专题1.4 充分条件与必要条件重难点题型专训讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“充分条件、必要条件与充要条件”核心知识点，系统梳理定义、判定方法（定义法、集合法）及参数问题应用，搭建逻辑推理基础支架，衔接后续函数、几何等内容的条件分析。 资料以10大基础题型+1提高题型分层设计，融入“一屋不扫何以扫天下”等生活实例，用数学眼光观察现实，通过充要条件证明培养逻辑推理（数学思维），集合法描述条件关系体现数学语言。课中助教师分层教学，课后自我检测助学生查漏补缺。

专题1.4 充分条件与必要条件重难点题型专训 （1个知识点+10大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、充分条件 题型二、必要条件 题型三、判断命题的充分不必要条件 题型四、根据充分不必要条件求参数 题型五、判断命题的必要不充分条件 题型六、根据必要不充分条件求参数 题型七、根据充要条件求参数 题型八、既不充分也不必要条件 题型九、充要条件的证明 题型十、探求命题为真的充要条件 第二部分·练提高题型 题型一、充要条件相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q．此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 （1）如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q． （2）如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件． （3）如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件． （4）如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． （5）设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件． 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验． 【即时训练】 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件. 【基础题型一 充分条件】 【例1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有______． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）指出下列各题中，p与q的关系． (1)p：且，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形． 【基础题型二 必要条件】 【例2】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 1．（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则方程有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若为无理数，则m，n均为无理数 3．（24-25高一下·甘肃兰州·开学考试）设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件. 4．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围： (2)若是的必要条件，求实数的取值范围： 【基础题型三 判断命题的充分不必要条件】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（24-25高一上·贵州遵义·期末）（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津西青·阶段检测）命题p：已知，“，”是真命题，命题，则q是p的______条件． 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【基础题型四 根据充分不必要条件求参数】 【例4】（2026高一·全国·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）集合，，若是的充分条件，则为（  ） A．0 B． C．0或或1 D．0或 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高三·全国·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 4．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【基础题型五 判断命题的必要不充分条件】 【例5】（25-26高二下·天津·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高一·江苏·专题练习）（多选）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 4．（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【基础题型六 根据必要不充分条件求参数】 【例6】（25-26高二上·广东清远·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 1．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是______． 4．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知集合，． (1)当，时，求实数m的取值范围； (2)设p：；q：，B为非空集合，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【基础题型七 根据充要条件求参数】 【例7】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海长宁·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·上海黄浦·期末）方程至少有一个正实数根的充要条件是________； 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件. 【基础题型八 既不充分也不必要条件】 【例8】（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（25-26高二下·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件 B．设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件 C．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 D．函数的图象关于直线对称的充要条件是 3．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）“”是“不等式与同解”的__条件. 4．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)若，，； (2)，； (3)：两个角都是直角，：两个角不相等. 【基础题型九 充要条件的证明】 【例9】（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（25-26高一上·宁夏银川·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 3．（24-25高一上·全国·单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的__________条件． 4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【基础题型十 探求命题为真的充要条件】 【例10】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2025·黑龙江·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）（多选）（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 3．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【提高题型一 充要条件相关求解】 【例1】（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 1．（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）下列命题中，真命题是（    ） A．函数的最小值为3 B．“”是“”的充分不必要条件； C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“”； D．设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件； 3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在中，、、为的三边.命题是等边三角形，命题，是的___________条件.（充分不必要，必要不充分，充要） 4.（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 1．（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高二上·安徽·竞赛）已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知命题“是的必要不充分条件”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（多选）对任意实数x，y，z，下列命题是真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是“”的充要条件 C．“”是不等式成立的充要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 10．（25-26高一上·福建福州·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 11．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 13．（25-26高一上·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 14．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 15．（24-25高一上·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 16．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 17．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 18．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 20．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 充分条件与必要条件重难点题型专训 （1个知识点+10大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、充分条件 题型二、必要条件 题型三、判断命题的充分不必要条件 题型四、根据充分不必要条件求参数 题型五、判断命题的必要不充分条件 题型六、根据必要不充分条件求参数 题型七、根据充要条件求参数 题型八、既不充分也不必要条件 题型九、充要条件的证明 题型十、探求命题为真的充要条件 第二部分·练提高题型 题型一、充要条件相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q．此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 （1）如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q． （2）如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件． （3）如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件． （4）如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． （5）设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件． 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验． 【即时训练】 1．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）其身正， 不令而行； 其身不正， 虽令不从”出自《论语·子路》. 其数学含义可以理解为：“身正”是“令行”的_____条件. 【答案】充要 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”的逆否命题是“若令行，则身正”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故答案为：充要 【基础题型一 充分条件】 【例1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【详解】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 【答案】AC 【分析】根据充分条件的定义进行判断. 【详解】对A：因为菱形的对角线互相垂直，所以“：四边形为菱形”是“：这个四边形的对角线互相垂直”的充分条件； 对B：因为或，所以“：”不是“：”的充分条件； 对C：因为，所以“：”是 “：”的充分条件； 对D：当，，则，为无理数，但为有理数，所以“：，为无理数”不是“：为无理数”的充分条件. 故选：AC 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有______． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 4．（25-26高一上·全国·课前预习）指出下列各题中，p与q的关系． (1)p：且，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形． 【答案】(1)p是q的充分条件，q是p的必要条件 (2)q是p的充分条件，p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】（1）当且时，成立，反之不一定，如，， 即，， 所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）当有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，反之成立， 即，且， 所以q是p的充分条件，p是q的必要条件． 【基础题型二 必要条件】 【例2】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 1．（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则方程有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若为无理数，则m，n均为无理数 【答案】AB 【分析】由必要条件的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以A符合题意； 对于B，若方程有实根，则需满足，即，可推出，故B符合题意； 对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意； 对于D，若，则为有理数，故D不符合题意. 故选：AB. 3．（24-25高一下·甘肃兰州·开学考试）设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件. 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件，必要条件的概念即可得解. 【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，乙推不出甲； 因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙； 因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，丁推不出丙. 故甲丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 4．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围： (2)若是的必要条件，求实数的取值范围： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的充分条件，根据集合包含关系求解. （2）是的必要条件，根据集合包含关系分情况求解. 【详解】（1）若是的充分条件，则 （2）令集合，集合 当时，与矛盾，不合题意， 当时， 综上所述，故的取值范围为. 【基础题型三 判断命题的充分不必要条件】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 2．（24-25高一上·贵州遵义·期末）（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 3．（25-26高一上·天津西青·阶段检测）命题p：已知，“，”是真命题，命题，则q是p的______条件． 【答案】充分不必要 【分析】求出命题p和q对应a的范围的集合，根据集合包含关系来判断充分必要条件. 【详解】命题p为真命题，则，设集合； 对于命题，可得，，设集合； 则C是B的真子集，即q是p的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 【基础题型四 根据充分不必要条件求参数】 【例4】（2026高一·全国·专题练习）若是的充分不必要条件，则实数的值不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是的充分不必要条件可得是的真子集，求得a的范围，可得答案. 【详解】由题意可知是的充分不必要条件， 则是的真子集，故， 故a的值可取，不可以是. 故选：A 1．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）集合，，若是的充分条件，则为（  ） A．0 B． C．0或或1 D．0或 【答案】D 【分析】由题知，再分类讨论求解即可． 【详解】是的充分条件， ， 则①，解得; ②，解得或（舍去）； 综上，或． 故选：D． 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据集合之间的包含关系可得. 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 3．（2026高三·全国·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即可； （2）根据题意得集合包含关系，进一步列不等式即可求解参数范围. 【详解】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. 【基础题型五 判断命题的必要不充分条件】 【例5】（25-26高二下·天津·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 1．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 2．（2025高一·江苏·专题练习）（多选）“”的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求解不等式，再由必要不充分条件的定义逐一判断各选项即可. 【详解】由，得． 由必要不充分条件的定义知，需使表示的范围是选项范围的真子集， 由选项知，是的真子集，也是的真子集，故A,B正确； 不是的真子集，也不是的真子集，故C,D错误. 故选：AB． 3．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分 【分析】由命题得或，进而根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】解：因为命题：方程有实数根， 所以，，即或， 因为命题：， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 4．（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【答案】必要非充分条件 【分析】利用韦达定理结合不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】由韦达定理，， 判定条件结论 （注意条件中，、需满足） ①由得，，所以． ②为了证明，可以举出反例 取，，满足，，但不成立． 综上可知，是两根均大于1的必要非充分条件． 【基础题型六 根据必要不充分条件求参数】 【例6】（25-26高二上·广东清远·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据必要不充分条件求参数范围即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以,推不出， 所以． 故选：C 1．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简命题，再利用必要不充分条件的定义求出范围. 【详解】命题，命题，由是的必要不充分条件，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】BCD 【分析】令依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围. 【详解】令 ∵“”是“”的必要不充分条件，∴真包含于， ∴，即 故选：BCD. 3．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】化简命题，再利用必要不充分条件的定义列式求解. 【详解】命题，而命题，由p是q的一个必要不充分条件， 得，解得，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 4．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）已知集合，． (1)当，时，求实数m的取值范围； (2)设p：；q：，B为非空集合，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据，，列不等式求解即可； （2）由题意可知集合是集合的真子集，再结合B为非空集合，列不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． 因为，所以，解得． 又，所以，解得， 所以，即实数m的取值范围是． （2）由题意可知集合是集合的真子集，又B为非空集合，所以， 解得，所以实数m的取值范围是． 【基础题型七 根据充要条件求参数】 【例7】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 2．（24-25高一上·上海长宁·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系. 【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；综上， 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件. 故选：C. 3．（25-26高一上·上海黄浦·期末）方程至少有一个正实数根的充要条件是________； 【答案】 【分析】讨论，和三种情况，计算得到答案. 【详解】当时，方程为满足条件. 当时，方程恒有两个解，且，两根一正一负，满足条件 当时，，即，此时，， ，两根均为正数，满足条件 综上所述： 故答案为 【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，求的充要条件. 【答案】 【分析】依题意方程至少有一个非负根，则，即可求出参数的取值范围，再求出方程有两个负根时参数的取值范围，从而求出方程至少有一个非负根的的取值范围，即可得解； 【详解】解：的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得. 上述方程有两个负根的充要条件是且，即， ∴. 于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是. 故的充要条件为. 【基础题型八 既不充分也不必要条件】 【例8】（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 1．（25-26高二下·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件及必要条件的定义，结合特殊值法求解判断即可. 【详解】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件 B．设，是实数，则“”是“”的必要而不充分条件 C．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 D．函数的图象关于直线对称的充要条件是 【答案】AD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，两个三角形全等两个三角形的面积相等，故充分性成立； 但两个三角形的面积相等不能推出两个三角形全等，故必要性不成立， 所以两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A正确； 对于B：由推不出，如，，满足，但是，故充分性不成立； 由也推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C：当时一元二次方程的根为，故C错误； 对于D：若函数的图象关于直线对称，则，解得， 所以函数的图象关于直线对称的充要条件是，故D正确； 故选：AD 3．（25-26高一上·上海黄浦·阶段检测）“”是“不等式与同解”的__条件. 【答案】既不充分又不必要 【分析】取说明充分性不满足；举不等式与不等式说明必要性不满足，从而即可得答案. 【详解】解：取，满足， 所以即为，即为， 两不等式的解集不同，故充分性不满足； 不等式与不等式的解集相同，均为，但不满足，故必要性不满足； 所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件. 故答案为：既不充分又不必要 4．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）判断下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)若，，； (2)，； (3)：两个角都是直角，：两个角不相等. 【答案】(1)充要条件 (2)必要不充分条件 (3)既不充分也不必要条件 【分析】（1）由充要条件的概念即可直接判断； （2）由必要不充分条件的概念即可直接判断； （3）由既不充分也不必要条件的概念即可直接判断. 【详解】（1）因为， 并且， 所以是的充要条件. （2），即或，， 故， 故是的必要不充分条件. （3）两个角都是直角，则这两个角相等， 两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 即， 故是的既不充分也不必要条件. 【基础题型九 充要条件的证明】 【例9】（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为 且且是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“”的充要条件. 1．（25-26高一上·宁夏银川·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先根据命题求的取值范围，再根据充分，必要条件的定义，判断选项. 【详解】等价于，所以， 所以是的充要条件. 故选：C. 2．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由及，得，A正确； 对于B，由，得，的必要条件是，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：AB. 3．（24-25高一上·全国·单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的__________条件． 【答案】充分必要 【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果. 【详解】若，则，则，故成立， 若，则，所以， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充分必要 4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】通过因式分解得到，即可求证. 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 【基础题型十 探求命题为真的充要条件】 【例10】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 1．（2025·黑龙江·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）（多选）（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断，即可由选项逐一求解. 【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件； 对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件； 对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件； 对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件． 故选：BD. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【分析】将原等式变形后，通过配方法转化为平方和的形式，借助平方数的非负性推导得变量间的等量关系. 【详解】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意由集合新定义计算即可； （2）设，先根据集合新定义和必要性列方程组及讨论和求出；再由充分性和集合新定义讨论和时即可求出； 【详解】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 【提高题型一 充要条件相关求解】 【例1】（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可． 【详解】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 1．（2026·北京东城·二模）已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）下列命题中，真命题是（    ） A．函数的最小值为3 B．“”是“”的充分不必要条件； C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“”； D．设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件； 【答案】BC 【分析】举反例判断A，D，利用充分不必要条件的定义判断B，利用充要条件的定义判断C即可. 【详解】对于A，令，则， 则函数的最小值不可能为3，故A错误， 对于B，对于充分性，当时，成立，则充分性成立， 对于必要性，令，满足，不满足，则必要性不成立， 得到“”是“”的充分不必要条件，故B正确， 对于C，对于充分性，将代入中， 得到，故充分性成立， 对于必要性，当时，则， 代入方程中，得到， 则，显然是方程的一个根，即必要性成立，故C正确， 对于D，令，， 满足，此时化为， 解得，故， 此时可化为， 解得，故，显然， 则“”不可能是“”的充要条件，故D错误. 故选：BC 3．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）在中，、、为的三边.命题是等边三角形，命题，是的___________条件.（充分不必要，必要不充分，充要） 【答案】充要 【解析】利用配方法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】充分性：若是等边三角形，则，进而可得，充分性成立； 必要性：若，可得， 即，则，所以，为等边三角形，必要性成立. 因此，是的充要条件. 故答案为：充要. 【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法. 4.（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】（1）或； （2）充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【分析】（1）根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解； （2）结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）略 1．（2026·天津南开·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 2．（2025高二上·安徽·竞赛）已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】取，满足，但，故不能得到， 若，则，故， 综上可得“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高二下·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 4．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知命题“是的必要不充分条件”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若原命题为真命题可得，则可得原命题为假命题时实数的取值范围. 【详解】若命题“是的必要不充分条件”是真命题，则， 由命题“是的必要不充分条件”是假命题，所以. 故选：A. 5．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 6．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由充分条件的概念结合重要不等式可判断ABC，由特例可判断D. 【详解】由，，可得，则，是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 取，满足，不满足，所以不是的充分条件. 故选：ABC 7．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（多选）对任意实数x，y，z，下列命题是真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是“”的充要条件 C．“”是不等式成立的充要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【分析】A根据集合之间的包含关系判断；B D必要性举反例；C解分式不等式. 【详解】，则“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 若则必有，但若，，则不成立，故B错误； ，则或，得，故C错误； 若，则；反之，若，则但， 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD 8．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先判断出集合中元素个数，由此可求的取值范围，再通过真子集关系检验各选项即可求得结果. 【详解】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中：，， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 故选：CD. 9．（24-25高一上·江苏·期中）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 10．（25-26高一上·福建福州·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【分析】由充分条件、必要条件的定义逐项判断可得. 【详解】对于A，令，则，所以充分性不成立， 若，则一定有，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，令，则为无理数，但为有理数，故充分性不成立， 令，则，所以必要性不成立， 综上，“为无理数”是“都为无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，因为，所以，充分性成立， 当时，比如，但， 故不一定推出，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，可得， 解得，故“”是“”的充要条件，故D正确. 故选：CD 11．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 13．（25-26高一上·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 14．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 15．（24-25高一上·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______. 【答案】 【分析】根据作差法可得的等价条件，由充要条件的概念即可得解. 【详解】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 16．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)实数的取值范围为； (2)实数的取值范围为. 【分析】（1）由题设条件先得，接着分和两种情况列关于m的不等关系即可求解； （2）先假设存在得到是的子集，进而列出不等式组求解即可得解. 【详解】（1）若是的必要条件，则， 当即时，，满足； 当时，则可得. 综上，若是的必要条件，则实数的取值范围为. （2）假设存在实数，使是的充分条件，则， 则由题意得. 所以存在实数，使是的充分条件，实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2) 的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. 必要性：若为等边三角形，即， (3) 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）略 （3）略 18．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，，由条件得到，列出不等式求解即可； （2）由条件得到，通过和两类情况讨论即可. 【详解】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围 19．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 20．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 学科网（北京）股份有限公司 $