同理可得，当时方程恒成立，∴ ②联立方程组即，则， ∴，即（去除点）， ∴点圆心为半径的圆上（去除点）， 直线：，即， 圆心到直线的距离， ∴圆上的点到线段的最大距离为， 此时 则面积的最大值为：. 【经典例题九 直线与圆中的定点定值问题】 33．经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可得以为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦，化为，由可得结果． 【详解】因为点为直线上一动点， 设，，是圆的切线， ，，是圆与以为直径的两圆的公共弦， 的中点为，可得以为直径的圆的方程为： ① 又，② ①与②相减得：， 化为， 由可得， 可得总满足直线方程，即过定点， 故选：A． 34．（多选）已知，，成等差数列，点在直线外，作，垂足为点.为坐标原点，则（   ） A．直线过定点 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ACD 【分析】对于A，由，，直线过；对于B，设，则；对于C，知点的轨迹为以为直径的圆，所以的最大值为：到圆心的距离加半径；对于D,设，求出其轨迹方程，.，令，即,当直线与圆相切时取最值，即可求解. 【详解】由题意得，，成等差数列，所以， 所以直线过，故A正确； 设，的最大值为，故B错误； 由题意得点的轨迹为以为直径的圆， 该圆的圆心为，半径为， 如图，作出符合题意的图形，    所以的最大值为，故C正确； 设，因为的轨迹为以为直径的圆，其方程为， 展开得，， 得到. 令，即，当直线与圆相切时取最值， 得到，解得或，所以的最大值为4，故D正确. 35．已知圆和点，若定点和常数满足：对圆O上任意一点M，都有，则_________，面积的最大值为______________． 【答案】 2 / 【分析】先利用题给条件求得参数，代入即可求得，进而求得面积的最大值 【详解】设圆O上任意一点，则 则 若为定值，则， 解之得，或（舍），则 则 则面积的最大值为 故答案为：2； 36．已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点（在左侧），（为坐标原点）． （1）求圆的标准方程； （2）过点任作一条直线与圆相交于，两点． ①证明：为定值；②求的最小值． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析，② 【分析】（1）首先，得到，，，再根据即可得到答案. （2）①首先根据（1）得到，，设，再分别计算即可；②根据得到，即可得到答案. 【详解】（1）设，由题知： ，，， 所以， 解得，所以圆. （2）由（1）知：，， .所以，， 设， ， 同理，所以. ②因为， 所以. 所以的最小值为. 【经典例题十 切线长】 37．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设圆，圆心，，根据题意得到当最小时，最小，利用余弦定理即可得到，再根据点在直线无限远取值时，，直径，即可得到答案. 【详解】设圆，，圆心，， 要使的长度最小，则最小，即最小. 因为，所以当最小时，最小. 又因为，所以当最小时，最小. 因为，所以， . 则. 当点在直线无限远取值时，，直径， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了转化思想和学生分析问题的能力，属于难题. 38．（多选）设圆：与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆О的切线为，对于切线上的点B和圆О上的点C，下列命题中正确的是（    ） A．若，则点B的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对A：在直角三角形中即可求解；对B：当与圆О相切时，最大；当B、O、C三点共线时，最小，分两种情况讨论即可；对C、D：当与圆О相切时，最大，即最大，此时，分析点B在点和之间变动即可求解. 【详解】解：对A：若，在直角三角形中，由可得，所以点B的坐标为或，故选项A错误； 对B：当与圆О相切时，最大，此时在直角三角形中，因为，所以易得；当B、O、C三点共线时，最小，此时.综上，，故选项B正确； 对C、D：当与圆О相切时，最大，即最大，此时，当时，，.当点B在点和之间变动时，，，所以若，即，则.故选项C错误，选项D正确. 故选项：BD. 39．过点作圆的切线，切点为，则______. 【答案】5 【分析】根据题意，求得，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 故答案为：.    40．已知圆，直线． (1)若直线l与圆O相切，求m的值； (2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】根据直线和圆相切求出圆心到直线的距离 ，即可求出 的值； 根据题意可知 四点共圆，且 为直径，要使切线长最短，即 时最短，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，两圆方程相减即可求得直线 的方程. 【详解】（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切， 所以， 解得； （2）当时，直线，连接，则， 所以O，A，P，B四点共圆，切线长， 故最短当且仅当最短，即时最短， 因为，所以，此时， 所以， 联立得， 故以为直径的圆的方程为， 因为弦即圆O与上述圆的公共弦， 所以弦所在直线方程为． 【经典例题十一 坐标法的应用--直线与圆的位置关系】 41．已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用割线定理得，再根据，列出关于的关系式，利用求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示： 连接，交圆分别点，易证△∽△ 则， 因为，故，， 所以， 又， 所以， 解得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于难题，解答时将问题灵活转化是关键. 42．（多选）已知，动点满足，记的轨迹为.过A的直线与交于P，Q两点，直线BP与的另一个交点为，则（   ） A．的面积的最大值为 B．当时， C．Q，M关于轴对称 D．在上存在点，使得 【答案】BCD 【分析】A选项，根据的轨迹的方程，然后利用几何知识求面积的最值即可；B选项，根据圆心角和圆周角的性质得到，然后求即可；C选项，根据题意得到，然后利用正弦定理和诱导公式得到，即可得到关于轴对称；D选项，根据的轨迹方程得到，然后根据的范围判断即可. 【详解】    设，则，整理得， 所以动点的轨迹为圆心为，半径为4的圆， 由图可知，当点到直线的距离最大时的面积最大，所以，故A错； 连接，，当时，，则为等腰直角三角形， ，故B正确； 由题易知， 又由正弦定理可得，，且， 所以， 所以， 又轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，故C正确； 设，，则，整理得， ，故D正确. 故选：BCD. 43．已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 【答案】5 【分析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案； 【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标， 以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点， 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 则千米，从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 故答案为：5 44．已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． (1)求点T的轨迹C的方程； (2)过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再根据T为线段AP的中点可得，再带入列式化简即可； （2）设直线的方程为，，联立直线与圆的方程得出韦达定理，再代入化简求解即可. 【详解】（1）设，由可得， 又可得，即，化简可得. （2）当直线的斜率不存在时不满足题意，设直线的方程为，即，. 联立可得，化简得，则，. 由，解得. 又 即.    【经典例题十二 圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)】 45．已知圆：，直线：，点，点P在圆上运动，点Q满足（为坐标原点），则点Q到直线距离的最大值为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】设，由得，进而得，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，由有， 所以，又点在圆上，所以， 即，所以点在以为半径，圆心为的圆上， 由圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为：， 故选：A. 46．（多选）已知圆，点为圆上一点，为直线上一点，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】根据题意确定圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系逐项分析选项，即可得结论. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径 点，所以直线的方程为，即， 设圆心到直线的距离为， 则有 所以的最小值为，没有最大值，故A错误，B正确； 如图，    当直线与圆相切时取到最大值和最小值 则此时切线长，故C，D正确. 故选：BCD. 47．已知实数满足，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】由可知，，从而将问题转化为求单位圆上一点到直线距离的最小值的平方，利用圆心到直线的距离和半径即可得解. 【详解】因为，所以，， 记为圆，为直线, 则表示圆上的动点与直线的动点的距离， 易知，当直线与直线垂直且经过圆心时，取得最小值， 圆心到直线的距离， 所以的最小值为， 所以最小值为. 故答案为：4. 48．已知以点为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于另一点A，与y轴交于另一点B． (1)求证：为定值 (2)设直线与圆C交于点M，N，若，求圆C的方程． (3)在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，求的最小值及此时点P的坐标． 【答案】(1)证明：由题意可得圆的方程为， 整理得， 令得或， 令得或，可得， 所以； (2) (3)的最小值为， 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而得点的坐标可得答案； （2）由已知可得原点在线段的垂直平分线上，利用直线垂直求出可得答案； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）略； （2）若，则原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则三点共线， 的斜率，所以， 解得，可得圆的方程为； （3）由（2）得圆，其半径为，， 设点关于直线对称点为， 则的中点坐标为， 且，解得，所以， 则， 又点到圆上点的最短距离为 ， 则的最小值为， 此时直线的方程为即， 此时点即为直线与直线的交点， 由解得， 即点． 【经典例题十三 相交圆的公共弦方程】 49．已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程. 【详解】 由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小， 所以，，所以直线的方程为， 联立，解得， 以为直径，以中点为圆心的圆方程为， 两圆方程相减可得直线的方程， 故选：D 50．（多选）圆和圆的交点为，，则（   ） A．圆的半径为2 B．两圆圆心距 C．公共弦所在直线的方程为 D．公共弦的垂直平分线的方程为 【答案】BC 【分析】利用圆的一般方程化为标准方程可求圆心与半径，可判定A，结合两点距离公式可判定B，利用两圆位置关系可计算公共弦方程判定C，根据圆的对称性及两圆圆心坐标计算可判定D. 【详解】由题意可知，， 所以两圆圆心分别为，圆的半径为，， 故A错误，B正确； 两圆方程作差得，则公共弦所在直线的方程为，故C正确； 由圆的对称性可知公共弦的垂直平分线为直线, 由上易知直线方程为，整理得，故D错误. 故选：BC 51．过直线上一点作圆的切线，切点为，则直线过定点___________，若的中点为，则点的轨迹方程为___________ 【答案】 【分析】设，求的以为圆心为半径的圆的方程，由此求得直线的方程，进而求得定点坐标；设出点坐标，利用勾股定理求得点的轨迹方程. 【详解】设，圆的圆心为，半径， 则， 故以为圆心，半径为的圆的方程为： ， 即， ①， 圆②， ②-①并化简得直线的方程为：， 也即， 所以，所以定点坐标为. 设，由于是弦的中点，所以， 设定点为， 则， 即， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：； 52．已知圆 (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用点到直线的距离小于3求解即可； （2）①根据题意可得，求出的最小值，即可得答案； ②由题意可知四点共圆，求出此圆的方程，与圆的方程相减，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知点到直线的距离小于3， 即， 解得， 所以实数的取值范围为 （2）①易知， 所以， 等号当且仅当时成立， 故最小值是； ②由题意可知， 因为， 所以四点共圆，圆心为的中点， 因为， 所以圆的半径为， 其方程为， 即， 直线为两圆公共弦所在的直线方程， 所以两圆方程相减得直线的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $