第2章一元二次方程章末检测卷2026-2027学年数学九年级上册苏科版

**基本信息** 苏科版九年级上册第2章一元二次方程章末检测卷，全面覆盖定义、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过生活情境与几何问题融合，培养抽象能力、运算能力和模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|定义、根的判别式、实际应用（增长率、矩形面积）|结合樱桃产量增长率等生活情境，第8题新定义运算考查创新思维| |填空题|6题|根与系数关系、方程根的应用、配方法|第14题分层次考查方程与代数变形，体现思维梯度| |解答题|6题|解方程、证明、实际问题（甜瓜销售、篱笆围地）、几何与方程综合|第21题以配方法渗透数学思想，第20题结合几何图形考查模型意识|

第2章一元二次方程章末检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．某樱桃种植基地2024年樱桃产量为吨，2026年达到吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 8．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 9．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在，轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，是边上的动点（不与点，重合），直线与边交于点，给出下面四个结论： ① 与的面积可能相等； ② 与的面积可能相等； ③ 当点的纵坐标为时，是直角三角形； ④ 当是等腰三角形时，一定是等腰直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题 11．请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 12．若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 14．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 15．已知，分别是关于x的方程的两个根，且满足，则k的值为______． 16．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是_______． 三、解答题 17．解方程 (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 19．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”，近年来通过电商平台，阎良甜瓜的线上销售规模持续扩大．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱降价1元，每天可多售出5箱．设该甜瓜每箱降价x元，每天的销售量为箱． (1)求与的函数表达式； (2)若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，求这天该甜瓜的销量． 20．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次方程章末检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C A B A A B A 1．C 【分析】一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 2．D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 3．C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 5．A 【分析】根据年平均增长率公式，2024到2026年共两年增长，用初始产量乘以（增长率）的平方等于最终产量，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 6．B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 7．A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 8．A 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 9．B 【分析】根据题意可得，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵，的面积为， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 10．A 【分析】设点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，表示出点的坐标，分别计算各三角形面积，通过解二元一次方程判断①②；利用勾股定理逆定理判断③；分类讨论是等腰三角形的情况，结合是等腰三角形则，判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标为， ∴，，，， 设点的坐标为，， ∵点的坐标为， ∴设直线的解析式为， 将，代入， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，，解得， ∴，即， ， ， 若，则， 整理得，， 解得，或（舍去，∵） ∴当时，，， 故①正确； ， ， 若， 则， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴均不符合题意， 故②错误； 当点的纵坐标为时，， ，， ∴，， 过点作轴，点作轴，，交于点，则， ， ∴， ∴是直角三角形， 故③正确； 若是等腰三角形， 当时，， 解得，或（舍去，∵） 此时，， 则是等腰三角形， 当时，, ∴， 化简得， 若是等腰三角形，则， ∴， 解得， （舍去，∵） 当时，，矛盾， ∴当时，不是等腰三角形， 故④错误． 11．（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【详解】解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 12． 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 13． 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 14． / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 15． 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，分别是关于x的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 16． 【分析】根据题意，设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此列式求解即可． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：小路的宽是． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解： ， ， ，． 18．(1) 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； (2) ，方程的另一个根为 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 【详解】（1）见答案 （2）将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 19．(1) (2)50箱 【分析】（1）根据销售量随降价的变化关系，直接写出一次函数表达式，结合题干给出的降价限制确定自变量的取值范围； （2）利用“总利润每箱利润销售量”列一元二次方程求解，结合x的取值范围舍去不符合题意的解，再代入函数关系式求出最终的销售量即可． 【详解】（1）解：由题意可得，原本每天售出20箱，每箱降价x元后，每天可多售出箱， 因此， ∵每箱降价不超过15元， ∴， 即y与x的函数表达式为； （2）解：由题意，总利润为1200元，降价后每箱盈利为 元，每天销售量为y， 因此列方程得， 展开整理得 ， 解得 ，， ∵， ∴不符合要求，舍去， 将 代入，得， 答：这天该甜瓜的销量为50箱． 20．(1)米 (2)花圃的长为9米，宽为5米 (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 21．(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $