精品解析：广东省上进联考2026-2027学年高三上学期9月供题训练数学试题

高三年级9月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，能被整除”的否定是（ ） A. ，不能被整除 B. ，能被整除 C. ，不能被整除 D. ，不能被整除 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，能被整除”的否定是： “，不能被整除”． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 3. 已知为纯虚数，且的实部为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设且， 则， 所以，解得 ， 则． 4. 函数的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 所以函数的图象在处的切线方程为， 即． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以． 6. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：B. 7. 若对任意，恒成立，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】将齐次不等式换元为单变量函数，求函数最大值后得到参数约束关系，进而确定的最值. 【详解】由题意知，原不等式对任意恒成立，变形得： 由于右侧为一次齐次式，令，则， 代入右侧得： 要使不等式恒成立，需， 对求导得： 令，解得正根（负根舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， 因此，解得，即的最大值为. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，进而得到，，再根据，可得，然后可得，结合数量积的定义计算即可． 【详解】因为， 设 ，且，解得， 所以，因为， 所以， 所以 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的两个焦点分别为，，则（ ） A. B. ，在轴上 C. 的离心率为 D. 直线与没有公共点 【答案】ACD 【解析】 【详解】双曲线中，故A正确； 在轴上，故B错误； 离心率，故C正确； 是的渐近线，与没有公共点,故D正确． 10. 已知集合，则（ ） A. 满足的有个 B. 集合中有个元素 C. 当时， D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，易知或；对于B，由题可得该集合中的元素有共5个，对于C，可求得，再根据交集计算即可；对于D，根据交集的结果可得，然后判断条件即可． 【详解】或有2个，故A错误； 该集合中的元素有共5个，故B正确; 因为，即， 所以，故C正确； 当时， 或或或或， 解得， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 11. 某校有甲、乙两个数学社团，甲社团有名高一学生、名高二学生，乙社团有名高一学生、名高二学生，某次甲社团举行活动，乙社团随机派人参加甲社团的活动，现从参加活动的人中随机抽取人主持活动，记事件为乙社团选派的人中高一学生人数有个，事件为从名学生中随机抽取的人为高一学生，则（ ） A. B. C. 与不相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用全概率公式判断A；利用条件概率公式化简判断B；利用独立事件的概率公式判断C；利用全概率公式计算得，再化简即可判断D. 【详解】由题意得，， ， 则 ，故A错误； ，故B正确； 因为互斥，所以 ， ， 则，故与不相互独立，故C正确； 因为， 所以，则，故， 因为，所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知甲、乙两组变量的相关系数分别为，，若乙组变量的相关性比甲组变量的相关性强，则的一个值可以为____________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【详解】相关系数的取值范围为，且越接近，变量的线性相关性越强， 甲的相关系数为，乙的相关系数为，则且，解得， 且乙组变量的相关性比甲组变量的相关性强，所以, 由于，可得，且，因此不等式可化简为： 得， 综上的取值范围为，任取区间内任意值均符合要求，比如取. 13. 已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，则周长的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】识别出点A为椭圆右焦点，利用椭圆定义将 转化为 ，由三角形不等式得 ，取等时 共线，结合固定边 得周长最大值. 【详解】由椭圆方程 ，知 ，故 . 焦点为、，可见点 恰为右焦点 . 设  为椭圆上一点，则椭圆定义有， 而 ​，所以. 由三角形不等式，对任意点 ，有， 其中 ，，故. 因此， 等号当且仅当 三点共线且 位于 与 之间时取得， 所以的周长且最大值能达到. 则周长的最大值为. 14. 在正方体中，，点是该正方体棱上一点，且满足，记符合条件的点的个数为，则____________；在所有符合条件的点中任选不共面的点，则由这个点所确定球的表面积的取值集合为____________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】①按棱逐类讨论，利用对称性及展开图判断，满足条件的点仅在六条棱上，故 ； ②六个点共球，球心为 的中点，任取不共面四点确定的球均唯一，表面积取值集合为单元素集. 【详解】①当点 在棱 上时，设 ， 则 ，解得 . 同理可得在棱都存在符合条件的点 ， 由对称性，在棱 上也都存在符合条件的点 . 当点  在 上时，将平面 沿 翻折至与平面 共面， ​， 所以棱 上不存在符合条件的点 ， 同理棱 上都不存在符合条件的点 ，所以 . ②如图，记这 6 个点分别为 ，连接 ，取 的中点 ， 则 到点 的距离相等，符合条件的球只有一个球 ， 球 的半径 ​​，所以球  的表面积为 . 因此由这个点所确定球的表面积的取值集合为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线经过点． （1）求的方程； （2）若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴． 【答案】（1） （2）证明：由已知及(1)知，直线轴,所以， 设，由共线得，所以， 所以直线的斜率为，即直线 轴． 【解析】 【小问1详解】 因为经过点,所以， 解得,故的方程为． 【小问2详解】 略 16. 具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新质生产力发展的重要驱动力．已知2018~2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如下表（数据经过加工处理）． 年份 年 年 年 年 年 年 年 年 机器人市场规模 自动驾驶市场规模 （1）求2018~2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的分位数； （2）从2018~2025年中任取个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份个数为，求的分布列与期望． 【答案】（1）中位数为；分位数是 （2）的分布列为 ． 【解析】 【小问1详解】 这两组数据都是按照从小到大排列的， 可得年中国机器人市场规模的中位数为， 因为，所以自动驾驶市场规模的分位数是第个数； 【小问2详解】 年中自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份如下， 有年、年、年、年共个年份， 所以的可能取值分别为， ， ， 所以的分布列为 ． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． （1）证明：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， 由三棱锥是正三棱锥，可得， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为在平行四边形中， 所以． （2）或 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高， 以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴， 直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的正三角形，所以， 设，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或， 所以或． 18. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求数列的最大值； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，进而化为即可证明； （2）由（1）可得， ，然后作差得到数列的单调性，结合单调性得到最值即可． （3）由题可得，再裂项相消求和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)得，， 所以， 则， 所以当时，，当时，， 当时，． 所以， 所以数列的最大值为； 【小问3详解】 因为， 所以 ， 所以 ． 19. 已知函数的定义域为，导函数为，定义集合． （1）若为偶函数，证明：； （2）若，，，且，求的取值范围（结果用表示）； （3）若（，且，为正奇数），且对任意，，当时，有，求的取值范围（结果用表示）． 【答案】（1）因为定义域为的为偶函数，所以， 两边求导得，所以， 所以 （2）； （3）（为正奇数）． 【解析】 【分析】（1）求导后再根据补集的含义即可证明； （2）求导后再结合函数奇偶性和周期性即可得到的取值范围； （3）分析得，再分别讨论和的情况，再设，对进行分类讨论即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由, 得, 是偶函数，且是周期为2的周期函数，且时，， 因为， 所以由函数的单调性及对称性可得的取值范围是． 【小问3详解】 对任意，当时，有， 即时，， 所以在任一区间上都不单调递减， 设，则． 因为， 所以， 所以, 当时，恒有， 当时，由得，即， 即， 设， 则当时，，不满足题意， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，又， 所以， 所以的取值范围是（为正奇数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级9月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，能被整除”的否定是（ ） A. ，不能被整除 B. ，能被整除 C. ，不能被整除 D. ，不能被整除 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知为纯虚数，且的实部为，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意，恒成立，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的两个焦点分别为，，则（ ） A. B. ，在轴上 C. 的离心率为 D. 直线与没有公共点 10. 已知集合，则（ ） A. 满足的有个 B. 集合中有个元素 C. 当时， D. “”是“”的必要不充分条件 11. 某校有甲、乙两个数学社团，甲社团有名高一学生、名高二学生，乙社团有名高一学生、名高二学生，某次甲社团举行活动，乙社团随机派人参加甲社团的活动，现从参加活动的人中随机抽取人主持活动，记事件为乙社团选派的人中高一学生人数有个，事件为从名学生中随机抽取的人为高一学生，则（ ） A. B. C. 与不相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知甲、乙两组变量的相关系数分别为，，若乙组变量的相关性比甲组变量的相关性强，则的一个值可以为____________． 13. 已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，则周长的最大值为____________． 14. 在正方体中，，点是该正方体棱上一点，且满足，记符合条件的点的个数为，则____________；在所有符合条件的点中任选不共面的点，则由这个点所确定球的表面积的取值集合为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线经过点． （1）求的方程； （2）若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴． 16. 具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新质生产力发展的重要驱动力．已知2018~2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如下表（数据经过加工处理）． 年份 年 年 年 年 年 年 年 年 机器人市场规模 自动驾驶市场规模 （1）求2018~2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的分位数； （2）从2018~2025年中任取个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份个数为，求的分布列与期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． （1）证明：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 18. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求数列的最大值； （3）设，求数列的前项和． 19. 已知函数的定义域为，导函数为，定义集合． （1）若为偶函数，证明：； （2）若，，，且，求的取值范围（结果用表示）； （3）若（，且，为正奇数），且对任意，，当时，有，求的取值范围（结果用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $