专题10 一元二次方程的根与系数关系的十四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以韦达定理为核心，构建“通法总结-题型突破-压轴拔高”三阶训练体系，系统覆盖代数变形、几何综合等十四类题型，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5核心知识点+6易错点|韦达定理应用步骤、代数式变形技巧、易错点规避|从基本定理到特殊形式，建立“定理-变形-应用”逻辑链| |题型归纳|14类题型（1典例+3变式）|根与系数各类变形（多项式、绝对值等）及几何综合方法|代数变形与几何模型结合，形成“单一变形-综合应用”递进| |压轴挑战|15题|高难综合题解题策略|整合跨模块知识，提升复杂问题推理与模型构建能力|

专题10 一元二次方程的根与系数关系的十四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根与系数求值（相加、相乘） 题型二、根与系数变形（多项式乘法） 题型三、根与系数变形（绝对值） 题型四、根与系数变形（完全平方） 题型五、根与系数变形（分式） 题型六、根与系数变形（根式） 题型七、与等腰三角形结合 题型八、与直角三角形结合 题型九、与降次结合 题型十、与方程实数根结合 题型十一、最值问题 题型十二、特殊方程—一元三次方程 题型十三、根与系数的对称式 题型十四、倍根方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 提示说明 核心知识点1：韦达定理（根与系数关系基本形式） 对于一元二次方程 ，若方程有两个实数根，则根与系数满足：， 仅适用于一元二次方程（二次项系数），且方程存在实根（判别式） 核心知识点2：特殊形式韦达定理 对于二次项系数为1的方程，若有实根，则满足：， 由一般形式推导得到，简化计算 核心知识点3：常见代数式变形 1. 2. 3. 4. 5. 所有变形均以和为基础，无需单独求根 核心知识点4：韦达定理的应用场景 1. 已知一个根，求另一个根与未知参数 2. 求关于两根的对称代数式的值 3. 已知两根关系，求方程中参数的值 4. 构造新的一元二次方程（以两个数为根的方程：） 5. 判断根的符号（同号/异号、正负个数） 应用时必须先满足且两个前提条件 核心知识点5：根的符号判定 1. 两正根：，， 2. 两负根：，， 3. 一正一负根：，（此时恒大于0，只需满足） 4. 有一根为0：即 只要涉及存在实根，就不能忽略判别式非负的要求 易错点1：忽略二次项系数不为0 已知方程含参数，应用根与系数关系时，忘记的限制，导致参数范围出错 只要是一元二次方程，必须优先考虑二次项系数不等于0 易错点2：忽略判别式非负的前提 直接使用韦达定理计算参数，没有验证方程是否存在实根，得到增根 所有涉及根的存在性问题，必须先要求 易错点3：和的公式记错符号 错记为，遗漏负号 对比一次项系数为0时，两根和为0，可验证公式正确性 易错点4：非对称式误用韦达定理 遇到这类非对称代数式，直接套用韦达定理导致计算错误 非对称式需要结合根的定义先变形，再结合韦达定理计算 易错点5：求参数后忘记检验 根据根的关系求出参数值后，不检验是否满足，保留不符合题意的解 求出参数后代回原方程计算判别式，排除使方程无实根的参数值 易错点6：构造方程出错 错将构造方程写为，混淆一次项系数和常数项 构造方程牢记：一次项系数是两根和的相反数，常数项是两根的积 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根与系数求值（相加、相乘） 典例1 下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 变式1-1已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 变式1-2请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 变式1-3已知，是方程的两个根，则__________． 类型二、根与系数变形（多项式乘法） 典例2 已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 变式2-3已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 题型三、根与系数变形（绝对值） 典例3 在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 变式3-1已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 变式3-2已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 变式3-3已知关于的方程的两个实数根，满足，则实数的值为 ___________________ ． 题型四、根与系数变形（完全平方） 典例4 设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 变式4-1一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 变式4-2设、是方程的两个根，则的值为______． 变式4-3已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 题型五、根与系数变形（分式） 典例5 设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 变式5-1已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式5-2已知一元二次方程的两根为、，则_____． 变式5-3已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 题型六、根与系数变形（根式） 典例6 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 变式6-1已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式6-2已知一元二次方程的两个根分别为2和1，则______． 变式6-3已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 题型七、与等腰三角形结合 典例7 已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 变式7-1关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 变式7-2若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 变式7-3已知等腰三角形的底边长为，另两边长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为_________． 题型八、与直角三角形结合 典例8 直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（    ） A．8 B．7 C．6 D． 变式8-1如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程的两根（m为整数），则这样的直角三角形（    ） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 变式8-2若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是___________． 变式8-3若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ____ ． 题型九、与降次结合 典例9 已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 变式9-1已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 变式9-2已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 变式9-3若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______． 题型十、与方程实数根结合 典例10 关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根 变式10-1已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 变式10-2已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则______________． 变式10-3已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的一个实数根为，求另一个实数根； (3)若方程的两个实数根，满足，求的值． 题型十一、最值问题 典例11 关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 变式11-1已知实数，满足，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 变式11-2若a，b，c均为正实数，且，则a的最小值为__________． 变式11-3已知关于的一元二次方程有两实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，当取何值时，有最小值，并求出最小值； （3）若等腰三角形的一边长为2，另两边是，，求的值． 题型十二、特殊方程—一元三次方程 典例12 小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 变式12-1我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式12-2韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别为，，，现给出以下结论：①；②；③，其中正确的是_____ 变式12-3小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 题型十三、根与系数的对称式 典例13 如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 变式13-1若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 变式13-2已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 变式13-3请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 题型十四、倍根方程 典例14 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 变式14-1如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 变式14-2如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 变式14-3如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)方程；；，这几个方程中，是“倍根方程”的是______（填序号）； (2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若一元二次方程是“倍根方程”，求a、b、c之间的等量关系． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 3．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 4．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 5．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 7．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 8．设m、n是方程的两实数根，则＝_____． 9．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 10．已知实数、满足，且，则_____． 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 13．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 14．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 15．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元二次方程的根与系数关系的十四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根与系数求值（相加、相乘） 题型二、根与系数变形（多项式乘法） 题型三、根与系数变形（绝对值） 题型四、根与系数变形（完全平方） 题型五、根与系数变形（分式） 题型六、根与系数变形（根式） 题型七、与等腰三角形结合 题型八、与直角三角形结合 题型九、与降次结合 题型十、与方程实数根结合 题型十一、最值问题 题型十二、特殊方程—一元三次方程 题型十三、根与系数的对称式 题型十四、倍根方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 提示说明 核心知识点1：韦达定理（根与系数关系基本形式） 对于一元二次方程 ，若方程有两个实数根，则根与系数满足：， 仅适用于一元二次方程（二次项系数），且方程存在实根（判别式） 核心知识点2：特殊形式韦达定理 对于二次项系数为1的方程，若有实根，则满足：， 由一般形式推导得到，简化计算 核心知识点3：常见代数式变形 1. 2. 3. 4. 5. 所有变形均以和为基础，无需单独求根 核心知识点4：韦达定理的应用场景 1. 已知一个根，求另一个根与未知参数 2. 求关于两根的对称代数式的值 3. 已知两根关系，求方程中参数的值 4. 构造新的一元二次方程（以两个数为根的方程：） 5. 判断根的符号（同号/异号、正负个数） 应用时必须先满足且两个前提条件 核心知识点5：根的符号判定 1. 两正根：，， 2. 两负根：，， 3. 一正一负根：，（此时恒大于0，只需满足） 4. 有一根为0：即 只要涉及存在实根，就不能忽略判别式非负的要求 易错点1：忽略二次项系数不为0 已知方程含参数，应用根与系数关系时，忘记的限制，导致参数范围出错 只要是一元二次方程，必须优先考虑二次项系数不等于0 易错点2：忽略判别式非负的前提 直接使用韦达定理计算参数，没有验证方程是否存在实根，得到增根 所有涉及根的存在性问题，必须先要求 易错点3：和的公式记错符号 错记为，遗漏负号 对比一次项系数为0时，两根和为0，可验证公式正确性 易错点4：非对称式误用韦达定理 遇到这类非对称代数式，直接套用韦达定理导致计算错误 非对称式需要结合根的定义先变形，再结合韦达定理计算 易错点5：求参数后忘记检验 根据根的关系求出参数值后，不检验是否满足，保留不符合题意的解 求出参数后代回原方程计算判别式，排除使方程无实根的参数值 易错点6：构造方程出错 错将构造方程写为，混淆一次项系数和常数项 构造方程牢记：一次项系数是两根和的相反数，常数项是两根的积 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根与系数求值（相加、相乘） 典例1 下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 变式1-1已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 变式1-2请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【详解】解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 变式1-3已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 类型二、根与系数变形（多项式乘法） 典例2 已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 变式2-1已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 变式2-2已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 变式2-3已知，是关于x的方程的两个根，满足，则m的值是________． 【答案】 【分析】将给定等式展开后代入计算得到的值，再验证方程存在两个实根，即可得到最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根 ， ∴由一元二次方程根与系数的关系得 ，， ∵， ∴， ∴， 将，代入上式得， 解得， 此时方程的判别式，满足方程有两个根的条件， 因此的值为． 题型三、根与系数变形（绝对值） 典例3 在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解k，再验证方程有两个实数根，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根为 ∴根据根与系数的关系得， ∵ ∴两边平方得 由完全平方公式变形得 代入得 整理得 解得 ∵方程有两个实数根， ∴判别式 当时，，符合要求 当时，，符合要求 ∴的值为或． 变式3-1已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先根据方程有两个实根得判别式，结合韦达定理，根据两根之和为正，分两根均非负和一正一负两类讨论；分别化简，结合不等式求解m的范围；合并两类结果，得到最终取值范围． 【详解】方程有两个实数根 是方程的两根 两根不可能同为负数 只有两根均为非负数和一正一负两种情况 情况一：两根均为非负数 ， ， ， ， ， 恒成立， 又， ， 情况二：两根一正一负 ， ， ， 两根一正一负， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 或， ， ∴m的取值范围是． 变式3-2已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 【答案】或/或 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合判别式大于得到的取值范围，再根据已知条件分和两种情况求解，验证后得到符合题意的的值． 【详解】解：，是关于的方程的两个不等实数根， 由根与系数的关系得：，， ∵方程有两个不等实数根， ∴判别式，解得， ， ∴将代入等式得：，分两种情况讨论： 当时，，原等式可化为：，解得，则，，解得，满足，符合题意； 当时，，原等式可化为：， 解得，则， ，解得，满足，符合题意． 综上，k的值为或． 变式3-3已知关于的方程的两个实数根，满足，则实数的值为 ___________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 首先将方程化为标准形式，利用判别式求的取值范围，再根据条件 分两种情况讨论，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：原方程可化为 ， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即：， 解得 ， ∵， ∴或， 若，则 ，即 ，解得 ， 若，则，由根与系数的关系，，解得 ， 但 时，，无实数根，故舍去， ∴， 故答案为：． 题型四、根与系数变形（完全平方） 典例4 设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 变式4-1一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 变式4-2设、是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，以及完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：、是方程的两个根， ，， ∴. 变式4-3已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 题型五、根与系数变形（分式） 典例5 设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 变式5-1已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 变式5-2已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 变式5-3已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 题型六、根与系数变形（根式） 典例6 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 变式6-1已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．利用根与系数的关系得，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：B． 变式6-2已知一元二次方程的两个根分别为2和1，则______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程有两根为和，则，．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 2 和 1， ∴由根与系数的关系，得 ，． 于是 ． 所以 ． 故答案为 . 变式6-3已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 【答案】 【分析】由根与系数的关系，得，，可得，，然后化简代入求值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 题型七、与等腰三角形结合 典例7 已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 变式7-1关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 【答案】B 【分析】此题考查解一元二次方程及根的判别式，等腰三角形的性质，分6为底边和6为腰两种情况讨论，利用一元二次方程根的性质和三角形三边关系求解即可 【详解】解：①当6为底边时，则， ∵， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为4, 4, 6，满足，故成立； ②当6为腰时，设， 则，即， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为6, 2, 6，满足，故成立； 综上，m的值为12或16， 故选：B 变式7-2若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】或 【分析】分类讨论，的取值情况，根据方程根情况确定的取值，然后计算三角形周长． 【详解】解：当腰长为时，此时或， 把代入，得，解得， 方程为，解得，， 此时等腰三角形的周长为． 当底边长为4时，此时，∴方程有相等的实数根， ∴，解得， 当时，方程为，解得， 此时，等腰三角形的周长为． 当时，方程为，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，等腰三角形的周长为或． 变式7-3已知等腰三角形的底边长为，另两边长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为_________． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用，先根据判别式和等腰三角形两腰相等得到，解得的值代入方程求出腰长，验证腰长是否满足三角形三边关系，最终计算周长即可． 【详解】另两边长恰好是关于的一元二次方程的两根，且这两边是等腰三角形的腰， ， 解得：， 将带入原方程：， 解得：， 腰长为，底为， ， 满足三角形的三边关系， 的周长为：． 答案为：． 题型八、与直角三角形结合 典例8 直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（    ） A．8 B．7 C．6 D． 【答案】C 【分析】设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与．根据一元二次方程根与系数关系可得，．再根据勾股定理即可求． 【详解】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与， 直角三角形两直角边是方程的两根， ，， 根据勾股定理可得：， ． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 变式8-1如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程的两根（m为整数），则这样的直角三角形（    ） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 【答案】D 【分析】设直角三角形的两条直角边为、，利用根与系数的关系可得，由、是正整数，可得也为正整数，从而得到的值，再分情况计算结果即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程的两根（m为整数）， 设两条直角边为、，由根与系数的关系可得， ∵、是正整数， ∴是正整数， ∴； 当时，方程化为，解得，，不符合题意； 当时，方程化为，解得，，不符合题意； 故不存在这样的直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程整数根的情况，根据数字的特点找到范围并进行分类求解是解题的关键． 变式8-2若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是___________． 【答案】5 【分析】此题考查一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为． 根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，根据韦达定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：设两条直角边的长分别是， ， ， ∴直角三角形斜边的长是． 故答案为：5． 变式8-3若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ____ ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为，．根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，，根据一元二次方程根与系数的关系、勾股定理求解即可． 【详解】解：设两条直角边的长分别是，， 则，， ， 直角三角形斜边的长是， 这个直角三角形的周长为：． 故答案为：． 题型九、与降次结合 典例9 已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 变式9-1已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即可计算出结果． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，且由根与系数的关系可得， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把代入得：， 所以的值为． 变式9-2已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 变式9-3若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【分析】由，是一元二次方程的两个实数根，则、，再化简得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：a，b是一元二次方程的两个实数根， ，， ，，则， ∴ ． 题型十、与方程实数根结合 典例10 关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：， 其中，，，， ， ∵对任意实数 ，都有 ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故A正确，B，D错误； 方程两根的乘积为，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故C错误． 变式10-1已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 变式10-2已知关于x的方程有实数根．且是方程的两个实数根，实数m使得成立，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，反过来也成立，也考查了根的判别式． 根据判别式的意义得到，然后解不等式；根据根与系数的关系得到，利用得到，则 ，然后解方程后利用的范围确定的值． 【详解】根据题意得 解得； 根据题意得， 即 整理得，解得， ∴的值为． 故答案为：． 变式10-3已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的一个实数根为，求另一个实数根； (3)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据列出不等式解答即可求解； （）把代入方程可求出或，再把的值代回方程，解方程求出另一个实数根即可； （）根据一元二次方程根和系数的关系得，，即得，解方程求出的值，再结合（）的取值范围即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程及一元二次方程解的定义，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：∵方程的一个实数根为， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 综上，另一个实数根为或； （3）解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 题型十一、最值问题 典例11 关于x的一元二次方程有两个实数根则代数式的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据得到的范围；再将所求式子变形，用一元二次方程的根与系数关系把它表示成的代数式；最后根据的范围得到所求代数式的最小值．本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及到二次函数的图象性质，比较综合． 【详解】解：有两个实数根， ∴， 即， 解得； 、是的两个实数根， ，， 则 ， 令， 则开口向上，对称轴为直线， 当时，的值随k的增大而增大， 时，的值最小为． 故选：C． 变式11-1已知实数，满足，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，配方的应用，由实数，满足，，则，是方程的两个实数根，则有，，，然后代入可得，又，故，从而求解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵实数，满足，， ∴，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， 即的最小值是， 故选：． 变式11-2若a，b，c均为正实数，且，则a的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式．解题的关键是将待求代数式，用一个字母进行表示，构造出一元二次方程．根据，得到，，构造一个以b，c为两个根的一元二次方程，再转化为含字母a的一元二次方程，根据方程有两个根，得到，求出a的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵a，b，c均为正实数，且， ∴，， ∴b，c是方程的两根， ∵方程有两个实数根， ∴，即 ∵， ∴，即， ∵， ∴，即，即正实数a的最小值为． 故答案为：． 变式11-3已知关于的一元二次方程有两实数根、． （1）求的取值范围； （2）若，当取何值时，有最小值，并求出最小值； （3）若等腰三角形的一边长为2，另两边是，，求的值． 【答案】（1）且；（2）当时；（3） 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到关于k的不等式，然后求解即可； （2）根据根与系数的关系求得，得到，再根据一次函数的增减性即可得解； （3）分两种情况求出k的值，然后判断其是否符合题意即可. 【详解】解：（1）∵有两实数根、， ∴， 解，得， 又∵， ∴且； （2）∵， ∴， ∴当时，； （3）①当2为腰时， 令，则， 解得， 原方程为， 或， 满足题意， ∴， ②当2为底时， 令，，则， 原方程为， ， 不成立， 综上，. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点并灵活运用. 题型十二、特殊方程—一元三次方程 典例12 小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 变式12-1我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，则可得，，，据此可得答案． 【详解】解：设一元三次方程的三个实根分别为，，， 则方程可写成， ∴， ∴ ∴． 对比可得，，，， 可得，，， ∴， 故选：B． 变式12-2韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别为，，，现给出以下结论：①；②；③，其中正确的是_____ 【答案】①②③ 【分析】仿照题干给出的一元二次方程根与系数关系的推导方法，将一元三次方程按因式形式展开后，对比对应系数即可判断各结论． 【详解】解：一元三次方程三个非零实数根分别为，，， 原方程可写为 展开多项式得： 整理得 将上式与原方程对比系数可得： ，即，故①正确； ，即，故③正确； ，即，故②正确． 综上所述，正确的是①②③． 变式12-3小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________． 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 【答案】任务：，，；任务：，；任务： 【分析】任务：根据时，或或，即可解决问题； 任务：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题； 任务：利用上述过程发现的结论即可解决问题； 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握整体思想的运用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，原方程可化为：， ∴或或， ， 故答案为：，，； 任务：由题意可知，原方程可化为：， 展开整理得：， 与原方程比较可得，，； 任务：利用上题结论可知：，， ． 题型十三、根与系数的对称式 典例13 如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 变式13-1若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】把看作一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵ ， ，， ∴可以把看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ． 变式13-2已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 变式13-3请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为2 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 题型十四、倍根方程 典例14 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键． ①是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出②中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，③根据，得出，解方程即可判断对错． 【详解】解：①方程的解为，，此方程不是倍根方程，此结论错误； ②∵是倍根方程，且， ∴或， ∴或， ∴，此结论正确． ③关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由如下： ∵， ∴方程可变为：方程， 解方程得：， ∴，此结论正确； 故选D． 变式14-1如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 变式14-2如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或， ，， ， 故②不正确；     ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 变式14-3如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． (1)方程；；，这几个方程中，是“倍根方程”的是______（填序号）； (2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若一元二次方程是“倍根方程”，求a、b、c之间的等量关系． 【答案】(1) (2)代数式的值为或5 (3) 【分析】本题主要考查解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握解一元二次方程的方法及根与系数的关系是解题关键． （1）将题干中的一元二次方程求解，然后看是否符合题意即可； （2）根据题意得出或，然后分情况代入求解即可； （3）设方程的两根分别为，t，根据根与系数的关系得出，，即可得出结果． 【详解】（1）解：    解得：． ，不是“倍根方程”； 解得：． ，是“倍根方程”； 解得：， ，是“倍根方程”． 故答案为：． （2）解：∵， ∴或． 解得：．             是“倍根方程”， 或．          当时，；                    当时，．                      综上所述，代数式的值为或5； （3）解：．理由如下： ∵一元二次方程是倍根方程， ∴设方程的两根分别为，t，则，    ．   ． ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 2．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 3．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 4．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 5．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 6．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 【答案】2021 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴，， ＝， ＝2021． 8．设m、n是方程的两实数根，则＝_____． 【答案】7 【分析】根据m、n是方程的两实数根，得到，，变形得，整体代入即可． 【详解】解：方程可化为， ∵m、n是方程的两实数根， ∴，， ∴． 9．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形后代入建立关于的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， ， 解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 代入得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 10．已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 13．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 14．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 15．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $