专题2.6 一元二次函数、方程和不等式 50道计算题专项（5大题型）-2026-2027学年高一上学期数学重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义通过题型分类构建一元二次函数、方程和不等式的知识体系，以5大题型为框架梳理核心内容，用题型框架图呈现知识脉络，突出基本不等式应用与参数确定的重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层计算题设计，50道题涵盖“1”的妙用求最值、由不等式解集确定参数等典型题型，培养运算能力与推理意识。基础学生可掌握通法，优秀学生能深化技巧，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题2.6 一元二次函数、方程和不等式50道计算题专项 （5大题型） 题型一 基本不等式求积的最大值 题型二 基本不等式求和的最小值 题型三 条件等式求最值 题型四 基本不等式“1”的妙用求最值 题型五 由一元二次不等式的解确定参数 【经典计算题一 基本不等式求积的最大值】 1．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 2．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 3．（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 4．已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. (3)若，且，求的最小值； 5．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时的值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 6．（1）已知，求的最小值； （2）已知且，求的最大值. 7．若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 8．（1）已知，求的最大值； （2）已知为正实数，且，求的最小值， 9．已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值与的最大值． 10．已知，， (1)若，求的最大值; (2)若，求的最小值; (3)若，求的最大值. 【经典计算题二 基本不等式求和的最小值】 11．（1）求的最小值. （2）证明：. （3）当时，求函数的最小值. 12．根据题意，求解下列问题： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； 13．（1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 14．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值. 15．求函数的最小值． 16．（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. （3）已知，求的最小值． 17．已知，且，求的最小值． 18．已知，，且. (1)求mn的最小值； (2)求的最小值. 19．已知. (1)求的最小值； (2)求证：. 20．已知正数满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【经典计算题三 条件等式求最值】 21．已知，. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 22．（1）已知，求函数的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 23．已知，. (1)比较与的大小； (2)若，求ab的最小值. 24．已知x，y均为正数． (1)若，求xy的最大值； (2)求的最小值． 25．（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 26．解答下列问题 (1)设，比较与的大小; (2)若实数满足，求的取值范围． 27．已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 28．若正数，满足，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 29．若且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围. 30．已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【经典计算题四 基本不等式“1”的妙用求最值】 31．（1）若，，且，求的最小值． （2）求的最小值． 32．已知正数满足，求的最小值． 33．已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 34．（1）若正数 满足，求的最小值； （2） ,试比较 a，b的大小. 35．已知，，且. (1)求的最小值： (2)求的最小值； (3)求的最大值. 36．已知正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 37．已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 38．设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 39．已知正数，满足． (1)证明：． (2)求的最大值． 40．已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【经典计算题五 由一元二次不等式的解确定参数】 41．（1）解不等式. （2）若不等式的解集是，求不等式的解集. 42．已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 43．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 44．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 45．已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 46．已知函数，其中. (1)若的解集为，求； (2)求关于的不等式的解集，其中为常数. 47．已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 48．已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若且，解关于x的不等式. 49．已知函数，. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式的解集. 50．已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 一元二次函数、方程和不等式50道计算题专项 （5大题型） 题型一 基本不等式求积的最大值 题型二 基本不等式求和的最小值 题型三 条件等式求最值 题型四 基本不等式“1”的妙用求最值 题型五 由一元二次不等式的解确定参数 【经典计算题一 基本不等式求积的最大值】 1．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 2．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助基本不等式计算即可得； （2）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为； （2）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 3．（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）3；（2）11 【分析】利用基本不等式对（1）（2）进行求解即可. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为3 （2），， 则， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为11． 4．已知都是正数. (1)若，求的最大值； (2)若，且存在使不等式有解，求的取值范围. (3)若，且，求的最小值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，结合基本不等式可直接求得结果； （2）将问题转化为，由，结合基本不等式可求得结果； （3）根据，由基本不等式可求得结果. 【详解】（1）都是正数，， ， 当且仅当，结合，即，时取等号， 的最大值为. （2）都是正数， ， 当且仅当，结合，即，时取等号， ，解得：，即的取值范围为. （3），， ， 当且仅当且，即，时取等号， 的最小值为. 5．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时的值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)的最小值为6，此时； (2)； (3). 【分析】（1）直接使用基本不等式进行求解； （2）由基本不等式得到，求出； （3）变形后，使用基本不等式进行求解. 【详解】（1），由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为6，此时； （2），且，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， 的最大值为； （3），故， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 6．（1）已知，求的最小值； （2）已知且，求的最大值. 【答案】（1）7；（2）. 【分析】（1）对所求式子进行变形配凑，结合已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果； （2）方法一，根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果.方法二对所有式子变形，再结合基本不等式，求出结果. 【详解】（1）∵，即， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为7. （2）方法一： ，即 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 方法二：且 当且仅当，即时取等号 所以的最大值为 7．若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【答案】(1)6； (2). 【分析】（1）将给定等式变形为，再利用基本不等式求出最小值. （2）将给定等式变形为，再利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 8．（1）已知，求的最大值； （2）已知为正实数，且，求的最小值， 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用基本不等式求乘积的最值； （2）利用基本不等式结合常数代换求最值； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由，得， 当，时，取得最小值． 9．已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最大值与的最大值． 【答案】(1) (2)4；4 【分析】（1）利用基本不等式‘1’的代换求解即可. （2）利用基本不等式求解积的最大值并结合平方法求解即可. 【详解】（1）因为，，且，所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，得到， 即的最小值为． （2）因为，，，所以， 当且仅当时，等号成立，可得的最大值为4， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为4． 10．已知，， (1)若，求的最大值; (2)若，求的最小值; (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）平方应用基本不等式计算求解； （2）先化简，再应用已知应用基本不等式计算求解； （3）先化简，再应用已知换元，再应用基本不等式计算求解； 【详解】（1） 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为； （2），，，又， ， 当且仅当时取等号，结合，解得，或，等号成立. 所以的最小值是4； （3）， ， ， 的最大值为 当且仅当取等号, 所以的最大值为. 【经典计算题二 基本不等式求和的最小值】 11．（1）求的最小值. （2）证明：. （3）当时，求函数的最小值. 【答案】（1）； （2）时，， ， 当且仅当时等号成立， 所以. （3）. 【分析】（1）根据基本不等式求得的最小值； （2）根据基本不等式证明不等式成立； （3）根据基本不等式求得函数的最小值. 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. （2）略 （3）当时，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以函数的最小值为. 12．根据题意，求解下列问题： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； 【答案】(1)18 (2)9 【分析】（1）由可得，进而结合基本不等式“1”的妙用求解即可； （2）化简，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，可得， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为18. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为9. 13．（1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由基本不等式可得； （2）变形后由基本不等式可得. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. （2）因为且a、b为正数，所以，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立，故的最小值为16. 14．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值. 【答案】（1）10；（2）8 【分析】（1）将变形为，利用基本不等式即可求得结果； （2）将变形为，利用基本不等式即可求得结果； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值是10. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值为8. 15．求函数的最小值． 【答案】 【分析】先利用均值不等式证明，然后将函数表达式两边平方，并证明，而根据函数表达式显然有，从而可得，最后计算验证函数在时取到函数值，就能得到函数的最小值是. 【详解】首先我们有 . 然后，在函数表达式两边平方即得 ，而显然，故. 另一方面，当时，有. 所以函数的最小值是. 16．（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. （3）已知，求的最小值． 【答案】 （1）证明：因为、、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立. （2）； （3）3 【分析】（1）根据基本不等式可得，，，进而求证即可； （2）直接利用基本不等式求解即可； （3）先整理，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. （3）由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 17．已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】由得，令，则，，，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】， 又因为，故有， 因为，所以， 令，则，， 所以， 当且仅当即，也即时，取得最小值. 18．已知，，且. (1)求mn的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据均值不等式结合已知条件得到mn的不等式，进而求解最小值； （2）先对题干中的表达式进行变形，再利用均值不等式化简即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得或（舍）， 所以，当且仅当时等号成立，即mn的最小值为16. （2）因为，所以，又，， 所以，同号， 假设，，，， 又，，，，与矛盾， 假设不成立，故，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 19．已知. (1)求的最小值； (2)求证：. 【答案】(1)2 (2) 因为 所以 所以，当且仅当时等号成立； ，当且仅当时等号成立； ，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以成立. 【分析】(1)利用基本不等式求最小值； (2)通过多次应用基本不等式证明不等式. 【详解】（1）因为 所以 所以 所以，当且仅当即时，有最小值. （2）略 20．已知正数满足. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，且，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）化简得到，由且，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为正数满足，可得，则， 因为是正数，所以， 又由， 当且仅当时，等号成立，所以得最小值为. （2）因为 ， 由（1）知：且， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 【经典计算题三 条件等式求最值】 21．已知，. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1），当且仅当时取等号. 的最小值为. （2），当且仅当时取等号. 的最小值为. 22．（1）已知，求函数的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）16. 【分析】（1）配凑出，再利用基本不等式即可得最小值，注意取等情况； （2）先消元，再由（1）相同解法即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以. （2）由得， 因为，所以， 所以， 所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 23．已知，. (1)比较与的大小； (2)若，求ab的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）根据题意利用作差法分析证明即可； （2）根据题意利用基本不等式可得，解不等式即可得结果. 【详解】（1）因为， 因为，，则， 可得， 所以. （2）由，得， 因为，即，整理可得， 且，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 故ab的最小值为9． 24．已知x，y均为正数． (1)若，求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用重要不等式即可求得xy的最大值； （2）利用重要不等式即可求得的最小值． 【详解】（1）x，y均为正数，则由，可得， 即，当且仅当时等号成立. 故xy的最大值为； （2）x，y均为正数， 则， 当且仅当时等号成立. 故的最小值为． 25．（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 26．解答下列问题 (1)设，比较与的大小; (2)若实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差、配方法即可得出与的大小; （2）把转化为，利用基本不等式，得，解不等式即得. 【详解】（1）因为， 所以． （2）∵，又∵，∴，令，则， ∴，即， 当且仅当时，即，取等号， ∴的取值范围是． 27．已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据已知先求的最大值，然后对目标式通分，结合不等式性质可得； （2）先将目标式平方，然后根据重要不等式可得. 【详解】（1），，， ， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为8. （2）因为，， 所以 . 所以，当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为. 28．若正数，满足，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可； （2）根据等式，结合基本不等式即可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】（1）当时，有， 即 所以 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为； （2）当时，有，则， 因为， 所以， 即，解得或（舍）， 当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为 29．若且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）先判断，原式变形成，等式右边应用基本不等式求解； （2）原式变形成，然后由基本不等式求解. 【详解】（1）由，因为，所以. 由（当且仅当时取等号）， 得，故或（舍）， 所以（取等号），所以的最小值是9. （2）由. 因为，所以，且. 所以， 即，当且仅当，即时取等号. 所以的取值范围为. 30．已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)4； (3)． 【分析】（1）根据“1”的妙用，结合基本不等式求解即可； （2）利用基本不等式，，再对平方计算即可； （3）先化简，再由，则，结合基本不等式求最值即可． 【详解】（1）因为， 所以． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为． （2）因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为， 所以，所以的最大值为4． （3）因为，所以． 因为， 所以． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为， 故的最小值为． 【经典计算题四 基本不等式“1”的妙用求最值】 31．（1）若，，且，求的最小值． （2）求的最小值． 【答案】（1）18；（2）32. 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. （2）利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，，且，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值18. （2）当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值32. 32．已知正数满足，求的最小值． 【答案】16 【分析】法一，根据条件，利用“1”的妙用，即可求解；法二，根据条件，利用权方和不等式，即可求解. 【详解】法一，因为，所以． 又均为正数，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号．综上，的最小值为16． 法二，利用权方和不等式得，当且仅当， 即时等号成立，故的最小值为16． 33．已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用基本不等式可得，即可求解； （2）利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解． 【详解】（1）， ， ，即， 当且仅当，即时，取得最大值； （2） ， 当且仅当，即时，取得最小值． 