专题2.4 一元二次方程章末易错必刷题型专训（32题8个考点）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程章末易错题型，涵盖化成一般式、由定义求参数、解方程、配方法应用、根的判别式、分式方程、根与系数关系、实际应用8个考点，构建从基础概念到综合应用的学习支架，系统梳理知识脉络。 该资料精选32道分层题型，通过根的判别式辨析题培养推理意识，实际应用中的增长率问题发展模型意识，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与解决问题能力。

专题2.4 一元二次方程章末易错必刷题型专训（32题8个考点） 【易错必刷一 化成一元二次方程一般式】 1．（25-26九年级上·河北张家口·课后作业）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式是___________，其中_____，_____，_____，则_____，用求根公式可得______，______． 【答案】 2 8 【分析】根据给出一元二次方程的一般形式，找到其中的， 表达出根的判别式,再结合条件填空即可。 【详解】解：将关于的方程化为一般形式是， 其中则， 用求根公式可得： 故答案为： 【点睛】本题主要一元二次方程的一般形式，根的判别式，求根公式。 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）将下列方程化成一元方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (3)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (4)二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【详解】（1）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （3）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （4）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【易错必刷二 由一元二次方程定义求参数】 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）方程是关于的一元二次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽略的知识点． 根据一元二次方程的定义得到：，且，然后求解即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ，且． 解得． 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 3．（2026九年级上 江苏南通·阶段测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 4．（24-25九年级上·河北保定·课后作业）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键． （1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解； （2）把求得的值代入原方程，再用合适的方法（如因式分解法）解一元二次方程． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：由（1）可知，方程为， ∴， ∴或， 解得，． 【易错必刷三 解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，先把方程化为，然后利用直接开平方法解方程即可，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段检测）把方程的左边配成完全平方，正确的变形是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的方法求解即可，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·青海西宁·开学考试）将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 4．（25-26九年级上·辽宁盘锦·课后作业）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 【易错必刷四 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·山东威海·课后作业）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 2．（2023九年级上 内蒙古呼和浩特·单元测试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，多项式除以单项式，配方法，分式的加减运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，多项式除以单项式，配方法，分式的加减运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 【答案】 【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为2023． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】略 【易错必刷五 根的判别式判断方程根的情况】 1．（25-26九年级上·江苏南京·课后作业）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 2．（25-26九年级上·福建福州·课后作业）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 3．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段检测）小刚在解关于x的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值小2，则原方程的根的情况是______． 【答案】没有实数根 【分析】依题意可知，是方程的一个根，代入可求出的值，再根据根的判别式得到原方程的根的情况． 【详解】解：依题意可知，是方程的一个根， ， ， 原方程为， ， 故原方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 4．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 【易错必刷六 解分式方程】 1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 2．（23-24九年级上 安徽·单元测试）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了解一元一次方程，分式方程，一元二次方程，分别判断四个选项中方程解的情况即可解答． 【详解】解：A、，则，所以方程无实数根； B、，则，经检验，是方程的解，所以方程有两个不相等的实数根； 、，则，所以方程有两个相等的实数根； D、，则，所以方程有一个实数根． 故选：B． 3．（2023九年级上 云南·阶段测试）方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 4．（24-25九年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 【易错必刷七 一元二次方程根与系数关系】 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 2．（23-24九年级上 湖南衡阳·阶段测试）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 3．（23-24九年级上 四川眉山·阶段测试）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 4．（23-24九年级上 北京朝阳·阶段测试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 【易错必刷八 一元二次方程的实际应用】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两次数据扩容的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 2．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·课后作业）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 3．（23-24九年级上 辽宁朝阳·单元测试）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后________s时，的面积为菱形面积的？    【答案】1或4 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法． 根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论． 【详解】解：设出发后秒时，． 四边形是菱形，，， ，，，， ， 当时，点在线段上，点在线段上． 此时，， 则； 解得，（舍去） 当时，点在线段上，点在线段上， 此时， 则；化简为， 此时方程，原方程无实数解； 当时，点在线段上，点在线段上， 此时，， 则； 解得（舍去）， 综上所述，出发后或时，． 故答案为：1或4． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 一元二次方程章末易错必刷题型专训（32题8个考点） 【易错必刷一 化成一元二次方程一般式】 1．（25-26九年级上·河北张家口·课后作业）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式是___________，其中_____，_____，_____，则_____，用求根公式可得______，______． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）将下列方程化成一元方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷二 由一元二次方程定义求参数】 1．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）方程是关于的一元二次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．以上都不对 2．（25-26九年级上·全国）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 3．（2026九年级上 江苏南通·阶段测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 4．（24-25九年级上·河北保定·课后作业）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 【易错必刷三 解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段检测）把方程的左边配成完全平方，正确的变形是（） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·青海西宁·开学考试）将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 4．（25-26九年级上·辽宁盘锦·课后作业）解方程： (1) (2) (3) (4)． 【易错必刷四 配方法的应用】 1．（25-26九年级上·山东威海·课后作业）将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 2．（2023九年级上 内蒙古呼和浩特·单元测试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【易错必刷五 根的判别式判断方程根的情况】 1．（25-26九年级上·江苏南京·课后作业）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26九年级上·福建福州·课后作业）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段检测）小刚在解关于x的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值小2，则原方程的根的情况是______． 4．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【易错必刷六 解分式方程】 1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上 安徽·单元测试）下列方程中，有两个不相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023九年级上 云南·阶段测试）方程的解为________． 4．（24-25九年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【易错必刷七 一元二次方程根与系数关系】 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24九年级上 湖南衡阳·阶段测试）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 3．（23-24九年级上 四川眉山·阶段测试）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 4．（23-24九年级上 北京朝阳·阶段测试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【易错必刷八 一元二次方程的实际应用】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·课后作业）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上 辽宁朝阳·单元测试）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后________s时，的面积为菱形面积的？    4．（26-27九年级上·全国·课后作业）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 学科网（北京）股份有限公司 $