15.3.1 等腰三角形（第2课时） 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦等腰三角形的判定方法（定义判定、“等角对等边”定理）及尺规作图，通过复习等腰三角形性质逆向设问，构建“性质→判定”的知识支架，衔接前后知识点。 此资料亮点在于用三种辅助线（顶角平分线、底边上的高、底边上的中线）证明判定定理，培养推理意识，典例结合平行线与外角平分线训练逻辑思维，尺规作图落实几何直观与空间观念，分层作业兼顾基础与提升，助力学生发展数学思维，为教师提供清晰教学流程。

15.3.1 等腰三角形（第2课时） 教学设计 课题 15.3.1 等腰三角形 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1. 掌握等腰三角形的两种判定方法：定义判定、“等角对等边”判定定理，会规范书写几何语言。 2. 能利用判定定理完成几何证明，会结合平行线、三角形外角等条件推导边与角的相等关系。 3. 掌握已知底边长、底边上的高尺规作等腰三角形的完整步骤，理解作图的依据。 教学重点 等腰三角形的判定定理及其应用。 教学难点 等腰三角形判定定理的证明。 教学方法 讲授法、探究法、合作学习、演示法 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规 课后练习 课本习题15.3第4、5、6题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 1. 复习旧知，回顾性质 教师提问，学生集体作答： ①等腰三角形的定义是什么？——有两边相等的三角形是等腰三角形。 ②等腰三角形有哪些性质？——等边对等角；三线合一；等腰三角形是轴对称图形。 2. 逆向设问，引入课题 教师设问：已知两边相等可以推出两角相等；反过来，如果一个三角形的两个角相等，那么它所对的两条边是否相等？由此引出等腰三角形的判定，揭示课题。 复习等腰三角形的定义与性质，思考其逆命题是否成立。 复习上节课的等腰三角形定义与性质，利用互逆问题制造探究冲突，自然导入判定定理的学习。 二、新知探究 探究1 判定 探究1：等腰三角形的判定 （一）定义判定 教师讲解：等腰三角形的定义本身就是第一种判定方法——有两边相等的三角形是等腰三角形。 几何语言：在△ABC中，，∴△ABC是等腰三角形。 教师过渡：本节课重点学习由角推边的全新判定方法。 （二）证明“等角对等边” 出示命题：已知在△ABC中，，求证：。 小组讨论：可以作哪些辅助线构造全等三角形来证明？学生提出三种辅助线：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线。 回顾定义判定，自主提出三种构造全等证明的辅助线方案。 先梳理基础的定义判定，区分新旧判定方式，搭建知识过渡桥梁。 二、新知探究 三种证明方法 方法1：作顶角的平分线（AAS证明） 过点A作AD平分∠BAC交BC于D，则∠BAD=∠CAD。在△ABD与△ACD中，∠BAD=∠CAD、∠B=∠C、AD=AD（AAS），。得AB=AC。 方法2：作底边上的高（AAS证明） 作底边BC上的高AD，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD与△ACD中，∠B=∠C、∠ADB=∠ADC、AD=AD（AAS），。得AB=AC。 方法3：作底边的中线（两步AAS证明） 作底边BC的中线AD，则BD=CD。过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。由∠B=∠C及“等角对等边”的对称性，先证△BDE≌△CDF（AAS，需结合∠B=∠C、∠BED=∠CFD=90°、BD=CD）， ，得DE=DF；再由△ADE≌△ADF（HL，AD=AD、DE=DF），得AE=AF。于是AB=AE+BE=AF+CF=AC。 （三）归纳判定定理 文字叙述：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。 几何语言：在△ABC中，，。 （四）两条关键易错提醒 ①在证明三角形是等腰三角形之前，不能使用“底角、腰”等名称来描述相关角或边； ②“等角对等边”定理仅适用于同一个三角形。 跟随教师用三种辅助线分别完成AAS、HL等全等证明，归纳判定定理并记下几何语言。 通过三种辅助线完整证明判定定理，多角度训练全等书写；明确定理的使用限制，攻克本节课的核心难点。 三、典例精讲 （例2） 【典例精讲】 例2（教材P80）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 已知：如图，∠CAF是△ABC的一个外角，AD平分∠CAF，且AD∥BC。求证：AB=AC。 【答案】 证明：∵AD平分∠CAF（已知），∴∠1=∠2； ∵AD∥BC（已知），∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）； ∴∠B=∠C（等量代换），∴AB=AC（等角对等边）。 【讲评要点】 本题综合运用平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定定理；关键在于将“角的相等”转化为“边的相等”，训练多步逻辑推理，渗透转化的思想方法。 【追问】 如果把“外角的平分线AD∥BC”中的某个条件削弱或改变，结论还会成立吗？请同学们课后尝试变换条件进行探究。 独立尝试梳理推理链条，参与证明，归纳“由角推边”的判定方法。 综合平行线性质、角平分线定义和等腰三角形判定定理，训练多步逻辑推理能力，落实判定的综合应用。 四、新知探究 探究2 尺规作图 探究2：尺规作等腰三角形 例3（教材P81）已知线段a、h，求作等腰三角形ABC，使AB=AC，且BC=a，底边BC上的高AD=h。 （一）思路分析 依托等腰三角形“三线合一”的性质：底边上的高也是底边的垂直平分线。因此可先作出底边BC，作出BC的垂直平分线，再在垂直平分线上截取高h，即可确定顶点A。 （二）作图步骤 ①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线MN，垂足为D；③在MN上截取线段DA=h；④连接AB、AC，则△ABC即为所求作的三角形。 （三）说理 由作图可知直线MN垂直平分BC，所以点A在BC的垂直平分线上，故AB=AC（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；又BD=DC，AD⊥BC，符合“三线合一”的特征。故△ABC是满足条件的等腰三角形。 跟随教师的黑板示范同步作底边、垂直平分线并截取高，理解作图依据。 融合上一节线段垂直平分线的作图知识，运用等腰三角形的轴对称特征，规范完整的尺规作图流程。 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 等腰三角形的两种判定：定义判定（两边相等）、“等角对等边”（两角相等）； 2. 判定与性质的区别：等边对等角（由边推角）、等角对等边（由角推边）； 3. 尺规作图：已知底边、底边上的高作等腰三角形，依据是三线合一和垂直平分线的性质。 回顾判定方法与性质的区别，梳理三类知识的逻辑关系。 梳理判定与性质的互逆关系，帮助学生建立完整的知识体系。 六、作业布置 必做： 课本习题15.3第4、5题；配套练习中有关等腰三角形判定的证明题。 选做： 课本习题15.3第6题及一道用“等角对等边”配合平行线条件的综合证明题。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固基础，选做题拓展提升。 板书设计 15.3.1 等腰三角形（第2课时） 一、等腰三角形的判定 1. 定义判定：AB=AC 2. 等角对等边 在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC （角→边） 二、判定与性质对比 等边对等角（边→角） 等角对等边（角→边） 三、尺规作等腰三角形 ①作底边BC=a ②作BC垂直平分线MN ③截取高DA=h ④连接AB、AC 依据：三线合一、垂直平分线性质 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $