专题2.6 一元二次方程 专项训练 -2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 覆盖12大题型72题，构建“解法-应用-拓展”三阶训练体系，融合几何直观与代数推理，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|4题型/24题|直接开方、配方、公式、因式分解四法系统训练，含赵爽几何拼图验证|从直接运算到代数变形，构建解法选择逻辑| |解法深化|4题型/24题|错解纠正（符号、漏根）、换元降次、整体代换，强化推理严谨性|从正向求解到逆向纠错，提升运算准确性| |综合拓展|4题型/24题|根与系数关系应用、构造方程、新定义运算，渗透转化思想|从知识应用到创新迁移，培养数学思维与表达|

专题2.6 一元二次方程72道计算题专项训练（12大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 一元二次方程错解纠正计算 题型七 由一元二次方程的解求代数式值 题型八 配方法的应用 题型九 换元法解一元二次方程 题型十 一元二次方程根与系数的关系计算 题型十一 构造一元二次方程的计算题 题型十二 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·浙江温州·月考）计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 3．（24-25九年级上·全国·单元练习）解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·单元练习）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 6．（25-26九年级上·山东淄博·单元练习）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）解方程：． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 3．（23-24九年级上·河北邢台·单元练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 5．（25-26九年级上·江苏南京·单元练习）解下列方程： (1)； (2)． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·吉林长春·月考）解方程： (1)； (2)． 4．（2023九年级上 四川宜宾·阶段测试）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·单元练习）若代数式与的值互为相反数，求的值． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·单元练习）解方程： (1)； (2)． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河北·阶段检测）解方程． (1) (2) (3)； (4) 2．（26-27九年级上·云南昆明·月考）解方程： (1) (2) 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 4．（25-26九年级上·浙江台州·单元练习）小李解方程的过程如下： 解：方程的两边同除以，得，解得． 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程． 5．（25-26九年级上·浙江台州·单元练习）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照你发现的规律，写出第5个等式： ． (2)若为正整数，，求的值． 6．（25-26九年级上·浙江台州·单元练习）某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·单元练习）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 5．（26-27九年级上·上海）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【经典计算题六 一元二次方程错解纠正计算】 1．（23-24九年级上·山西运城·阶段检测）（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚． (1)她把“□”猜成4，请你解方程； (2)她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是．”通过计算说明原题中“□”是几； (3)若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和． 4．（23-24九年级上·北京房山·期中）阅读材料，并回答问题： 下面是小明解方程的过程： 解：移项，得 ．    ① 配方，得 ，② ．    ③ 由此可得 ，    ④ ，．⑤ (1)小明解方程的方法是__________； A．直接开平方法    B．配方法    C．公式法    D．因式分解法 (2)上述解答过程中，从第______步（填序号）开始出现了错误，原因是______； (3)请你写出正确的解答过程． 5．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）用配方法解一元二次方程，请结合题意填空，完成本题的解答． 解：方程变形为     第一步 配方，得                   第二步 移项，得                      第三步 两边开平方，得                第四步 或               第五步 所以，              第六步 (1)上述解法错在第___________步． (2)请你用配方法求出该方程的解． 6．（25-26九年级上·山东烟台·单元练习）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【经典计算题七 由一元二次方程的解求代数式值】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 4．（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知是方程的一个根，求的值． 6．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【经典计算题八 配方法的应用】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 2．（25-26九年级上·江西抚州·单元练习）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 3．（25-26九年级上·江西）已知，，请比较和的大小． 4．（23-24九年级上·福建三明·期中）我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    5．（25-26九年级上·浙江宁波·单元练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 6．（23-24九年级上·河南开封·阶段检测）用配方法求解下列问题． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 【经典计算题九 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·广东惠州·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 2．（25-26九年级上·北京·单元练习）解方程： (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·河南信阳·月考）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 4．（23-24九年级上·北京顺义·阶段检测）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 【经典计算题十 一元二次方程根与系数的关系计算】 1．（25-26九年级上·福建福州·单元练习）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 2．（25-26九年级上·安徽蚌埠·单元练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 3．（23-24九年级上·青海西宁·月考）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 5．（25-26九年级上·山东济南·月考）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 6．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【经典计算题十一 构造一元二次方程的计算题】 1．（26-27九年级上·江苏）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 2．（24-25九年级上·宁夏石嘴山·期中）已知、、是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状． 3．（2023九年级上·湖北黄冈·阶段测试）已知实数a、b、c满足，，求a、b、c的值． 4．（2023九年级上·湖南怀化·阶段测试）实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，求所有满足条件的数组． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知a，b是一元二次方程的两根，求代数式的值． 6．（23-24九年级上·北京·阶段检测）方程的两个根是、，且，求的值． 【经典计算题十二 一元二次方程的新定义运算】 1．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·单元练习）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 5．（25-26九年级上·山东烟台·单元练习）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是 ． (2)证明：关于的代数式没有不动值； (3)已知关于的代数式（）． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 一元二次方程72道计算题专项训练（12大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 一元二次方程错解纠正计算 题型七 由一元二次方程的解求代数式值 题型八 配方法的应用 题型九 换元法解一元二次方程 题型十 一元二次方程根与系数的关系计算 题型十一 构造一元二次方程的计算题 题型十二 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·浙江温州·月考）计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1)6 (2)， 【分析】（1）先化简原式中的、，再根据平方差公式计算即可得答案. （2）把题目原方程常数项移项到右边，再利用直接开方法开方后得两个一元一次方程，分别解出即可得答案. 【详解】（1） （2） 移项得： 开平方得： ∴或 ∴， 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． （1）先移项，然后直接开平方得，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 3．（24-25九年级上·全国·单元练习）解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择方法是解题的关键． （1）整理后，运用直接开平方法求解即可； （2）整理后，运用直接开平方法求解即可； （3）运用直接开平方法求解即可； （4）整理后，运用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：， ∴， ∴或， 解得，； （4）解：， ∴， ∴或， 解得，． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·单元练习）三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 【答案】(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 6．（25-26九年级上·山东淄博·单元练习）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 3．（23-24九年级上·河北邢台·单元练习）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 5．（25-26九年级上·江苏南京·单元练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ，； (2) 原方程无解. 【分析】（1）用配方法变形方程后开方求解； （2）去分母转化为整式方程求解，检验后舍去增根得到结论． 【详解】（1）解：移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． （2）解：， 方程变形为． 两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得． 检验：当时，． 因此是增根． 所以原方程无解． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， ． 【分析】此题主要考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键． （1）利用公式法解方程得出即可； （2）利用公式法解方程得出即可． 【详解】（1）解： ， ， ，． （2）解： ， ， ， ． 3．（23-24九年级上·吉林长春·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程． （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即，， 解得，． （2）解：， ，，， ， ， ， 整理得， 解得，． 4．（2023九年级上 四川宜宾·阶段测试）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 【答案】当时，，原式的值为；当时，，原式的值为 【分析】先对原式因式分解化简，根据二次根式的性质，开方后需要保留绝对值，结合的不同取值去掉绝对值，再解一元二次方程得到的两个根，分别代入化简后的式子计算得到结果 【详解】解： 解一元二次方程得： 当时，，则 ∴ 原式 代入，得： 原式； 当时，，则， 原式 代入，， 原式． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·单元练习）若代数式与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 6．（25-26九年级上·浙江绍兴·单元练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：， 直接开平方：， 移项：， ∴． （2）解：， ， ， ， ， ∴． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·河北·阶段检测）解方程． (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴ ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 2．（26-27九年级上·云南昆明·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 4．（25-26九年级上·浙江台州·单元练习）小李解方程的过程如下： 解：方程的两边同除以，得，解得． 老师觉得小李的解法存在问题，请你分析问题所在，并写出正确的解答过程． 【答案】两边同除以时，未考虑到可能为． 正确解答：， 移项，得， 提取公因式，得，即， 或， 解得，． 【详解】略 5．（25-26九年级上·浙江台州·单元练习）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照你发现的规律，写出第5个等式： ． (2)若为正整数，，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据题干规律即可解答； （2）根据题干规律，列方程即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得第n个等式为， 所以第5个等式：； （2）解：， ， 解得或（舍去）． 6．（25-26九年级上·浙江台州·单元练习）某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)第②步 (2)或 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【详解】（1）第②步 （2）解：， ， 或． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 1．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程变形为再求解即可； （2）先将方程变形为，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ， 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，， ， 则， ∴，； （3）解： ​​​或 ∴，． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·单元练习）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 5．（26-27九年级上·上海）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 【经典计算题六 一元二次方程错解纠正计算】 1．（23-24九年级上·山西运城·阶段检测）（1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，，    第一步 ∴，    第二步 ∴，        第三步 ∴，．    第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 【答案】（1），； （2）①一，原方程没有化成一般形式； ②∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【分析】（1）移项，再直接开平方即可； （2）①要在一元二次方程的一般形式下确定a，b，c的值时，由此可确定第一步是错的；②根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得：， 开方，得：， ∴，； （2）①根据解题步骤可知第一步是错的，原因是原方程没有化成一般形式． 故答案为：一，原方程没有化成一般形式； ②略 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程是解题关键． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“□”印刷不清楚． (1)她把“□”猜成4，请你解方程； (2)她妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是．”通过计算说明原题中“□”是几； (3)若此方程两个实根都是整数，直接写出“□”中所有可能的正数之和． 【答案】(1) (2)5 (3)40 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，即可． （1）利用完全平方公式将变形为：，再开方解出，即可； （2）设一次项系数“□”为，把代入，解出，即可； （3）设一次项系数“□”为，先利用一元二次方程根的判别式求出的求值范围，令（p，q为整数），则，解出，根据此方程两个实根都是整数，求出的所有值，将的所有值中，正数求和即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，； （2）解：设一次项系数“□”为，把代入， 则， 解得：； （3）解：设一次项系数“□”为，则， 根据题意：，即恒成立， 解得：为任何实数； 令（p，q为整数），则， ， 解得：，； 方程两个实根都是整数， 或或或或或或或， 或或或或或或或， 或或或， “□”中所有可能的正数之和为：． 4．（23-24九年级上·北京房山·期中）阅读材料，并回答问题： 下面是小明解方程的过程： 解：移项，得 ．    ① 配方，得 ，② ．    ③ 由此可得 ，    ④ ，．⑤ (1)小明解方程的方法是__________； A．直接开平方法    B．配方法    C．公式法    D．因式分解法 (2)上述解答过程中，从第______步（填序号）开始出现了错误，原因是______； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)B； (2)②，配方时方程右边漏加4； (3)． 【分析】（1）根据解方程的方法特点去判断． （2）仔细观察解题的过程，判断即可． （3）按照配方法解方程的基本要求，求解即可． 【详解】（1）小明的解题方法是配方法， 故选B． （2）从解题过程中，发现从②开始出现错误，方程的右边漏加4， 故答案为：②，配方时方程右边漏加4． （3）因为， 移项，得 ． 配方，得， ． 由此可得， ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本要领是解题的关键． 5．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）用配方法解一元二次方程，请结合题意填空，完成本题的解答． 解：方程变形为     第一步 配方，得                   第二步 移项，得                      第三步 两边开平方，得                第四步 或               第五步 所以，              第六步 (1)上述解法错在第___________步． (2)请你用配方法求出该方程的解． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤即可判断； （2）移项后将二次项系数化为1，再配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】（1）解：上述解法错在第一步，应该先二次项系数化为1：， 故答案为：一； （2）解：， ， 则， 即， ， ， 即，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．（25-26九年级上·山东烟台·单元练习）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【经典计算题七 由一元二次方程的解求代数式值】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的一个根是，且，满足，求此一元二次方程． 【答案】 【分析】把代入得出，根据二次根式有意义的条件求出，，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ， 解得：， ∴， ∴， ∴此一元二次方程为． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先求出k的值，再解一元二次方程，将两个解分别代入求出m的值，结合一元二次方程的定义取合适的m的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴， 解得； （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， 方程变形为， 解得：，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∵， ∴， ∴m的值为． 4．（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程的解代入原方程，可得，所求代数式可化简为，再将代入其中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 原式 ． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键． 由题意得，将展开计算化简，再整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 6．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) 等腰三角形，理由： 是一元二次方程的一个根，，，分别为三边的长， ， ， 即是等腰三角形； (2) ， 【分析】（1）将代入方程中可得，结合，，分别为三边的长即可知三角形形状； （2）由等边三角形性质可得，代入方程后求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：是等边三角形， ， 代入方程得， ， 解得，． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 【经典计算题八 配方法的应用】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 2．（25-26九年级上·江西抚州·单元练习）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 3．（25-26九年级上·江西）已知，，请比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，把与代入中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差的正负，即可确定出与的大小．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 即． 4．（23-24九年级上·福建三明·期中）我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    【答案】(1)， (2)长方形的面积存在最大值，最大值为9， 理由如下： 由题意可得长方形的面积为， ， ， 长方形的面积存在最大值，最大值为9． 【分析】本题主要考查配方法的应用． （1）根据题干中所给的配方法可进行求解； （2）由题意可得长方形的面积为，然后根据配方法可进行求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2） 略 5．（25-26九年级上·浙江宁波·单元练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 6．（23-24九年级上·河南开封·阶段检测）用配方法求解下列问题． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：原式 ； ∵， ∴ ∴， ∴代数式的最大值为． 【点睛】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，是解题的关键． 【经典计算题九 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·广东惠州·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【答案】；． 【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变为，即， 解得，． 当时，，即， ， ∴此方程无解； 当时，，即， ∴， ∴；； ∴原方程有两个根：；． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 2．（25-26九年级上·北京·单元练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 3．（23-24九年级上·河南信阳·月考）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 4．（23-24九年级上·北京顺义·阶段检测）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 【答案】(1)2022 (2)， 【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案； （2）根据换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵﹣x﹣1＝0， ∴＝x+1， ∴﹣3x+2020 ＝ ＝﹣x+2021 ＝x+1﹣x+2021 ＝2022． 故答案为：2022； （2）解：设+x＝y，那么，于是原方程可变为， 解得＝﹣2，＝4． 当y＝﹣2时，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程无解； 当y＝4时，+x﹣4＝0， ∴x＝； ∴原方程有两个根：x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 【答案】(1)， (2)当时，，；当时，原方程无实数根． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和配方法是解题的关键． （1）设，则原方程变形，解得，则，或，即可求出方程的解； （2）设，则，，得到，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 设，则， ，或 ， （2）解： 设，则， 当时，， ，或 ，， 当时，原方程无实数根． 【经典计算题十 一元二次方程根与系数的关系计算】 1．（25-26九年级上·福建福州·单元练习）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 2．（25-26九年级上·安徽蚌埠·单元练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 3．（23-24九年级上·青海西宁·月考）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 5．（25-26九年级上·山东济南·月考）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【详解】（1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）略 6．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】（），；（） 【分析】（）利用公式法解答即可； （）由一元二次方程根的定义可得，再化简代数式，最后把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴， ∴， ∴，； （）∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 【经典计算题十一 构造一元二次方程的计算题】 1．（26-27九年级上·江苏）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·宁夏石嘴山·期中）已知、、是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状． 【答案】 这个三角形是等腰三角形．理由： ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴ ∴，即；或即 ∴这个三角形是等腰三角形． 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，由根的情况求得判别式为0，从而求得a、b、c的关系是解题的关键．由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，整理可求得a、b、c的关系，则可判断三角形的形状． 【详解】略 3．（2023九年级上·湖北黄冈·阶段测试）已知实数a、b、c满足，，求a、b、c的值． 【答案】， 【分析】先对进行变形得：①，由已知得：②，将②代入①，整理得③．根据一元二次方程根与系数的关系，由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根，即，整理得到，结合，求出，将代入④得：，解方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴①， 由已知得， ∴②， 将②代入①，整理得③． 由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 即， ∴． 将代入④得：， ∴， 即． ∴，． 4．（2023九年级上·湖南怀化·阶段测试）实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，求所有满足条件的数组． 【答案】或（为任意实数） 【分析】先根据根与系数的关系列出关于a，b，c，d的方程组，再通过消元、分情况讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 当时，则，， ， 满足条件的数组为； 当，则，即， 满足条件的数组为（为任意实数）， 经检验，所有满足条件的数组为或（为任意实数）． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知a，b是一元二次方程的两根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，，整体代入代数式求值即可．掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ． 6．（23-24九年级上·北京·阶段检测）方程的两个根是、，且，求的值． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】解：∵的两个根是、， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根与系数的关系，对于一元二次方程的两个实数根，则有． 【经典计算题十二 一元二次方程的新定义运算】 1．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“纠缠方程”． (1)判断一元二次方程是否为“纠缠方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程为“纠缠方程”，证明：为“纠缠方程”的根； (3)已知是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)一元二次方程不是“纠缠方程”， 理由如下：∵， ∴，即． ∵，，， ∴，即． ∴一元二次方程不是“纠缠方程”； (2) 证明：∵关于x的一元二次方程为“纠缠方程”， ∴． ∴，即． 因式分解，得， 解得，． ∴为“纠缠方程”的根； (3)或 【分析】（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“纠缠方程”的定义判断即可； （2）根据“纠缠方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“纠缠方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项n用含m的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于m的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是关于x的“纠缠方程”， ∴，即． ∴． ∵m是该“纠缠方程”的一个根， ∴． 整理方程，得， 解得，． ∴m的值为或． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1) 是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·单元练习）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 5．（25-26九年级上·山东烟台·单元练习）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是 ． (2)证明：关于的代数式没有不动值； (3)已知关于的代数式（）． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数的值． 【答案】(1) (2) 证明：令，则有，其判别式， ∴此方程无解， ∴ 关于的代数式没有不动值． (3)①；②，， 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解方程可求出的值，据此可求出答案； （2）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断该方程没有实数根，据此可证明代数式没有不变值； （3） ① 先令，化简后再根据，可求出实数a的值；②先令，化简后可求出方程的根为：，再根据此方程至少有一个是整数，可得a是3或5的约数，进而可求出a的值． 【详解】（1）解：根据题意可得，，整理得，， 解得：，， 故答案为： （2）略 （3）解：①令，则有， ∵此方程只有一个实数根， ∴则， 解得，（舍去）， ∴． ②，，， 令，则有， 因式分解可得：， 解得：， ∵此方程至少有一个是整数 ， ∴只要a是3或5的约数即可，即， ∴，，． 学科网（北京）股份有限公司 $