精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025届高三上学期开学考试数学试题

高三开学考数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 在等比数列中，已知，，则（ ） A. B. 27 C. D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意可知公比所以， 故选：B 2. 设是可导函数，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3. 已知由小到大排列的5个样本数据的极差是15，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由极差的公式求解． 【详解】由题知最小的数据是，最大的数据是23，则极差为，解得. 故选：C. 4. 若圆被直线平分，则（ ） A. -2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线经过圆心进行求解． 【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 5. 下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质，并结合奇函数的定义，即可判断选项. 【详解】根据二次函数和指数函数的性质可知，和不是奇函数，故AB错误； 的定义域为，且满足，所以函数是奇函数， 当时，，所以函数在先增后减，故C错误； 的定义域为，且满足，所以函数是奇函数， 并且是增函数，也是增函数，所以在单调递增，故D正确. 故选：D 6. 等差数列前项和为，则（ ） A. 44 B. 48 C. 52 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可 【详解】. 故选：C. 7. 双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据双曲线的离心率为，求得，即可得到双曲线的渐近线方程. 详解：由题意，双曲线的离心率为， 即，所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为，故选B. 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——渐近线方程的求解，根据双曲线的离心率，得到是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力. 8. 已知分别是函数的零点，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数与直线的交点为，与直线的交点为，而与互为反函数，则由反函数的性质可得和关于直线对称，从而得，，进而可求得答案. 【详解】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为， ， 函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为，， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称， 所以点和关于直线对称， 所以， 所以. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为18 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性判断AB；由对称性求出，再求出最小值判断C；利用期望的性质计算判断D. 【详解】随机变量， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，得，即， 则，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性. 【详解】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确； 若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B正确； 因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的， 所以共有种不同的安排方法，故C正确； 添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况， 共有种不同的安排方法，故D错误. 故选：. 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明. 【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 则， 所以，故B错误； 对于选项C：构建，则， 因为，且当时，恒成立， 则，解得， 若，则当时恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意 综上所述：符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 整理得，即， 由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减， 当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得， 不妨设， 构建， 因为在上恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即， 可得， 注意到在上单调递减，且， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 13. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接计算得到，，然后使用切线的定义即可. 【详解】由，知. 所以，，故所求切线是经过点且斜率为的直线，即. 故答案为：. 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】构造函数，证明其为奇函数且单调递增，再对不等式变形为，即，则得到，再利用导数即可得到值. 【详解】令，其定义域为为， 则，则为奇函数， 且， 因为和在上均单调递增，且恒成立， 则在上单调递增， 由得， 即，则. 令，则，当时，单调递减，当时，单调递增， 故时取最小值0， 故不等式的解为. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造，再利用其单调性和奇偶性得到不等式，最后利用导数即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，已知． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：由题意知，， 两边同除以，得， ， ，则， 根据等比数列的定义知，是首项为3，公比为3的等比数列， ，； （2） 【解析】 【分析】（1）等式两边同除以，根据等比数列的定义可得答案； （2）利用错位相减求和可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ，① ，② ①②，得 ， ． 16. 某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为，乙产品的优质品率为． （1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率； （2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）， 的分布列为 1 2 3 4 【解析】 【分析】(1)根据分层抽样方法可知，甲产品具有件，乙产品具有件，从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，可得抽取的方法种类为，至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为，求出概率； (2)由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有件优质品，有件不是优质品，乙产品中有件优质品，有件不是优质品，则的所有可能取值为,求出概率，写出分布列，计算期望. 【小问1详解】 由分层随机抽样方法知，抽取的容量为10的样本中，甲产品有件，乙产品有件， 从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为，其中至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为， 至少抽到2件乙产品的概率为． 【小问2详解】 由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有件优质品，有件不是优质品，乙产品中有件优质品，有件不是优质品，则的所有可能取值为1，2，3，4． ，， ，， 的分布列为 1 2 3 4 ． 17. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，求的周长l的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角化简求解即得；（2）由正弦定理，根据边及角得， 再将周长化边为角，结合辅助角公式求解范围可得. 【小问1详解】 由正弦定理，得， ∵，， ∴，即， 又∵，则， ，则； 【小问2详解】 由（1）及正弦定理可知，， ， ， ∴， 又，，∴， ∴， ∴，即， ∴的周长l的取值范围为． 18. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2） ∵， ∴时，，时，， ∴ ∴成立． 【解析】 【分析】（1）已知，求出. （2）先求出，再求出新数列的通项公式，再放缩求和即可. 【小问1详解】 当时，,得， 当时，， 又，两式相减得整理得到，，又∵，∴， ∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴． 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）若方程有两解，求实数的取值范围； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】(1)根据题意可知构造新的函数，则求出的单调区间，确定极值，即可求得实数的取值范围； (2)若对任意的，不等式恒成立，只需要求出最小值大于等于，对 求导可得出单调区间以及极值，在确定即可求得. 【小问1详解】 （1）由，得，即， 令， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，， ， 因为方程有两解，即有两个零点， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 对任意的，不等式恒成立， 在上恒成立， 令，则， 令，则， 在上为增函数， 又， ，使得，即， 时，在上单调递减， 时，在上单调递增， ， 由，可得， 令，则， 又在上单调递增， ， ， . 综上所述，满足条件的实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：是构造新的函数，在对新的函数求导确定函数单调性以及极值点也是最值点，把已知条件变形代入即可得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三开学考数学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 在等比数列中，已知，，则（ ） A. B. 27 C. D. 64 2. 设是可导函数，且，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知由小到大排列的5个样本数据的极差是15，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 若圆被直线平分，则（ ） A. -2 B. C. D. 5. 下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列前项和为，则（ ） A. 44 B. 48 C. 52 D. 56 7. 双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是函数的零点，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若随机变量且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为18 D. 10. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______. 13. 曲线在点处的切线方程为______. 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，已知． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为，乙产品的优质品率为． （1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率； （2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为，求的分布列和数学期望． 17. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，求的周长l的取值范围． 18. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 19. 已知函数. （1）若方程有两解，求实数的取值范围； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $