专题2.5 一元二次方程章末42道压轴题型专训（7大题型）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程7大核心题型，以42道压轴题构建"解法-性质-应用"三阶训练体系，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择合适方法解方程|6道|直接开平方法/因式分解法适用条件判断|从方程形式到解法选择的匹配逻辑| |配方法及应用|6道|配方步骤标准化及代数式最值转化|配方原理到几何/代数综合应用| |求参数问题|6道|定义约束/根的意义参数求解|方程概念到参数分类讨论| |换元法解方程|6道|整体代换降次策略|复杂方程向一元二次方程转化| |判别式应用|6道|根的情况判定及逆用|判别式与方程根的存在性关联| |根与系数关系|6道|韦达定理直接应用及变形技巧|两根关系到代数式求值逻辑| |实际应用|6道|增长率/面积/几何模型构建|实际问题抽象为方程模型的转化|

专题2.5 一元二次方程章末42道压轴题型专训（7大题型） 目录 目录 【经典例题一 选择合适的方法解方程】 1 【经典例题二 配方法解方程及配方法的应用】 1 【经典例题三 一元二次方程求参数问题】 2 【经典例题四 换元法解方程】 4 【经典例题五 通过判别式判断方程的根的情况】 5 【经典例题六 一元二次方程根与系数关系】 7 【经典例题七 一元二次方程的实际应用】 8 【经典例题一 选择合适的方法解方程】 1．（2024九年级上 四川泸州·单元复习）如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上 山东潍坊·单元复习）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段测试）若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 4．（25-26九年级上·山东·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 6．（23-24九年级上·四川德阳·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 【经典例题二 配方法解方程及配方法的应用】 1．（25-26九年级上·广西贺州·阶段测试）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段测试）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期中）方程的根是_____________． 4．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）小星用配方法对一元二次方程进行求解时，将其化为的形式，______ 5．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 6．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【经典例题三 一元二次方程求参数问题】 1．（23-24九年级上·四川德阳·开学考试）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 2．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26九年级上·全国）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 4．（2026九年级上 安徽蚌埠·单元复习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 5．（25-26九年级上·河北张家口·阶段测试）现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 6．（25-26九年级上·全国·单元测试）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”_______． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【经典例题四 换元法解方程】 1．（24-25九年级上 福建南平·单元复习）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海奉贤）已知，则方程的解集是_______； 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，其中为实数且，，则____________． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知为实数，，则的值为______． 5．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段测试）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【经典例题五 通过判别式判断方程的根的情况】 1．（24-25九年级上·上海奉贤）设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2026九年级上 四川成都·单元复习）已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 4．（23-24九年级上·四川成都·阶段检测）当_______时，式子与互为倒数．（若不存在x使得满足题意，请在横线上填写“不存在”） 5．（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 6．（25-26九年级上·北京·阶段测试）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【经典例题六 一元二次方程根与系数关系】 1．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 3．（24-25九年级上 山东潍坊·单元复习）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 4．（24-25九年级上 江西南昌·单元复习）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段测试）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段测试）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【经典例题七 一元二次方程的实际应用】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段测试）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（   ） A．35 B．53 C．62 D．35或53 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段测试）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为_____． 5．（25-26九年级上·山东淄博·阶段测试）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 6．（24-25九年级上·四川成都·阶段测试）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题． （1）每天增长的百分率是多少？ （2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 一元二次方程章末42道压轴题型专训（7大题型） 目录 目录 【经典例题一 选择合适的方法解方程】 1 【经典例题二 配方法解方程及配方法的应用】 1 【经典例题三 一元二次方程求参数问题】 6 【经典例题四 换元法解方程】 11 【经典例题五 通过判别式判断方程的根的情况】 15 【经典例题六 一元二次方程根与系数关系】 21 【经典例题七 一元二次方程的实际应用】 26 【经典例题一 选择合适的方法解方程】 1．（2024九年级上 四川泸州·单元复习）如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 求解出每一个方程的根，即可解答． 【详解】解：A、， ， 或， ，， 故此选项不符合题意； B、， ， ， ， 故此选项符合题意； C、， ，， 故此选项不符合题意； D、， ， 故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2023九年级上 山东潍坊·单元复习）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 【答案】B 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 【详解】解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段测试）若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 4．（25-26九年级上·山东·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【答案】 10 4或 【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况讨论是否构成等腰三角形,然后求出周长即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可. 【详解】（1）解： ， ． 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，因，不满足两边之和大于第三边,此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． （2）解：由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是的两条直角边的长，则 ， ②若2，4分别是的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 综上，的面积为4或． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【答案】，． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 6．（23-24九年级上·四川德阳·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【详解】（1）解： 即或 解得，． （2） 即或 解得，． （3） 这里，， ∴ ∴，． （4） 即或 解得，． 【经典例题二 配方法解方程及配方法的应用】 1．（25-26九年级上·广西贺州·阶段测试）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段测试）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期中）方程的根是_____________． 【答案】当时，，；当时，；当时，无解 【分析】根据配方法求方程的根即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方得， 因式分解得， 根据二次根式被开方式要非负，分三类讨论求解： ①当时， 直接开平方得， 此时方程的根是，； ②当时，， 此时方程的根是； ③当时，被开方式为负， 此时方程无解； 故答案为：当时，，；当时，；当时，无解． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，由于题中并未明确判别式的符号，根据判别式的符号分类讨论求解是解决问题的关键． 4．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）小星用配方法对一元二次方程进行求解时，将其化为的形式，______ 【答案】15 【分析】利用解一元二次方程——配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ∴，， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)原方程无解 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后对计算结果进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程转化为， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的增根，即原方程无解． 6．（25-26九年级上·山东烟台·阶段测试）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 【经典例题三 一元二次方程求参数问题】 1．（23-24九年级上·四川德阳·开学考试）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 3．（25-26九年级上·全国）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 4．（2026九年级上 安徽蚌埠·单元复习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 5．（25-26九年级上·河北张家口·阶段测试）现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 6．（25-26九年级上·全国·单元测试）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”_______． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数， 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根为． ∴， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根或，即，整理方程得，即得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，，， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数， （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”， 即的两根为， 则， 即中或， ∴该方程的解为． 利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为， 故答案为． 【经典例题四 换元法解方程】 1．（24-25九年级上 福建南平·单元复习）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 2．（24-25九年级上·上海奉贤）已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知为实数，，则的值为______． 【答案】3 【分析】设将原方程转化为一元二次方程，求解后，再判断原方程是否有解． 【详解】解：设，则原方程化为：， ． 或． 或． 当y=3时，，即，Δ=，原方程有解， 当y=-2时，，即，Δ=，原方程无解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握换元法是解决本题的关键． 5．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段测试）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 【经典例题五 通过判别式判断方程的根的情况】 1．（24-25九年级上·上海奉贤）设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段测试）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 3．（2026九年级上 四川成都·单元复习）已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 【答案】 【分析】对两个问题分别按条件列举所有可能的系数组合，结合二次整式恒正的判别式条件逐一判断，统计满足条件的个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为： ，符合条件； ，符合条件； 时，，不满足，因此共个满足条件的整式； 再计算第二个空： 当，时，，满足，，为整数，且对任意实数，． ， 对任意成立等价于判别式． 按分类讨论： 1. 当时，，，，不满足条件，共0个； 2. 当时，，，得，故； 其中满足的共4个； 3. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共4个； 4. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共3个； 5. 当时，，，仅，满足，共1个； 6. 当时，最小系数和为，无满足条件的组合； 综上，满足条件的整式共个． 4．（23-24九年级上·四川成都·阶段检测）当_______时，式子与互为倒数．（若不存在x使得满足题意，请在横线上填写“不存在”） 【答案】不存在 【分析】根据倒数的性质得到，化简后得到一元二次方程，利用判别式判断出方程无解，可得结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无解， ∴不存在这样的x值， 故答案为：不存在． 【点睛】本题考查了倒数，解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏南通·阶段测试）已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】(1)该方程有两个不相等的实数根 (2)①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据，，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2）略 6．（25-26九年级上·北京·阶段测试）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 【经典例题六 一元二次方程根与系数关系】 1．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解k，再验证方程有两个实数根，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根为 ∴根据根与系数的关系得， ∵ ∴两边平方得 由完全平方公式变形得 代入得 整理得 解得 ∵方程有两个实数根， ∴判别式 当时，，符合要求 当时，，符合要求 ∴的值为或． 3．（24-25九年级上 山东潍坊·单元复习）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 4．（24-25九年级上 江西南昌·单元复习）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段测试）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段测试）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 【经典例题七 一元二次方程的实际应用】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段测试）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（   ） A．35 B．53 C．62 D．35或53 【答案】D 【分析】设十位数字为x，则个位数字为，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 解得：或， ∴这个两位数为35或53，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段测试）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为_____． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为： 或． 5．（25-26九年级上·山东淄博·阶段测试）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 6．（24-25九年级上·四川成都·阶段测试）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题． （1）每天增长的百分率是多少？ （2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】（1）每天增长的百分率是20%；（2）①应该增加4条生产线； ②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30a）万个/天， 依题意，得：（1+a）（900-30a）=9000， 化简得：a2-29a+270=0， ∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产口罩9000万个． 【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论； ②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30a）万个/天，根据每天生产口罩9000万个，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设每天增长的百分率为x， 依题意，得：300（1+x）2=432， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为20%； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30m）万个/天， 依题意，得：（1+m）（900-30m）=3900， 解得：m1=4，m2=25， 又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴m=4． 答：应该增加4条生产线； ②略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $