精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数是减函数，是增函数，在上为减函数， 则，，， 所以. 2. 已知首项为1的数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系逐项求解即可. 【详解】∵， ，， ，. 故选:B. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到函数在上单调递减，再结合零点存在定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， ，， 根据零点存在定理，可知函数的零点所在区间为. 故选：C 4. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 5. 已知，，若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数图像逐一分析判断选项. 【详解】从函数图像可以看出是奇函数， 对于A选项，，且，显然与图像不符，故A错误； 对于B选项，，在时，，不符合题意； 对于C选项，，且，与函数图像不符，不符合题意； 故选：D 6. 在的二项展开式中，若常数项为240，则的系数为（ ） A. 6 B. 32 C. 36 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项展开式的通项公式计算可得，即可得的系数. 【详解】的二项展开式的通项为， 当时，，故常数项为，即， 由， 故随的增大而增大，又时，， 故，则，令 ，得，故的系数为. 7. 已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求曲线在点处的切线方程，再令切线方程与相等并化简，最后通过判断化简后函数的单调性和零点情况确定公共点个数. 【详解】因为，所以， 则，又因为，所以曲线在点处的切线方程为： ，即，由， 得，令，则， 由于恒成立，故，因此在上是严格单调递增函数， 而，所以曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为1． 8. 某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（ ） A. 185 B. 205 C. 215 D. 235 【答案】C 【解析】 【分析】先将7条航线分成3组，为保证每个中心至少分到一条航线，共有四种情况.因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以分甲分配到条航线进行分析可得. 【详解】因为每个调度中心至少分到1条航线， 所以把7条航线分成3组，有四种情况. 因为甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，所以可分甲分配到四个类型进行分析， 所以有以下分配方案： 若甲中心分配5条航线，则其中必包括航线1与航线2，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，且其中包括航线1与航线2，则从除1、2两条航线外的5条中再选2条给甲， 再将剩余3条分成两组分配给乙、丙，共有种方案； 若甲中心分配4条航线，但其中不包括航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选4条给甲， 再将1、2两条航线作为一组，剩余1条单独作为一组，分配给乙、丙共有种方案； 甲中心分配2条航线，即航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配2条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选2条给甲，选1条给乙， 再将剩余4条单独作为一组分配给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，且包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选1条给甲， 此时可从其余航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可选两条给乙，其余航线给丙，共有种方案； 若甲中心分配3条航线，但不包含航线1与航线2，则需从除1、2两条航线外的5条中选3条给甲， 此时可从剩余2条航线中选1条给乙，其余航线作为一组给丙，共有种方案； 也可将剩余2条航线给乙，将航线1与航线2作为一组给丙，共有种方案； 也可将航线1与航线2给乙，其余航线给丙，共有种方案； 综上所述，共有种方案. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线：与：，则（ ） A. 与的焦点相同 B. 与的离心率相同 C. 与的准线相同 D. 与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【解析】 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先明确已知的先验概率和条件概率，结合乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，. 对于A，根据乘法公式，，故A正确. 对于B，根据乘法公式，，故B错误. 对于C，根据全概率公式，，故C正确. 对于D，根据条件概率公式，，故D错误. 11. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则的周长可以为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件、三角形的内角和定理和锐角三角形的性质，可求得角的取值范围；利用正弦定理、两角和的正弦公式与二倍角公式将的周长表示为，进而求得的周长的取值范围后即可作出判断. 【详解】依题意，， 因为锐角三角形，所以，解得； 由正弦定理得，即， 所以， ， 所以，因为，所以， 即周长的取值范围为，而 对于A：，不合题意； 对于B：，符合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：，不合题意. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机事件A，B相互独立，且，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为随机事件A，B相互独立，且，， 所以. 13. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】 【解析】 【详解】变形为,斜率是,设切线的斜率为, 因为切线与直线垂直，所以,所以, ，则，所以，所以. 14. 已知数列满足，，已知数列满足，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先对的递推式取倒数构造等差数列求，再用累加法求的通项，最后转化为对勾函数求正整数范围内的最小值. 【详解】由且，可得，同理可依次证得，对两边取倒数， 得，即是以为首项，为公差的等差数列，因此，故， 由累加法得，当时，， ，故， 验证时，也满足上式，故. 令，因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以数列在上单调递减，在上单调递增， 因此当时数列取得最小值，当时，数列取得最小值，且， 因此，当时数列取得最小值. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，是自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于x的方程有三个不等实根，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）． 【解析】 【分析】（1）对求导后，对与进行分类讨论，即可得解； （2）将代入后，对与进行分类讨论.当时，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 方程，即， 当时，方程成立，即为方程的一个零点； 当时，则，令，依题意，当时，方程还有两个非零不等实根，即直线与的图象有两个非零交点，， 当或时，；当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，；当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． 16. 人工智能（英语：，缩写为）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对的关注，某班级举办了一次闯关赛，甲、乙两名选手参加赛，比赛共有3道题目，其中甲、乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲、乙得分之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 能有的把握认为学生对AI的关注与性别有关． （2）的分布列为 1 3 ． 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比，结合独立性检验思想分析判断； （2）设甲、乙得分分别为，，由题意可得为奇数，，根据独立重复试验的概率公式结合条件概率求分布列和期望. 【小问1详解】 列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 则， 故能有的把握认为学生对AI的关注与性别有关． 【小问2详解】 设甲、乙得分分别为，，则，且为奇数， 可得，，，，，，，， ， ， ， ， 又因为，则或， 所以，． 所以的分布列为 1 3 所以． 17. 已知数列满足，且． （1）证明：是等比数列． （2）求的通项公式． （3）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． （2） （3）由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 【解析】 【分析】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以． 【小问3详解】 略 18. 某足球俱乐部进行点球测试，球员每次点球射中的概率为，各次点球射中与否相互独立，该球员连续进行4次点球射门，记射中次数为随机变量X. （1）求射中次数X不少于3次的概率； （2）该足球俱乐部制定奖励方案，射中X次可得奖金千元，求该球员获得奖金的数学期望. 【答案】（1） （2）8000元. 【解析】 【分析】（1）已知服从 4 次、单次命中率的二项分布，射中不少于 3 次即、，分别用二项分布概率公式算出对应概率再相加； （2）由得到全部取值，借助二项分布求出每个取值的概率，再代入数学期望公式计算得到奖金期望. 【小问1详解】 由题可知，， 则射中次数不少于3次的概率为. 【小问2详解】 令，由题意知Y的所有可能取值为0，1，4，9，16， ，，，，， 所以. 故该球员获得奖金的数学期望为8000元. 19. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点，求证：. 【答案】（1）时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以， 则，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可； （2）令，利用同构思想求证即可； （3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知首项为1的数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 在的二项展开式中，若常数项为240，则的系数为（ ） A. 6 B. 32 C. 36 D. 60 7. 已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（ ） A. 185 B. 205 C. 215 D. 235 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线：与：，则（ ） A. 与的焦点相同 B. 与的离心率相同 C. 与的准线相同 D. 与的焦点到准线的距离相同 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 11. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则的周长可以为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机事件A，B相互独立，且，，则________． 13. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 14. 已知数列满足，，已知数列满足，，则的最小值为________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，是自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于x的方程有三个不等实根，求a的取值范围． 16. 人工智能（英语：，缩写为）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对的关注，某班级举办了一次闯关赛，甲、乙两名选手参加赛，比赛共有3道题目，其中甲、乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲、乙得分之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知数列满足，且． （1）证明：是等比数列． （2）求的通项公式． （3）设，数列的前项和为，证明：． 18. 某足球俱乐部进行点球测试，球员每次点球射中的概率为，各次点球射中与否相互独立，该球员连续进行4次点球射门，记射中次数为随机变量X. （1）求射中次数X不少于3次的概率； （2）该足球俱乐部制定奖励方案，射中X次可得奖金千元，求该球员获得奖金的数学期望. 19. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $