第二章 一元二次方程 单元练习 2026-2027学年 北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级上册一元二次方程基础单元卷，覆盖概念、解法、根与系数关系、应用四大模块，通过选择与解答题结合，强化基础巩固与实际问题解决，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|20题|方程定义、解法（配方法/因式分解）、根与系数关系|考概念辨析（如1.1方程分类）、运算能力（如2.1配方法），体现抽象能力与推理意识| |解答|2题|实际应用（病毒传播、商品利润）|结合生活情境（如4.5病毒传播），构建方程模型，培养模型意识与应用意识|

北师大版（新课标）九年级上册同步练习（基础） 第2章 一元二次方程 练习一．一元二次方程的概念 1.1.下列方程中，一元二次方程共有（　　）个． ①x﹣2x﹣1＝0；②ax＋bx＋c＝0；③；④﹣x＝0；⑤（x﹣1）＋y＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x A．1 B．2 C．3 D．4 〖答案〗B 解析： ②a可能为0，错误。 ③x在分母的位置，x是-2次方，错误。 ⑤有x，y两个未知数，属于二元二次方程，错误。 ⑥化简后为-4x+3=0，属于一元一次方程，错误。 综上所述，①④正确，选B。 1.2.方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 〖答案〗B 解析： 已知方程是关于x，y的二元一次方程，所以x，y的最高次方为1，且x，y的一次项系数不为零。 则m-4=0，且m-2≠0，得m=-2，选B。 1.3.已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．2x+1＝0 B．x+2＝0 C．2x+5x＝1 D．2x+1＝0 〖答案〗D 解析： 二次项系数指的是x前面的常数，常数项指的是没有未知数x的项，包括前面的符号。 A选项没有二次项，错误。 B选项的二次项系数是1，常数项是2，错误。 C选项的常数项是-1，错误。 综上所述，选D。 1.4.将一元二次方程2x＝4x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，4 B．2，1 C．2x，﹣4x D．2，﹣4 〖答案〗D 解析： 一元二次方程2x＝4x﹣1化成一般式后变成2x-4x+1=0， 二次项系数是2，一次项系数是-4，选D 1.5.若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A． B． C． D． 〖答案〗A 解析： 已知方程是关于x的一元二次方程，所以x的最高次方为2，且x的二次项系数不为零。 则m-2=2，且m-2≠0，得m=-2，选A。 练习二．解一元二次方程 2.1.用配方法解方程x＋4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x＋4）＝5 B．（x＋2）＝5 C．（x＋4）＝3 D．（x＋2）＝3 〖答案〗D 解析： 已知x＋4x+1=0 用配方法化成：（x＋4x+4）+1-4=0 解得：（x＋2）＝3，选D。 2.2.已知x＝-2是一元二次方程x-bx+2b＝0的解，则b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 〖答案〗B 解析： 已知x＝-2是一元二次方程x-bx+2b＝0的解，将x＝-2代入到x-bx+2b＝0中， 得：4+2b+2b=0，b=-1，选B。 2.3.方程x﹣x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1 〖答案〗D 解析： 已知x﹣x＝0 提公因式：x（x-1）=0 得：x=0或x-1=0 所以x1＝0，x2＝1，选D。 2.4.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．2或5 〖答案〗B 解析： 已知一元二次方程，用十字相乘法化简得：（x-2）（x-5）=0 解得x1＝2，x2＝5。 所以等腰三角形的两边长分别2和5，但不确定等腰三角形的底边长具体是2还是5，需要分两种情况讨论： ①三边长分别为2,2,5，不满足两边之和大于第三边，舍去。 ②三边长分别为2,5,5，三角形周长为12。 综上所述，选B。 2.5.解方程： （1）x﹣2x﹣3＝0 （2）3x（2x﹣1）＝1﹣2x 〖答案〗（1）x1＝3，x2＝-1；（2）x1＝，x2＝- 解析： （1）原式：x﹣2x﹣3＝0 化简：（x-3）（x+1）=0 解得：x1＝3，x2＝-1 （2）原式：3x（2x﹣1）＝1﹣2x 化简：6x-x-1=0 十字相乘：（2x-1）（3x+1）=0 解得：x1＝，x2＝- 练习三．一元二次方程根与系数的关系 3.1.已知m，n是方程x10x＋1＝0的两根，则代数式m8m＋2n的值等于（　　） A．2 B．21 C．19 D．-21 〖答案〗C 解析： 已知m，n是方程x10x＋1＝0的两根，所以m+n=x1+x2=-=10 将m代入x10x＋1＝0得：m10m＋1＝0，m10m=-1 则m8m＋2n=m10m+2m+2n=（m10m）+2（m+n）=-1+2×（10）=19 综上所述，选C。 3.2.已知关于x的一元二次方程 x﹣（2m﹣1）x+m＝0 有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m0 B．m C．m< D．m≥ 〖答案〗B 解析： 已知关于x的一元二次方程 x﹣（2m﹣1）x+m＝0 有实数根，说明∆≥0. ∆=b-4ac=［﹣（2m﹣1）］-4×1×m=4m-4m+1-4m=-4m+1≥0 化简不等式得：m，选B。 3.3.下列方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D．x4x＋1=0 〖答案〗B 解析： 方程没有实数根，说明∆<0. A选项，∆=（-7）-4×1×（-18）=49+72=119>0 B选项，∆=（-2）-4×1×3=4-12=-8<0 C选项，∆=（-2）-4×1×（-12）=4+48=52>0 D选项，∆=（-4）-4×1×1=16-4=8>0 综上所述，选B。 3.4.若、是一元二次方程的两根，则与+的值分别是（　　） A．3，-5 B．-3，-5 C．5，-3 D．-5,-3 〖答案〗D 解析： 因为、是一元二次方程的两根，根据韦达定理可得： ==-5 x1+x2=-=-3 综上所述，选D。 3.5.已知m是方程x﹣3x+2＝0的一个根，则2023﹣m+3m的值为（　　） A．2023 B．2022 C．2024 D．2025 〖答案〗D 解析： 已知m是方程x﹣3x+2＝0的一个根，将m代入x﹣3x+2＝0得：m﹣3m+2＝0， 所以m﹣3m=-2 2023﹣m+3m=2023﹣（m-3m）=2023﹣（-2）=2025 综上所述，选D。 练习四．一元二次方程的应用 4.1.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由600元降为320元，已知两次降价的百分比率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(　　) A．600（1﹣x）＝320 B．600（1+x）＝320 C．600（1﹣2x）＝320 D．600（1﹣x）＝320 〖答案〗D 解析： 设每次降价的百分率为x，降价n次 现价=原价×（1-x） 代入得：320=600（1-x），选D。 4.2.我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是长方形的面积为864m，宽比长少12m，若设长为x m，则可列方程 ．（不必化简） 〖答案〗864=x（x-12） 解析： 设长为x m，宽为（x-12）m 长方形面积=长×宽 代入得：864=x（x-12） 4.3.有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（　　） A． B． C． D． 〖答案〗A 解析： 设切去的正方形的边长为，则底面的长为（50-2x），宽为（30-2x）， 底面积=（50-2x）（30-2x）=800，选A。 4.4.如图，在长为，宽为60m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是4500m，则小路的宽是（　　） A． B．75m C．或75m D． 〖答案〗A 解析： 将竖向的两条小路平移到最右边，将横向的两条小路平移到最下面，空白部分就成了一个长为（100-2x），宽为（60-2x）的矩形，列出方程：（100-2x）（60-2x）=4500 解得：x1＝5，x2＝75（舍去）（矩形的长宽都是正数） 综上所述，选A。 4.5.某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有 81 个人被感染． （1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过 750 人？ 〖答案〗（1）8；（2）不会 解析： （1）解：设每轮感染中平均一个人会感染x个人，一轮后有x+1个人被感染， 第二轮新被感染x（x+1）个人，一共有x+1+x（x+1）个人被感染。 所以：x+1+x（x+1）=81，化简得：（x+1）=81 解得：x=8 答：设每轮感染中平均一个人会感染8个人 （2）由（1）可得：第三轮有（x+1）个人被感染， （x+1）=（8+1）=729<750 答：被感染的人不会超过 750 人. 4.6.某商品现在的售价为每件49元，每周可卖出350件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件30元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 〖答案〗46 解析： 解：设将销售单价定为x元，降价（49-x）元，每星期可多卖出10（49-x）件，每件获利（x-30）元。 利润=每件获利×卖出的数量 6080=（x-30）×［10（49-x）+350］ 化简得：6080=（x-30）（840-10x） 解得：x1＝46，x2＝68（舍去）（在顾客得实惠的前提下） 答：应将销售单价定为46元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版（新课标）九年级上册同步练习（基础） 第2章 一元二次方程 练习一．一元二次方程的概念 1.1.下列方程中，一元二次方程共有（　　）个． ①x﹣2x﹣1＝0；②ax＋bx＋c＝0；③；④﹣x＝0；⑤（x﹣1）＋y＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x A．1 B．2 C．3 D．4 1.2.方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 1.3.已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（　　） A．2x+1＝0 B．x+2＝0 C．2x+5x＝1 D．2x+1＝0 1.4.将一元二次方程2x＝4x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，4 B．2，1 C．2x，﹣4x D．2，﹣4 1.5.若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A． B． C． D． 练习二．解一元二次方程 2.1.用配方法解方程x＋4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x＋4）＝5 B．（x＋2）＝5 C．（x＋4）＝3 D．（x＋2）＝3 2.2.已知x＝-2是一元二次方程x-bx+2b＝0的解，则b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 2.3.方程x﹣x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1 2.4.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．2或5 2.5.解方程： （1）x﹣2x﹣3＝0 （2）3x（2x﹣1）＝1﹣2x 练习三．一元二次方程根与系数的关系 3.1.已知m，n是方程x10x＋1＝0的两根，则代数式m8m＋2n的值等于（　　） A．2 B．21 C．19 D．-21 3.2.已知关于x的一元二次方程 x﹣（2m﹣1）x+m＝0 有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m0 B．m C．m< D．m≥ 3.3.下列方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D．x4x＋1=0 3.4.若、是一元二次方程的两根，则与+的值分别是（　　） A．3，-5 B．-3，-5 C．5，-3 D．-5,-3 3.5.已知m是方程x﹣3x+2＝0的一个根，则2023﹣m+3m的值为（　　） A．2023 B．2022 C．2024 D．2025 练习四．一元二次方程的应用 4.1.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由600元降为320元，已知两次降价的百分比率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(　　) A．600（1﹣x）＝320 B．600（1+x）＝320 C．600（1﹣2x）＝320 D．600（1﹣x）＝320 4.2.我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是长方形的面积为864m，宽比长少12m，若设长为x m，则可列方程 ．（不必化简） 4.3.有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（　　） A． B． C． D． 4.4.如图，在长为，宽为60m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是4500m，则小路的宽是（　　） A． B．75m C．或75m D． 4.5.某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有 81 个人被感染． （1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？ （2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过 750 人？ 4.6.某商品现在的售价为每件49元，每周可卖出350件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件30元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $