第05讲 全称量词和存在量词 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，先梳理全称量词（所有、任意等）及命题形式，再阐述存在量词（存在、有些等）及命题形式，进而讲解命题否定规则（全称与存在量词转换），构建从概念到应用的学习支架。 资料通过6类题型系统训练，从基础判断到综合应用（如判别式法、分离参数法求参数，结合充分必要条件），培养学生逻辑推理（数学思维）和精准表达（数学语言）能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

第05讲 全称量词和存在量词 目录 一、全称量词与全称量词命题 1 二、存在量词与存在量词命题 1 三、命题的否定 1 题型1 判断全称量词命题与存在量词命题 2 题型2 全称量词命题与存在量词命题的否定 2 题型3 量词命题的真假 4 题型4 根据量词命题的真假求参数（判别式法） 4 题型5 根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 5 题型6 量词命题与充分必要 7 01 学习新知 一、全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 二、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 三、命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 02 经典题型 题型1 判断全称量词命题与存在量词命题 1. (多选)下列命题是全称量词命题的是(　　) A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R，x2+1=0 2. 下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.存在没有最大值的二次函数 题型2 全称量词命题与存在量词命题的否定 3. 写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. (4)∀x∈R，使得5x-12=0. 4. 写出下列存在量词命题的否定： (1)∃x∈R，x+2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数. 5. 命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 6. 已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．或， D．或， 7. 命题“，”的否定是 ． 题型3 量词命题的真假 8. 判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A=cos B； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 9. 判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假. (1)某个四边形不是平行四边形； (2)方程3x-2y=10有整数解； (3)有一个实数x，使x2+2x+4=0. 题型4 根据量词命题的真假求参数（判别式法） 10. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11. （多选）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 12. 已知，命题． 若均为真命题，求的取值范围． 13. 已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 题型5 根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 14. 已知命题是真命题，则的取值范围是 . 15. 已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 16. 已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 17. 已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，求出实数m的取值范围. 18. 已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围. 题型6 量词命题与充分必要 19. 已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） （    ） A． B． C． D． 20. （多选）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 全称量词和存在量词 目录 一、全称量词与全称量词命题 1 二、存在量词与存在量词命题 1 三、命题的否定 1 题型1 判断全称量词命题与存在量词命题 2 题型2 全称量词命题与存在量词命题的否定 2 题型3 量词命题的真假 4 题型4 根据量词命题的真假求参数（判别式法） 4 题型5 根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 5 题型6 量词命题与充分必要 7 01 学习新知 一、全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 二、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 三、命题的否定 1．命题否定的真假： 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定； 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定：； 存在量词命题的否定是全称量词命题． 02 经典题型 题型1 判断全称量词命题与存在量词命题 1. (多选)下列命题是全称量词命题的是(　　) A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R，x2+1=0 答案　AC 解析　选项A中的命题含有全称量词“任意一个”，是全称量词命题；选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题. 2. 下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.存在没有最大值的二次函数 答案　D 解析　D选项是存在量词命题. 题型2 全称量词命题与存在量词命题的否定 3. 写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. (4)∀x∈R，使得5x-12=0. 解　(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. (3)该命题的否定：∃x∈Z，x2的个位数字等于3. (4)该命题的否定：∃x∈R，使得5x-12≠0 4. 写出下列存在量词命题的否定： (1)∃x∈R，x+2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数. 解　(1)该命题的否定：∀x∈R，x+2>0. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形. (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 5. 命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“”为全称量词命题，其否定为：. 故选：A 6. 已知命题，，则是（    ） A．， B．， C．或， D．或， 【答案】B 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以，．故选：B． 7. 命题“，”的否定是 ． 【答案】， 【详解】命题“，”的否定是，，， 故答案为：，． 题型3 量词命题的真假 8. 判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A=cos B； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 解　(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题，真命题. (2)省略了全称量词，可以表示为∀n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，真命题. (3)含有全称量词“所有的”，故是全称量词命题.对于任意二次函数，它的图象的开口都向上是假命题. 9. 判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假. (1)某个四边形不是平行四边形； (2)方程3x-2y=10有整数解； (3)有一个实数x，使x2+2x+4=0. 解　(1)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形.真命题. (2)可改写为存在一对整数x，y，使3x-2y=10成立.故为存在量词命题.真命题. (3)存在量词命题，由于Δ=22-4×4=-12<0，因此方程无实根.假命题. 题型4 根据量词命题的真假求参数（判别式法） 10. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为“，”为假命题，所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是．故选：A． 11. （多选）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】BC 【详解】若命题为真命题，则，解得，则当命题为假命题时，. 故选：BC 12. 已知，命题． 若均为真命题，求的取值范围． 【答案】 【详解】若为真命题，则，解得． 若为真命题，则，解得． 因为均为真命题，所以的取值范围为． 13. 已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 题型5 根据量词命题的真假求参数（分离参数法） 14. 已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为所以即， 所以实数的取值范围是.故答案为：. 15. 已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得时，， 则，解得， 故答案为： 16. 已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得≤m≤3.即m的取值范围为. 17. 已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，求出实数m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，所以A⊆B， 因为B≠∅，所以解得m≥9. 即m的取值范围为{m|m≥9}. 18. 已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围. 解　p为真命题，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以6-m≤m+3，即m≥. 当m≥时，6-m≤m+3≥故∈B， 所以A∩B≠∅，满足题意， 故m的取值范围为. 题型6 量词命题与充分必要 19. 已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且，， 所以，对恒成立，所以，因为， 所以是命题“，”是真命题的一个充分不必要条件. 故选：A 20. （多选）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，，所以，则， 所以当时，，恒成立， 要使“，”是真命题的一个充分不必要条件，则的值要大于， 故，均可． 故选：BC． 2 学科网（北京）股份有限公司 $