34．（1）若正数 满足，求的最小值； （2） ,试比较 a，b的大小. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得解； （2）利用作差法即可得解. 【详解】（1）因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为， 所以， 则. 35．已知，，且. (1)求的最小值： (2)求的最小值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据基本不等式的乘“1”法即可求解， （2）根据指数幂的运算，结合基本不等式即可求解， （3）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以 因为，，所以，， 所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为， 所以. 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值6. （3）因为，即，因为，，所以， 所以 整理有：， 因为，所以，， 所以， 即，当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 36．已知正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用基本不等式可求的最大值； （2）根据，结合基本不等式可求得结果. 【详解】（1）由， 得，当且仅当时，等号成立， 则，得，即的最大值为1. （2）由，得， 得， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 37．已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 【答案】(1) 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. (2)2 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【详解】（1）略 （2）因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 38．设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）根据不等式得，再结合条件得，解出即可得到最大值. 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 39．已知正数，满足． (1)证明：． (2)求的最大值． 【答案】(1) 因为，所以， 则． 由，，可得， 所以，则， 故成立. (2)． 【分析】（1）利用等式化简不等式左边，利用配方法证明不等式； （2）利用等式化简代数式，借助基本不等式求得最大值. 【详解】（1）略 （2）因为，所以． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 则， 故的最大值为． 40．已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等价于，由“1”的妙用化简，再由基本不等式解出答案； （2）由，将看成一个整体，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）若，则，         所以，     当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. （2）由得，         当且仅当，即，时等号成立，    所以， 所以或， 又， 所以的最小值为. 【经典计算题五 由一元二次不等式的解确定参数】 41．（1）解不等式. （2）若不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求出结果即可； （2）根据一元二次不等式的解集，求出参数，进而求出新的一元二次不等式的解集. 【详解】（1），即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）因为不等式的解集是， 所以，解得， 所以即，得，解得. 即解集为. 42．已知二次函数. (1)当且时，解关于的不等式； (2)若的解集是，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可得解； （2）由题意得是方程的两根，利用根与系数的关系可求得的值. 【详解】（1）当且时， 则不等式，即为 即，解得， 则的解集为. （2）因为的解集是， 所以是方程，即的两根， 则，解得，经检验满足题意. 43．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】（1）由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. （2）当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 44．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解. 【详解】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 45．已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解； （2）根据（1）的结果，并不等式转化为，因式分解后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）由题意可知，的根是1和2， 所以，解得：，； （2）由（1）知，，， 所以不等式为，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 46．已知函数，其中. (1)若的解集为，求； (2)求关于的不等式的解集，其中为常数. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）分析可知方程的解为，，利用韦达定理可求得实数的值； （2）将所求不等式变形为，对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）由题知，解得. 此时方程的解为，， 由韦达定理得，得，经检验符合题意. 故. （2）， 方程的根为，， 当时，即当时，不等式为，此时原不等式的解集为； 当时，即当时，不等式的解集为； 当时，即当时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 47．已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与判别式的关系即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 48．已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若且，解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据给定的解集，利用一元二次不等式的解集规律，结合韦达定理求解. （2）把代入，按分类求解含参不等式. 【详解】（1）不等式的解集为， 则，且是方程的两个实根，于是， 所以. （2）当且时，不等式，则， 当时，，解得或； 当时，，不等式恒成立，； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 49．已知函数，. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定方程的根，然后列方程组求解即可； （2）按照、和分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以的两个实数根为，， 故，即，解得. （2）因为. 当时，不等式的解为或； 当时，不等式化为，不等式的解集为全体实数； 当时，不等式的解为或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 50．已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $