第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末归纳提升-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

数学·必修第一册 章末归纳提升 对应学生用书P54 [网络构建] 实数的性质 a-b>0台a>b a-b=0台a=b a-b<0台a<b 不等 比较大小 关系 比较法 不等式的有关概念 不1.a>b台b<a(对称性) 2.a>b,b>c→a>c(传递性) 武3.a>b→a十c>b+c(可加性) 的4.a>b,c>0→ac>c(可乘性) a>b,c<0→ac<bx(可乘性) 本5.a>b,c>d>a十c>b+d(同向可加性) 6.a>b>0,c>d>0→ac>bd(同向同正可乘性， 质 7.a>b>0→a">b"(n∈N,n≥2)（可乘方性） 1.a,b∈R,a2+b2≥2ab(当且 变式：(a+b)2≥4ab, 仅当a=b时取等号) 。+b≥(a 2 2 元二次函 基 2.a,b>0,a十b≥√ab 推广：a1,a2,…,an>0 2 不 (当且仅当a=b时取等号) a1十a十+a≥a1a…a 、方程 式 x,y>0,若和x十y=s(定值)，当x=y时，积xy 不等式 基本不等式 取得最大值 与最大（小）值 x,y>0,若积xy=p(定值)，当x=y时，和x十y 取得最小值2√p 求最值 “一正，二定，三相等”解决实际问题 ·元二次不等式的解集 币 △>0，{xx<x1,或x>x2} 二次 ax2+a十c>0(a>0)的解集A=0,{xx∈R,且x≠- 2a △<0，x∈R 不等式 a.x2+br+c<0(a>0)的解集 1A>0,{xx1<x<x2} △≤0,0 (a.x2十bx十c=0的两根为x1,x2且x1<x2) 元二次不 等式的应用 从实际问题中建立一元二次不等式 ·76· 第二章一元二次函数、方程和不等式 [归纳提升] 题型一 不等式的性质及应用 (2已知0≥0b>0,且a≠6，比较号+2与4+力 不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之 的大小 一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时 也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用. (1)解析：AD[因为a>1,所以上<1，所以A正 [例1](1)如果a,b,c满足c<b<a且ac<0,那么下 列选项中不一定成立的是 确；若a十c>b,可令a=1,c=1,b=-1,则有1> A.abac B.c(b-a)>0 C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0 故B错送；对于C,可取a=合则。<a,放C (2)不等式x2+6.x十10<0的解集是 ( 错误；因为ac2>bc2,所以c2>0,所以a>b,故 A. B.R D正确.] C.alx>5) D.{x|x<2} (3)已知2<a<3,-2<<-1,求ab,么的取值 范围 a"-bb-a' b [解析](1)因为c<a.且ac<0,所以c<0,a>0. A成立，因为c<b,所以ac<ab,即ab>ac. =a-(信-) B成立，因为b<a,b-a<0, 所以c(b-a)>0. =(a2-b2)a-b-a-b)2(a+b ab ab C不一定成立，当b=0时，cb2<ab2不成立. 因为a>0,b>0,且a≠b, D成立，因为c<a,所以a一c>0, 所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0, 所以ac(a-c)<0. (2)x2+6.x+10=(x+3)2+1>0, 所以（信+）-a+6)0 原不等式的解集为. 即+>a+6. [答案](1)C(2)A (3)因为-2<b<-1,所以1<-b<2. 题型二 解二元二次不等式 又因为2<a<3,所以2<-ab<6, 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考 所以-6<ab<-2. 因为-2<b<-1,所以1<b2<4. 中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常 因为2<a<3,所以1<1<1 在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法 3a2 及其根与系数的关系的应用. 所以1<<2 3-a [例2]解下列关于x的不等式： 所以ab的取值范国为一6<ab<一2.在的取值范 (1)-1<.x2+2x-1≤2； a (2)m2x2+2mx-3<0. 用为时<名<2 /x2+2x-1>-1, [解](1)原不等式等价于 ⊙[变式训练] 0x2+2x-1≤2， 1.(1)(多选)下列命题正确的有 ( 1x2+2x>0, ① A.若a>1,则1<1 x2+2x-3≤0， ② a 由①得x(x十2)>0， B.若a十c>b,则1<1 所以x<-2或x>0; C.对任意实数a,都有a≥a 由②得(x+3)(x-1)≤0， D.若ac2>bc2,则a>b 所以一3≤x≤1. ·77· 数学·必修第一册 将①②的解集在数轴上表示出来，如图。 [例3]1)设a>0,6>0,2a十b=1,则}+号的景小 值为 求其交集得原不等式的解集为{x一3≤x<一2， (2)已知a,6都是正数，且d+号=1，则y 或0<x≤1. a√1十b的最大值为 (2)当m=0时，-3<0恒成立，解集为R. [解析](1)：a>0,b>0,且2a十b=1, 当m≠0时，二次项系数m2>0,△=16m2>0,不等 式化为(mx+3)(mx-1)<0. +-+号a+6 a 当m>0时，解集为{红-品<}： b.4a=8, 当m<0时，解条为{品<<-品} 2a+b=1, a= 4 当且仅当b一4e,,即 时等号成立 ⊙[变式训练] La b, b2 2.解下列不等式（组）： 日+号的最小维为8 x(x+2)>0, (1) {x2<1; (2)a2+ =1,∴.2a2+b2=2. (2)6-2.x≤x2-3x<18. 又，a是正数，b也是正数， 1x<-2或x>0, 解：(1)原不等式组可化为 ∴.y=a√1十b2=√a2·(1+b2) 1<x<1, 2aa+≤·20+1+少 √2 2 即0<x<1,所以原不等式组的解集为{x0<x<1}. /6-2x≤x2-3x (2)原不等式等价于 x2-3.x<18, r2a2=1+b, + a x-x-6≥0， 2 即 当且仅当 =1,即 时， x2-3.x-18<0, 因式分解，得/x-3)红+2)≥0， a>0,b>0, \b2 (x-6)(x+3)<0, y=a1+B有最大值子厄 所以 x≤-2，或x≥3， [答案] 18(2)是E -3<x<6 ◇[变式训练] 所以-3<x≤-2或3≤x<6. 所以不等式的解集为{x-3<x≤-2，或3≤x<6. 3.若>0y>0,且x十2y=5,求2+号的0小信. 题型 利用基本不等式求最值 并求出取得最小值时x,y的值. 解：因为x>0,y>0,且x+2y=5, 基本不等式：V历<生。>0b>0)是每年高 所以+号-+2侵+) 考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及 求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题 (++) 相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一 些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另 x+2y=5, 外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常 当且仅当18y-x 出现 ·78· 第二章一元二次函数、方程和不等式 即 /=3, 时等号成立 题型五构建不等式模型解决实际问题] (y=1, 数学建模是应用数学实际问题的基本手段，在本章中 所以9+2的最小值为5，此时c=3,y=1. y 体现在：(1)基本不等式的实际应用；(2)一元二次不 题型四 恒成立问题 等式的实际应用， [例5]某水产养殖场拟造一个平 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法 面图为矩形且面积为160平方 有以下几种 (1)变更主元法 米的水产养殖网箱，为了避免 长 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道 混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示.如果网 取值范围的变量要看作主元. 箱四周网衣（图中实线部分）建造单价为每米112元， (2)分离参数法 筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米96元，网 若m<y恒成立，则m<y的最小值. 箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的 若m>y恒成立，则m>y的最大值. 厚度忽略不计，把建造网箱的总造价y(元)表示为 (3)数形结合法 网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数 最低造价. 图象直观化. [解]y=12(2x+0×2+96(+10×3计 [例4]设函数y=mx2-m.x-1,(1≤x≤3)，若 y<一m十5恒成立，求m的取值范围. 100X160=320×(+20)+160≥26240. [解]y<-m十5恒成立. 即m(x2-x十1)-6<0恒成立， 此时，江=256，即x=16时，取得最小值. -1-(}+是0 最小值为26240元. ◇[变式训练] 又m(x2-x+1)-6<0, 5.某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售 6 出100件，若售价降低x成(1成=10%)，售出商 y=2-x+1 + 在1≤x≤3上的 品的数量就增加x成，要求售价不能低于成 本价， 最小值为…只需m<号即可. (1)设该商店一天的营业额为y,试求出y与x之 间的函数关系式y=f(x),并写出定义域； m的取值范因为{如加<} (2)若再要求该商品一天营业额至少10260元，求 ⊙[变式训练] x的取值范围， 4.对于满足0≤≤4的一切实数，不等式x2十px> 4x十p一3恒成立，试求x的取值范围. 解：1猴题意y=1001-)10个1+) 解：不等式x2十px>4x十-3恒成立， 又售价不能低于成本价， 即(x-1)p+(x2-4x+3)>0, 所以100(1-局) 80≥0，解得x≤2， 设y=(x-1)p十(x2-4x十3)是以p为自变量的 一次函数，则0≤p≤4时y>0恒成立， 所以y=f(x)=20(10-x)(50十8.x)(0≤x≤2). 即/x-1).0+x-4x+3>0, (2)2010-x)(50+8.x)≥10260， 14(x-1)+x2-4x+3>0, 化简得：82-30z+13<0,解得分<<只 解得x>3或x<-1. .x的取值范围是{xx>3,或x<-1}. 又x∈{x0≤r≤2，所以x的取值范围为号≤≤2. ·79·